專家簡介
陳洪杰：資深編輯，《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》副主編；上海悅遠(yuǎn)教育課程總監(jiān)；上海協(xié)和雙語學(xué)校課程研究員、《協(xié)和教育》執(zhí)行主編；小學(xué)數(shù)學(xué)“辯課進(jìn)校園”“研師三人行”活動(dòng)發(fā)起人，北師大教材“動(dòng)手做數(shù)學(xué)”項(xiàng)目首席專家。
復(fù)習(xí)課這樣上，更有“含金量”!
陳洪杰
稱職的教師要求學(xué)生去學(xué)的東西，首先就是“學(xué)”本身——海德格爾
一、復(fù)習(xí)課的主環(huán)節(jié)
小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課是以復(fù)習(xí)鞏固某一階段所學(xué)知識(shí)為主要任務(wù)的一種數(shù)學(xué)課型。在課堂教學(xué)中，復(fù)習(xí)課一般都會(huì)有兩個(gè)主要環(huán)節(jié)：整理環(huán)節(jié)與練習(xí)環(huán)節(jié)。整理能使學(xué)生對(duì)知識(shí)建立結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化和關(guān)系性的認(rèn)識(shí)，溫故而知新；練習(xí)則能幫助學(xué)生查缺補(bǔ)漏，訓(xùn)練相關(guān)技能并提高問題解決的能力。
兩者之間的側(cè)重是相對(duì)的，表現(xiàn)在課堂上，既有兩個(gè)環(huán)節(jié)的界限比較明顯的“先理后練型”的復(fù)習(xí)課，也有“邊理邊練型”“以練帶理型”的復(fù)習(xí)課。我們的教學(xué)不能將“理”和“練”割裂地看待，而要根據(jù)內(nèi)容、學(xué)段、復(fù)習(xí)跨度等變量選擇合適的方式，讓整理與練習(xí)在復(fù)習(xí)課上和諧、有機(jī)地共存。
二、選擇的變量
如前文所述，內(nèi)容、學(xué)段、復(fù)習(xí)跨度等變量是我們?cè)谏蠌?fù)習(xí)課時(shí)要考慮的，試簡述之。
內(nèi)容變量：知識(shí)點(diǎn)之間邏輯聯(lián)系緊密、關(guān)聯(lián)性強(qiáng)的內(nèi)容，可以放手讓學(xué)生整理，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生建立知識(shí)的結(jié)構(gòu)化圖示（整理成果的表現(xiàn)方式可以各異）。比如，“平面圖形的面積總復(fù)習(xí)”一課，我們總是能看到教師們不約而同地讓學(xué)生整理不同圖形面積公式之間的關(guān)系。而對(duì)于計(jì)算或問題解決的內(nèi)容，教師們總是側(cè)重查缺補(bǔ)漏，課堂上“邊理邊練”或“以練帶理”。
學(xué)段變量：小學(xué)低年級(jí)，學(xué)生的認(rèn)知更多地依賴直觀，而整理包含了這樣的一個(gè)過程：將所學(xué)的知識(shí)變成一個(gè)“點(diǎn)”，連點(diǎn)成線、連線成網(wǎng)。這對(duì)低段學(xué)生而言，有一定的難度。同時(shí)，整理成果的表達(dá)要借助一定的形式：口頭復(fù)述、畫圖、列表、文字描述等。相對(duì)而言，低段學(xué)生可以借用的形式較少，因此，低段的復(fù)習(xí)課對(duì)學(xué)生自主整理的要求可以低一些。
復(fù)習(xí)跨度：每堂復(fù)習(xí)課都有它要復(fù)習(xí)的范圍，這個(gè)范圍，我稱之為“跨度”。從跨度看，復(fù)習(xí)課可以有單元復(fù)習(xí)課、期中復(fù)習(xí)課、期末復(fù)習(xí)課、學(xué)年總復(fù)習(xí)課等類型?？缍炔煌?，復(fù)習(xí)的內(nèi)容不同，復(fù)習(xí)課的目標(biāo)定位和呈現(xiàn)的課堂形態(tài)也應(yīng)該有所不同。比如，跨度大的復(fù)習(xí)課，涵蓋的知識(shí)點(diǎn)會(huì)顯得多而散，整理的比重就要相應(yīng)加強(qiáng)；而有聯(lián)系的幾個(gè)單元的復(fù)習(xí)，可以有“理”和“練”的不同側(cè)重。
