在工科專業(yè)里，有一門專業(yè)俗稱萬金油，那就是寶刀君的本科專業(yè)：自動(dòng)化。
啥叫萬金油呢， 我們查看百度百科的解釋：形容人或物用處較多，在很多地方都能起到一定作用。
自動(dòng)化這個(gè)專業(yè)，能稱得上是“萬金油”，可真不是沽名釣譽(yù)??！寶刀君在以前的文章考研院校專業(yè)課選擇及自動(dòng)控制原理備考的宏觀戰(zhàn)略分析（一）中分析過這個(gè)專業(yè)都學(xué)哪些課、特點(diǎn)是什么，自動(dòng)化專業(yè)的初學(xué)者們可以點(diǎn)開鏈接親自瞅瞅~
那么，落到考研數(shù)學(xué)里，哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)也被稱為萬金油呢？
微分方程！
英文名叫：differential equation
要說這微分方程啊，叫它為萬金油，一點(diǎn)都不為過！
放眼望去，這貨太粘人了，哪都要湊熱鬧，哪都要去分一杯羹，哪都要約起來！
極限 約完 導(dǎo)數(shù)約！
中值定理的證明 約完 積分學(xué) 約！
一元積分學(xué) 約完 多元積分學(xué) 約！
總之是，但凡是高數(shù)學(xué)的每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，它微分方程，都會(huì)在命題人的指揮下，隨時(shí)結(jié)合某個(gè)知識(shí)點(diǎn)，一起出現(xiàn)在未知的考研數(shù)學(xué)試卷里!
今天，就給大家獻(xiàn)上2道題小試牛刀，看看微分方程和二重積分，以及函數(shù)的性態(tài)之拐點(diǎn)的結(jié)合，建議大家自己先動(dòng)手做，然后再核對(duì)答案~
這兩題呢，整體難度不是很大，不過考察的知識(shí)點(diǎn)不少~
比如說第一道題，就是一個(gè)微分方程與抽象型二重積分的結(jié)合。
第二道題，給出了2個(gè)微分方程，那感情是要聯(lián)立求解了，第二問求拐點(diǎn)，那么最直接的思路就是要求出y的表達(dá)式，然后再選擇求拐點(diǎn)的方法。
一起來看下第一題的解答吧~
這里要想求解出函數(shù)的表達(dá)式，首先需要解決的問題是求出里面的二重積分，這是一個(gè)抽象型的，而且積分區(qū)域是個(gè)圓域，那么最好選用極坐標(biāo)來表示，先對(duì)式子進(jìn)行整理。
完整的解題過程如下所示：
需要說明的是：這里有一個(gè)定式思維，但凡遇到變限積分，啥話也不說，先給我求導(dǎo)再說。
這道題的微分方程是一階線性非齊次DE，那么可以考慮用公式法求解，求出通解后，記得不要停，要返回到題干里面，看看能不能尋找到一些隱含的初始條件，這樣方便確定常數(shù)C。
尋找初始條件，這個(gè)一般就是尋找一些特殊值，0,1，-1之類的，或者就是多個(gè)式子做差，遇到變限積分的，可以嘗試給積分上下限取特殊值，這樣能得到一些特殊值。
接下來再看第二題
2個(gè)式子，那就聯(lián)立求解就行，得出的依然是一階線性非齊次，這種形式一般考察的比較多，上面演示了公式法，這道題演示的是積分因子法，就是你們?cè)谥兄刀ɡ碜C明題當(dāng)中學(xué)的那招，構(gòu)造一個(gè)原函數(shù)，使得它的導(dǎo)數(shù)等于右端式子。
求常數(shù)C時(shí)，用的是同樣的思路，尋找初始條件。
接下來看第二問求拐點(diǎn)。
求拐點(diǎn)的做題過程如下：
這里再提醒一下：如果要用到三階導(dǎo)數(shù)判斷的話，尤其是一些選擇題，那要留意是否可導(dǎo)，不可導(dǎo)的話，那就不能隨便求啊！
舉一個(gè)例子吧，一個(gè)學(xué)生發(fā)的問題，詢問為什么紅色框框內(nèi)二階可導(dǎo)？是咋推出來的？
左邊等于右邊，是一個(gè)等式，右邊是可導(dǎo)的，自然左邊就是可導(dǎo)的啊~
以上兩個(gè)例子，只是為了向大家說明這樣一個(gè)事實(shí)：
微分方程其實(shí)是可以和任意一個(gè)章節(jié)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來的，基本上是多個(gè)知識(shí)點(diǎn)糅合在一起，沒有特別大的難度。只不過，建議在學(xué)習(xí)DE時(shí)，先把基本的概念理清楚，比如非齊次、階、線性、通解特解、解的結(jié)構(gòu)、公式法等這些基本的概念先弄明白，然后再做一些小綜合題練手。
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