上一章里我們學(xué)習(xí)了定積分的概念、性質(zhì)、基本公式及應(yīng)用。本章我們學(xué)習(xí)微分學(xué)中的基本定理及其應(yīng)用。
本章包含了微分學(xué)中最重要的理論部分(微分學(xué)中的重要定理--微分中值定理)和它的若干重要應(yīng)用。
函數(shù)的許多重要性質(zhì)如單調(diào)性，極值點(diǎn)，凹凸性等均由函數(shù)增量與自變量增量間的關(guān)系來表達(dá)，微分中值定理(拉格朗日中值定理與柯西中值定理)正是建立了函數(shù)增量、自變量與導(dǎo)數(shù)間的聯(lián)系，因此，根據(jù)它，可以用導(dǎo)數(shù)來討論函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)、凹凸性與拐點(diǎn)。在理解有關(guān)定理的基礎(chǔ)上，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、凹凸性和求極值、求拐點(diǎn)的方法，并體現(xiàn)在函數(shù)的作圖上(包括求函數(shù)的漸近線)
微分學(xué)的另一個(gè)重要應(yīng)用是求函數(shù)的最大值和最小值。要掌握求最值的方法并會(huì)解簡(jiǎn)單的應(yīng)用題。求最值關(guān)鍵是求駐點(diǎn)。
由柯西中值定理導(dǎo)出的洛必達(dá)法則是求某些未定式極限的有力工具，這已在第一章中復(fù)習(xí)過。
微分中值定理及由它導(dǎo)出的一些重要定理還有其他應(yīng)用。如討論函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，證明函數(shù)恒等式或不等式以及證明函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)在某區(qū)間存在滿足某種特征的點(diǎn)等等。通過學(xué)習(xí)本章的基本內(nèi)容和典型題型的解題方法和技巧，力圖學(xué)會(huì)一些論證的方法，如變量替換法和輔助函數(shù)法。這是實(shí)現(xiàn)由未知向已知轉(zhuǎn)化中常用的方法。輔助函數(shù)的構(gòu)造技巧性較強(qiáng)，要求讀者學(xué)習(xí)怎樣從題目所給條件進(jìn)行分析推導(dǎo)，逐步導(dǎo)出所需的輔助函數(shù)或從所要證明的結(jié)論中倒出所要構(gòu)造的輔助函數(shù)。還要充分重視直觀與分析相結(jié)合的方法。常常是直觀的幾何圖形會(huì)幫助我們?nèi)ニ伎紗栴}。
拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情形，羅爾定理又是拉格朗日中值定理的特殊情形，而它們的證明卻是從特殊到一般。
(一)極值的定義
(二)微分中值定理及其幾何意義
羅爾定理
首先，我們觀察圖3-1，設(shè)曲線弧AB是函數(shù)y=f(x)(x∈[a,b])的圖形，這是一條連續(xù)的曲線弧，除端點(diǎn)外處處有不垂直與x軸的切線，且兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，即f(a)=f(b)，可以發(fā)現(xiàn)在曲線弧的最高點(diǎn)C處或最低點(diǎn)D處，曲線有水平的切線，如果記點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為n，那么就有f'(n)=0.現(xiàn)在用分析語言把這個(gè)幾何現(xiàn)象描述出來，就可得下面的羅爾定理，為了應(yīng)用方便，先介紹費(fèi)馬(Fermat)引理。
費(fèi)馬定理及其幾何意義
1.費(fèi)馬引理 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo的某鄰域U(xo)內(nèi)有定義，并且在xo處可導(dǎo)，如果對(duì)任意的x∈U(xo)，有
f(x)≤f(xo)(f(x)≥f(xo))
那么f'(xo)=0
證：不妨設(shè)x∈U(xo)時(shí)，f(x)≤f(xo)(如果f(x)≥f(xo),可以類似地證明)。于是 ，對(duì)于xo+△x∈U(xo),有
f(xo+△x)≤f(xo)
從而當(dāng)△x>0時(shí)，
f(xo+△x)-f(xo)/△x≤0
當(dāng)△x<>
f(xo+△x)-f(xo)/△x≥0
根據(jù)函數(shù)f(x)在xo可導(dǎo)的條件及極限的保號(hào)性，便得到
f'(xo)=f'(xo+)=limf(xo+△x)-f(xo)/△x≤0
f'(xo)=f'(xo-)=limf(xo+△x)-f(xo)/△x≥0
所以f'(xo)=0.證畢。
通常稱導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)(或穩(wěn)定點(diǎn)，臨界點(diǎn))。
2.羅爾定理 如果函數(shù)f(x)滿足
(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；
(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；
(3)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)
那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)v(a<><>使得f'(v)=0
羅爾定理及其幾何意義
3.拉格朗日中值定理
羅爾定理中f(a)=f(b)這個(gè)條件是相當(dāng)特殊的，它使羅爾定理的應(yīng)用受到限制，如果把f(a)=f(b)這個(gè)條件取消，但仍保留其余兩個(gè)條件，并相應(yīng)改變結(jié)論，那么就得到微分學(xué)中十分重要的拉格朗日中值定理。
拉格朗日中值定理 如果函數(shù)f(x)滿足
(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；
(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，
那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)v(a<><>
f(b)-f(a)=f'(v)(b-a) (1-1)
成立
在證明之前，先看一下定理的幾何意義，如果把(1-1)式改寫成
f(b)-f(a)/b-a=f'(v)
由圖3-2可看出，f(b)-f(a)/b-a為弦AB的斜率，而f'(v)為曲線在點(diǎn)C處的切線的斜率。因此拉格朗日中值定理的幾何意義是：如果連續(xù)曲線y=f(x)的弧AB上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于x軸的切線，那么這弧上至少有一點(diǎn)C，使曲線在點(diǎn)C處的切線平行于弦AB。
從圖3-1看出，在羅爾定理中，由于f(a)=f(b),弦AB是平行于x軸的，因此點(diǎn)C處的切線實(shí)際上也平行于弦AB，由此可見，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形。
拉格朗日中值定理及其幾何意義
4.柯西中值定理及其幾何意義
上面已經(jīng)指出，如果連續(xù)曲線弧AB上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于橫軸的切線，那么這段弧上至少有一點(diǎn)C，使曲線在點(diǎn)C處的切線平行于弦AB,設(shè)AB由參數(shù)方程
柯西中值定理 如果函數(shù)f(x)及F(x)滿足
(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；
(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；
(3)對(duì)任一x∈(a,b),F'(x)≠0，
那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)v，使等式
f(b)-f(a)/F(b)-F(a)=f'(v)/F'(v)
成立
定理
幾何意義
注：微分中值定理建立了函數(shù)增量、自變量增量與導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系。函數(shù)的許多性質(zhì)可用自變量增量與函數(shù)增量的關(guān)系來描述，因此可用微分中值定理來研究函數(shù)變化的性質(zhì)。
本節(jié)學(xué)習(xí)完四大定理，緊接著就要開始利用四大定理進(jìn)行證明，大學(xué)高等數(shù)學(xué)及考研高數(shù)中基本所有的證明題都出自這一章節(jié)，而有效的解決證明問題，就是四大定理；所以請(qǐng)小伙伴們及時(shí)收藏，防止遺漏。
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