航天器被運(yùn)載火箭推向太空之后，就也變成了一顆“星星”。也就是說，僅僅從引力的角度看，它們可以和其它宇宙中的自然天體一樣，遵循引力定律而在一定的軌道上運(yùn)動(dòng)。不同的是，只要它們還能與地球通訊，只要它們的引擎能啟動(dòng)，還有足夠的燃料，發(fā)射它們的地球人就還有可能控制和改變它們的運(yùn)動(dòng)。就像飛上藍(lán)天的風(fēng)箏，飛得再高，也還有一根牽連的細(xì)線被主人抓在手上！
運(yùn)載火箭。圖片來自網(wǎng)絡(luò)
所以，太空中的航天器有兩種基本的運(yùn)動(dòng)方式：自由飛行段和主動(dòng)飛行段。前者指的是自由按照引力規(guī)律運(yùn)動(dòng)的階段，比如說衛(wèi)星繞著地球轉(zhuǎn)圈，是不需要引擎的。后者則指航天器上的發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火的階段。什么時(shí)候需要將發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火呢？那是需要將航天器從一個(gè)軌道做一點(diǎn)改變，或者是“跳”到另一個(gè)軌道的時(shí)候。比如說，要從環(huán)繞地球的軌道“跳”到環(huán)繞月球的軌道。這種情況一般不會(huì)自動(dòng)發(fā)生，需要人為地“遙控”，預(yù)先設(shè)定，或者由航天員操作。這種人為點(diǎn)火而改變運(yùn)行軌道的技術(shù)，稱作“軌道機(jī)動(dòng)”。
既然是人為地改變，就要達(dá)到各種不同的目的，因此軌道機(jī)動(dòng)實(shí)際上包括了軌道轉(zhuǎn)移、軌道交會(huì)、軌道保持和修正、改變軌道平面等等不同的目的。再舉剛才說的人造地球衛(wèi)星而言，雖然衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)不需要引擎，但時(shí)間長了后，因?yàn)閿z動(dòng)力的原因，軌道可能會(huì)偏離我們的要求，這時(shí)候就可能需要人為的“機(jī)動(dòng)”來進(jìn)行修正。發(fā)射到遠(yuǎn)處星球的航天器就更不用說了，漫長征途需要多次“變軌”。
火箭變軌示意。圖片來自網(wǎng)絡(luò)
軌道機(jī)動(dòng)除了改變軌道之外，還可以控制航天器的方向和“姿態(tài)”以達(dá)到某種目的，這點(diǎn)在載人航天返回地球或降落到月球或其它星球時(shí)特別重要。就像飛機(jī)一樣，保持正確的姿態(tài)才能安全著陸，否則，后果便不堪設(shè)想了。
因此，航天器比天然星體更具優(yōu)越性，因?yàn)樗鼈兊能壍揽梢匀藶榈剡x擇。但這個(gè)優(yōu)越性是以“攜帶燃料”作“機(jī)動(dòng)”換來的。航天器能夠攜帶的燃料有限，因此，航天器的軌道設(shè)計(jì)者便希望能更多地利用“自然飛行”，盡量少作機(jī)動(dòng)而達(dá)到同樣的目的。這其中用得很多的方法叫做“引力助推”。
引力助推
如果有人問你，人類飛向太空的第一阻力是什么？大多數(shù)人會(huì)不約而同地回答：是引力。的確如此，人類實(shí)現(xiàn)飛天夢(mèng)的最艱難歷程就是克服地球的引力。我們從中學(xué)物理中就學(xué)到了如何計(jì)算幾個(gè)宇宙速度，那是人類擺脫地球或太陽引力的束縛沖向太空的幾道門檻：如果達(dá)到第一宇宙速度（7.9km/s）能讓物體圍繞地球旋轉(zhuǎn)；如果達(dá)到第二宇宙速度（11.2km/s）便可以克服地球引力，繞著太陽轉(zhuǎn)；第三宇宙速度（16.7km/s）標(biāo)志著能夠擺脫太陽的引力羈跘。
圖片來自網(wǎng)絡(luò)
不過，想跨越這幾個(gè)門檻談何容易？人類努力了幾十年，迄今為止發(fā)射速度最快的航天器“新地平線”（New Horizons），2006年發(fā)射時(shí)相對(duì)地球的速度為16.26 km/s，尚未達(dá)到第三宇宙速度。然而，人類于39年前發(fā)射的兩個(gè)旅行者探測(cè)器（voyager1和2），旅行中的最高速度，卻大大超過了這個(gè)速度。這其中有何奧秘呢？人造飛行器額外的動(dòng)能從何而來？
