拿破侖·波拿巴是十九世紀(jì)法國(guó)偉大的軍事家、政治家，法蘭西第一帝國(guó)的皇帝。拿破侖也是一名頗具才能的數(shù)學(xué)愛(ài)好者，上軍校時(shí)曾獲得數(shù)學(xué)獎(jiǎng)，被其數(shù)學(xué)老師視為得意門(mén)生。他發(fā)現(xiàn)并證明了以下定理：

拿破侖定理

以任意三角形各邊為邊分別向外側(cè)作等邊三角形，則他們的中心構(gòu)成一個(gè)等邊三角形。該等邊三角形稱(chēng)為拿破侖三角形。如果向內(nèi)作三角形，結(jié)論同樣成立。

放手家長(zhǎng)（頭條號(hào)@放手家長(zhǎng)）曾利用復(fù)數(shù)三點(diǎn)比的性質(zhì)，對(duì)上述定理給出了一個(gè)非常漂亮的證明。證明簡(jiǎn)潔美觀，感興趣的讀者可以去了解一下。

現(xiàn)在，我們重新思考拿破侖定理，初等幾何最常見(jiàn)兩大類(lèi)幾何圖形就是三角形和矩形了。拿破侖定理中，是根據(jù)三角形的每條邊同時(shí)向內(nèi)或向外做正三角形，那么如果向外或向內(nèi)做正方形會(huì)如何呢？

如下圖，任取三角形ABC,以三條邊分別向外做正方形。取三個(gè)正方形的中心，連接成新三角形DEF。利用幾何畫(huà)板作圖如下：

然而，并沒(méi)有正三角出現(xiàn)，甚至連個(gè)等腰三角形也不是。似乎此路不通。

不著急。我們?cè)僮屑?xì)觀察一下上面的圖形。看起來(lái)，如果連接BG的話，似乎BG和EF是垂直的，而且長(zhǎng)度還差不多。由三條邊的未加限定的一般性可知，假如BG和EF垂直且相等的話，那CE和FG垂直且相等，AF和EG垂直且相等。從圖上看來(lái)，似乎是成立的！不妨一試。

這里以驗(yàn)證線段BG和EF的關(guān)系為例：隱藏?zé)o關(guān)線段，連接BG。移動(dòng)三角形各個(gè)頂點(diǎn)，觀察EF、BG的長(zhǎng)度和斜率變化，如下：

在變化的過(guò)程中，EF與BG始終相等且兩者斜率乘積為-1，也就是互相垂直。

現(xiàn)在，幾乎可以肯定結(jié)論是正確的，但幾何畫(huà)板不是證明。還需要給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。類(lèi)似地，這里用復(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明。兩線段垂直且相等，其實(shí)就是旋轉(zhuǎn)90°的關(guān)系。等價(jià)于線段對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z1和z2滿足z1=±i*z2（i是虛數(shù)單位，i^2=-1)。

建立復(fù)平面，A,B,C,E,F,G各點(diǎn)分別表示一個(gè)復(fù)數(shù)。怎么樣處理這六個(gè)點(diǎn)呢？題設(shè)是先有任意一個(gè)三角形ABC，再有三個(gè)點(diǎn)EFG的，所以思路就是建立EFG三個(gè)點(diǎn)和ABC三點(diǎn)之間的關(guān)系。

容易知道，三角形AEB是等腰直角三角形，AE=BE,且互相垂直，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)關(guān)系，也就是：

同理，有

于是

從而|EF|=|BG|，兩者的確垂直且相等。同理可證CE和FG垂直且相等，AF和EG垂直且相等。

證明完畢！

現(xiàn)在，我們?cè)偎伎家幌?。拿破侖定理是利用任意三角形然后再做正三角形，上面的推廣把正三角形變成了正方形，以任意三角形然后再做正方形，我們也得到比較不錯(cuò)的性質(zhì)。但是，似乎哪里有些不和諧的地方？

任意三角形是不是可以改成任意四邊形呢？以該四邊形的四條邊再做四個(gè)正方形，這樣是不是和拿破侖定理更有”對(duì)稱(chēng)性“的一種推廣形式呢？不妨一試。

幾何畫(huà)板作圖如下：作任意四邊形ABCD,分別以各邊向外做正方形，中心分別是EFGH.

有了前面的鋪墊，一眼可以看出GE與FH垂直且相等。

類(lèi)似地，利用復(fù)數(shù)，有如下證明：

奧貝爾定理（van Aubel's theorem）

于是，我們得到奧貝爾定理：任意一個(gè)四邊形（凸或凹皆可），在其各邊外側(cè)構(gòu)造一個(gè)正方形。將對(duì)邊正方形的中心連線，就得到兩條長(zhǎng)度相等且互相垂直的線段。三角形可以視為四邊形的特例——一條邊為0的四邊形。此時(shí)，兩個(gè)頂點(diǎn)以及相應(yīng)正方形的中心收縮為同一個(gè)點(diǎn)，奧貝爾定理仍成立。

復(fù)數(shù)作為幾何證明的一種方法，其實(shí)就是解析幾何中的向量分析。但復(fù)數(shù)天然地既可視為數(shù)，又可視為旋轉(zhuǎn)拉伸變換，具有良好的運(yùn)算性質(zhì)和清晰的幾何意義，所以許多平面幾何的問(wèn)題，運(yùn)用復(fù)數(shù)都可以做出比較簡(jiǎn)潔的解答。