以上問題的答案也是：引力。也就是說，對(duì)人類發(fā)射的航天飛行器而言，引力有時(shí)是阻力，有時(shí)又可能成為“推力”，我們可以利用太陽系中各大行星與飛行器間的引力作用，來加速飛行器。換個(gè)通俗的說法，讓飛行器從高速運(yùn)動(dòng)的行星旁邊掠過，順便讓自己得到加速度，從行星身上“揩點(diǎn)油”！
這種方法叫做“引力助推” ，航天技術(shù)中經(jīng)常使用來改變飛行器的軌道和速度，以此節(jié)省燃料、時(shí)間和成本，這種方法既可用于加速飛行器，也可用于在一定的情況下降低飛行器的速度。
圖9-1： “新地平線”和“旅行者”
圖9-1a中間的曲線所示，便是旅行者2號(hào)的速度在飛行過程中的變化情形。注意圖中的速度是相對(duì)于太陽系坐標(biāo)而言，因而與我們提及的相對(duì)于地球坐標(biāo)而言的“宇宙速度”值有所區(qū)別，其差值是地球的公轉(zhuǎn)速度，大約30km/s。曲線上的4個(gè)尖峰分別代表該飛行器在土星、木星、天王星、海王星經(jīng)過時(shí)因?yàn)椤耙χ啤倍a(chǎn)生的速度變化。圖中也畫出了NASA在2006年1月發(fā)射的
“新地平線”的速度曲線（綠色），與“旅行者”的速度曲線相比較，明顯地看出在四個(gè)行星附近，“引力助推”對(duì)旅行者2號(hào)的加速作用。圖9-1b則顯示了兩個(gè)旅行者探測(cè)器的行程。
不過，引力助推的方法要碰上一定的時(shí)機(jī)，機(jī)會(huì)可遇不可求。在1964年夏天，美國航天局噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室一位名為Flandro的研究員，負(fù)責(zé)研究探索太陽系外行星的任務(wù)。Flandro經(jīng)過計(jì)算研究木星，土星，天王星和海王星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)176年才有一次的最好時(shí)機(jī)，那段時(shí)間（大約12年）以內(nèi)，木星、土星、天王星和海王星都將位于太陽的同一側(cè)，運(yùn)行至實(shí)現(xiàn)“引力助推”的理想地點(diǎn)，形成一個(gè)特別的行星幾何排陣?；谶@點(diǎn)，專家們促使NASA啟動(dòng)了“旅行者探測(cè)器”計(jì)劃。
旅行者探測(cè)器。圖片來自網(wǎng)絡(luò)
1977年8月20日和9月5日，旅行者2號(hào)和旅行者1號(hào)從佛羅里達(dá)州的航天中心發(fā)射，她們是兩個(gè)幾乎一模一樣的“雙胞胎姐妹”航天器，攜帶著鐫刻了地球人類的消息和錄音的金唱片，她們的計(jì)算機(jī)的內(nèi)存只有64KB（40年前的老古董電子設(shè)備，諸位可想而知是什么模樣?。?。旅行者2號(hào)，比她 “姐姐” 的速度稍慢一點(diǎn)，但她豐富多產(chǎn)，成果不菲，順利完成了造訪4個(gè)外行星的任務(wù)。
這對(duì)“姊妹花”都曾經(jīng)探測(cè)過土衛(wèi)六的地貌，雖然不很成功，但也為后來的探索提供了許多有用的信息。土衛(wèi)六是土星衛(wèi)星中最大的一顆，被認(rèn)為極有可能存在生命跡象！旅行者2號(hào)旅途中的四次“引力助推”，將原來需要40年完成的“4行星探索”任務(wù)，在10年左右的時(shí)間內(nèi)就提前完成了！旅行者1號(hào)在很快地訪問了木星和土星之后，繼續(xù)它的高速飛行，如今已經(jīng)越過太陽系的邊界，到達(dá)星際空間，成為了飛出太陽系的第一個(gè)人類使者。兩位“旅行者”雖然早已完成為她們預(yù)訂的任務(wù)，卻并未“退休”，至今為止，仍然通過遙遙星空，每天向人類發(fā)來有用的資料，因?yàn)樗齻冸x地球距離遙遠(yuǎn)，這些信息延遲17小時(shí)左右。
原理
最早（1918-1919）提出這個(gè)想法的是一位前蘇聯(lián)物理學(xué)家尤里?康德拉圖克。尤里于1897年生于前蘇聯(lián)的烏克蘭，是太空工程與航天學(xué)的一位先驅(qū)和理論家，曾被蘇聯(lián)政府流放和監(jiān)禁，但他在艱難的環(huán)境下不忘鉆研航天理論。后來，第二次世界大戰(zhàn)中，尤里自愿入伍加入蘇聯(lián)紅軍，并于1943年在戰(zhàn)爭(zhēng)中陣亡。
圖9-2：理解引力助推（或稱重力彈弓）原理的直觀圖
盡管精確地計(jì)算飛行器的引力助推過程需要復(fù)雜的數(shù)學(xué)，但其物理原理卻可以用圖9-2中的例子，簡(jiǎn)單地使用動(dòng)量守恒定律來直觀解釋。引力助推也被稱為“重力彈弓”，因?yàn)樗c彈性碰撞頗為類似。它利用飛船與行星及太陽之間的萬有引力，使行星與飛船交換軌道能量，像彈弓一樣把飛船拋出去。如圖9-2右圖所示，想象將一個(gè)籃球投向一列對(duì)面疾駛而來的火車。設(shè)籃球速度為V1=5m/s，火車速度U=10m/s，方向相反。最后結(jié)果如何？
考慮火車的質(zhì)量比籃球質(zhì)量大很多，籃球質(zhì)量幾乎可以忽略不計(jì)的簡(jiǎn)單情況下，得到的結(jié)論是：在碰撞之后，籃球從火車那兒“撈了一把”，將以V2=V1+2U=25m/s的速度向后方（火車的前方）飛去?；疖囈?yàn)橘|(zhì)量大，速度幾乎不變，仍然以原來的速度U照常行駛。人類發(fā)射到土星軌道附近的飛船與土星相遇時(shí)的情形便與剛才描述的“籃球撞火車”情形十分類似，只是飛船與土星并未直接接觸，而是像圖9-2左圖所示的那樣繞行過去，引力在其中扮演著重要的角色。兩者的物理原理雖然不同，但最后效果卻是類似的：飛船得到了兩倍土星速度的速度增值。
也許有人會(huì)覺得以上的說法有違能量守恒。結(jié)論當(dāng)然不是如此，實(shí)際上在兩種情形下嚴(yán)格的計(jì)算都需要用到能量守恒?；@球的速度增加了，雖然看起來對(duì)火車似乎沒有影響，但應(yīng)該有那么一點(diǎn)極其微小的擾動(dòng)，籃球增加的動(dòng)能最終是來自于火車的動(dòng)力系統(tǒng)。在飛船的情況，能量則來自行星或太陽系。
圖片來自網(wǎng)絡(luò)
引力助推想法早已被前蘇聯(lián)物理學(xué)家提出，據(jù)說蘇聯(lián)月球3號(hào)應(yīng)用此技術(shù)，曾經(jīng)繞到月球背面拍下了照片。但是，真正認(rèn)識(shí)并深入研究這項(xiàng)技術(shù)的人是美國數(shù)學(xué)家邁克爾Minovitch。
邁克爾當(dāng)時(shí)（60年代初）還只是加州大學(xué)洛杉磯分校的一名研究生，他因?yàn)檠芯俊叭w問題”而得到了使用當(dāng)時(shí)最快的計(jì)算機(jī)的機(jī)會(huì)，也就是在他模擬“三體問題”的過程中發(fā)現(xiàn)，一艘飛船飛經(jīng)繞日的行星，可以在不使用任何火箭燃料的情況下竊取行星的一點(diǎn)軌道速度加速離開太陽，邁克爾并由此而認(rèn)識(shí)到重力彈弓對(duì)加速航天器的巨大潛力，并說服NASA將此思想運(yùn)用于實(shí)踐。
三體問題和拉格朗日點(diǎn)
三體問題的歷史悠久，還得從牛頓時(shí)代說起。
牛頓創(chuàng)建了微積分和萬有引力定律之后，自然首先迫不及待地將它們用于研究天體的運(yùn)動(dòng)問題。他用數(shù)學(xué)方法嚴(yán)格地證明了開普勒三大定律，使二體問題得到了徹底的解決。所謂的二體問題就是說，只考慮兩個(gè)具有質(zhì)量m1和m2的質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用（通常是考慮萬有引力）時(shí)，研究它們的運(yùn)動(dòng)情況。也就是說，像地球的自轉(zhuǎn)啦、形狀啦等等，我們是統(tǒng)統(tǒng)不考慮的。二體問題數(shù)學(xué)上可以歸結(jié)為求解如下的微分方程：
公式中的F12和F21是兩個(gè)質(zhì)量之間的作用力，在天體運(yùn)動(dòng)情況下是萬有引力，在微觀世界中可以是其它的力，比如電磁作用之類的。不過我們以后在談及二體、三體、或N體問題時(shí)，只考慮萬有引力。
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牛頓時(shí)代就已經(jīng)得到了上述二體問題微分方程的精確解，凡是學(xué)過中學(xué)物理的人都知道，這時(shí)的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)在一個(gè)平面上繞著共同質(zhì)心作圓錐曲線運(yùn)動(dòng)，軌道可以是圓、橢圓、拋物線或者雙曲線。不過，在大多數(shù)實(shí)用情況下，人們通常感興趣的是橢圓軌道類型的問題，因?yàn)閷?duì)其它兩種情況，天體逃之夭夭，不知跑到哪里去了，也許有了新的同伴，那就是另外的新問題了。因此，之后考慮三體問題時(shí)，大多數(shù)情況，我們也只討論互相作繞圈運(yùn)動(dòng)的情形。
二體問題的成功解決給牛頓以希望，他自然地開始研究三體問題，沒想到從2加到3之后的問題使牛頓頭痛不已。豈止是牛頓，之后的若干數(shù)學(xué)家，即使直到幾百年之后的今天，三體問題仍然未能圓滿地解決，大于3的N體問題自然就更為困難了。如此困難的三體問題卻是天體運(yùn)動(dòng)中非常常見的情況。比如考慮太陽、地球、月亮三者，或者如上所述，研究飛船、行星、太陽的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，就是典型的三體問題。
從數(shù)學(xué)方法來說，解2體和3體問題都是解微分方程組，但2體問題可以通過求積分就簡(jiǎn)單解決了，同樣的方法卻無法對(duì)付三體問題。但數(shù)學(xué)家們總有他們的辦法，問題解不出來時(shí)就將其簡(jiǎn)化。既然二體問題之解令人十分滿意，那就在二體問題解的基礎(chǔ)上做文章。
圖片來自網(wǎng)絡(luò)
首先可以假設(shè)，3個(gè)天體中其中兩個(gè)的質(zhì)量m1和m2比第3個(gè)質(zhì)量m要大得多。所以，第3個(gè)小天體對(duì)兩個(gè)大天體的影響完全可以忽略，這樣就可以將兩個(gè)大天體的運(yùn)動(dòng)作為二體問題解出來。然后，再將第三個(gè)天體看作是在前兩個(gè)天體的引力勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子而求解其運(yùn)動(dòng)方程。這樣簡(jiǎn)化后的問題被稱之為“限制性三體問題”。但實(shí)際情況令人很不愉快，即使是簡(jiǎn)化到了這種地步，小質(zhì)點(diǎn)m的運(yùn)動(dòng)方程仍然無法求解。
于是，又進(jìn)一步簡(jiǎn)化成“平面限制性三體問題”，就是要求三個(gè)質(zhì)點(diǎn)都在同一個(gè)平面上運(yùn)動(dòng)，但似乎還是得不出方程的通解。
得不到通解便研究一些近似解和特殊解，這兩方面倒是有點(diǎn)成效。頗為成功的近似方法是“攝動(dòng)理論”，實(shí)質(zhì)上就是一種微擾法?？紤]兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，將第三個(gè)物體的作用作為對(duì)前兩者的微擾。這種方法解決和預(yù)測(cè)太陽系中的一些現(xiàn)象卓有成效。
對(duì)“平面限制性三體問題”，18世紀(jì)的歐拉和拉格朗日則求到了小質(zhì)量運(yùn)動(dòng)方程的幾個(gè)特解，見圖9-3。
圖9-3：小質(zhì)量天體在兩體系統(tǒng)中的拉格朗日點(diǎn)
這些小質(zhì)量在兩體系統(tǒng)中的特解被統(tǒng)稱為稱為拉格朗日點(diǎn)。這是指在兩大物體引力作用下，能使小物體暫時(shí)穩(wěn)定的幾個(gè)點(diǎn)，其中的L1、L2、L3實(shí)際上是歐拉得到的，L4和L5由拉格朗日在1772年得到，發(fā)表在他的論文“三體問題”中。
從圖9-3a所示，拉格朗日點(diǎn)中的三個(gè)：L1、L2、L3位于兩個(gè)大天體的連線上，L4和L5則分別位于連線的上方和下方與大天體距離相等并組成一個(gè)正三角形的兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)上?？梢詮臄?shù)學(xué)上證明，在連線上的三個(gè)拉格朗日點(diǎn)不是真正“穩(wěn)定”的點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)于“鞍點(diǎn)”類型的極值點(diǎn)。只有L4和L5是對(duì)應(yīng)于最小值的穩(wěn)定點(diǎn)。也就是說，當(dāng)小質(zhì)量位于L4和L5時(shí)，即使受到一些外界引力的擾動(dòng)，它仍然有保持在原來位置的傾向。
圖9-3b顯示了在L4點(diǎn)對(duì)小天體的3個(gè)作用力（地球引力、太陽引力、離心力）是如何平衡的。有趣的是，我們都知道力學(xué)結(jié)構(gòu)中的三角形與穩(wěn)定性有關(guān)，當(dāng)小質(zhì)量位于L4和L5時(shí)，三個(gè)質(zhì)點(diǎn)正好構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，這是否暗藏了某種穩(wěn)定性原理呢？L4和L5有時(shí)也被稱為“三角拉格朗日點(diǎn)”或“特洛伊點(diǎn)”。
初一看，五個(gè)拉格朗日點(diǎn)的存在似乎沒有多大的實(shí)際意義，只像是個(gè)趣味數(shù)學(xué)游戲。但是，沒想到它們還真有一定的實(shí)際用途，自然界的實(shí)例也證明，穩(wěn)定解在太陽系里就存在。1906年，天文學(xué)家首次發(fā)現(xiàn)木星的第588號(hào)小行星和太陽正好等距離，它同木星幾乎在同一軌道上超前60°運(yùn)動(dòng)，3者一起構(gòu)成等邊三角形。同年發(fā)現(xiàn)的第617號(hào)小行星則在木星軌道上落后60°左右，構(gòu)成第2個(gè)正三角形。
特洛伊群。圖片來自網(wǎng)絡(luò)
之后進(jìn)一步證實(shí)，木星軌道上有小行星群（特洛伊群和希臘群）是分別位于木星和太陽的拉格朗日點(diǎn)L4和L5上。有時(shí)將這類小行星群統(tǒng)稱為特洛伊群，迄2007年9月為止，已經(jīng)確認(rèn)的特洛伊小行星有2,239顆，其中1,192顆在L4點(diǎn)，1,047顆在L5點(diǎn)。
此外，在土星-太陽系統(tǒng)及火星-太陽系統(tǒng)的L4和L5點(diǎn)上也都發(fā)現(xiàn)有小衛(wèi)星存在。還曾經(jīng)在地球-太陽系統(tǒng)的L4和L5點(diǎn)上發(fā)現(xiàn)存在塵埃群，2010 TK7是首顆被發(fā)現(xiàn)的地球的特洛伊小行星。對(duì)微觀世界的研究也發(fā)現(xiàn)拉格朗日穩(wěn)定點(diǎn)的存在。
在發(fā)射人造衛(wèi)星及其它人造天體時(shí)，科學(xué)家和工程師們也考慮和利用這些拉格朗日點(diǎn)的存在。我們可以以太陽和地球加小星體的系統(tǒng)為例來考察一下這些特殊點(diǎn)。比如，L1、L2、L3都在日地連線上，L1在日地之間，小星體在這個(gè)位置時(shí)，它的軌道的周期恰好等于地球的軌道周期。日光探測(cè)儀即可圍繞日地系統(tǒng)的L1點(diǎn)運(yùn)行。L2點(diǎn)偏向地球一側(cè)，通常用于放置空間天文臺(tái)，如此可以保持天文臺(tái)背向太陽和地球的方位，易于保護(hù)和校準(zhǔn)。L3在日地連線上偏向太陽一側(cè)，像是與地球?qū)ΨQ，一些科幻小說中稱之為“反地球”。
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