上述三個(gè)變量是比較容易看到的，同樣，這三個(gè)變量也不是割裂的。我將三個(gè)變量分別列出，“醉翁之意”是想說明一點(diǎn)：理想的復(fù)習(xí)課應(yīng)該因內(nèi)容、學(xué)段、跨度等而“異”，而不是像現(xiàn)在的很多復(fù)習(xí)課那樣給人千篇一律的觀感。當(dāng)然，對(duì)教學(xué)而言，最大的變量是學(xué)生，學(xué)生前期的學(xué)習(xí)情況、經(jīng)驗(yàn)的積累、整體的情意水平，等等，決定了教學(xué)的抉擇，復(fù)習(xí)課亦然。
三、問題之所在
說現(xiàn)在的復(fù)習(xí)課給人千篇一律的感覺，可能抹殺了廣大一線教師對(duì)復(fù)習(xí)課百花齊放的探索。但，很多教師都有這樣的體會(huì)：學(xué)生對(duì)復(fù)習(xí)課的興趣不高。換言之，作為一種課型，不管是教師的教，還是學(xué)生的學(xué)，復(fù)習(xí)課相對(duì)而言是最單調(diào)的（公開課上也難覓復(fù)習(xí)課的身影）。這就是為什么我敢于將復(fù)習(xí)課的環(huán)節(jié)提煉為“整理”與“練習(xí)”的原因，而這兩個(gè)環(huán)節(jié)其實(shí)就是一線教師的共識(shí)。這也是為什么我要列出年段、內(nèi)容、跨度的變量的原因，因?yàn)?，正是?fù)習(xí)課忽視了這些變量，學(xué)生才會(huì)興趣不高。
如此，我們建立了一個(gè)區(qū)間：理想的復(fù)習(xí)課因各種變量而異，現(xiàn)實(shí)的復(fù)習(xí)課千篇一律。如何將復(fù)習(xí)課上出差異性（針對(duì)性），由此岸到彼岸，或許就是一線教師要努力的方向。不過，我們必須避免陷入自相矛盾的邏輯：復(fù)習(xí)課本身就是異于新授課、活動(dòng)課、概念課等課型的，整理與練習(xí)環(huán)節(jié)的出現(xiàn)恰恰是其功能定位的體現(xiàn)，要避免由此產(chǎn)生的千篇一律的觀感，是不是類似于戴著鐐銬跳舞？或者說，你要玩貓追貓尾巴的游戲？問題的根源和解決之道，都在一線的復(fù)習(xí)課教學(xué)實(shí)踐中。
我們看到，整理環(huán)節(jié)常常是教師主導(dǎo)的，以一問一答（或解題）的方式逐一梳理各個(gè)知識(shí)點(diǎn)。然后，教師通過精心設(shè)計(jì)的板書（或課件）逐步將知識(shí)間的聯(lián)系整理出來。整理，看似是學(xué)生在做，其實(shí)是教師越廚代庖。思路，或者說是知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，看似十分清楚，卻是“教師的”清楚。對(duì)學(xué)生而言，他們其實(shí)沒有經(jīng)歷主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的過程，整理的結(jié)果是告知給他們的。
同樣，在練習(xí)的環(huán)節(jié)，也是以教師出題、學(xué)生解題為主，所不同的是，有心的教師會(huì)利用學(xué)生的錯(cuò)題資源，會(huì)選擇帶有生活氣息、時(shí)代特點(diǎn)、文化品位等有一定特色的習(xí)題。所以，我們看到，復(fù)習(xí)課梳理知識(shí)、查缺補(bǔ)漏等功能定位都沒有錯(cuò)，但問題是，誰來梳理？怎樣梳理？當(dāng)學(xué)生以被動(dòng)的方式參與復(fù)習(xí)時(shí)，他們自然不喜歡復(fù)習(xí)課。而在我看來，對(duì)復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)，如果教師僅僅考慮整理成果的形式如何更簡潔、明了，練習(xí)的設(shè)計(jì)如何更獨(dú)具匠心，而忽略學(xué)生參與的狀態(tài)，忽略對(duì)學(xué)生思維的提升，那都是在同一個(gè)方向上前進(jìn)，五十步笑百步而已。
四、建議與原則
行文至此，稍顯泛泛，接下來結(jié)合課堂教學(xué)，給出兩條具體建議：（1）讓學(xué)生自主整理，完整經(jīng)歷“由薄到厚”和“由厚到薄”的過程[1]。（2）練習(xí)的設(shè)計(jì)要培養(yǎng)學(xué)生的敏感性并拓展學(xué)生的思維。這兩條建議本質(zhì)上是要提升復(fù)習(xí)課的思維含量，使復(fù)習(xí)課具有培養(yǎng)學(xué)生綜合能力的教學(xué)價(jià)值。同時(shí)，這樣的定位對(duì)教師的“教”提出了更高的要求，復(fù)習(xí)課和新授課一樣，也能打磨教師的教學(xué)藝術(shù)。
【案例1】
在蘇教版《數(shù)學(xué)》六年級(jí)下冊(cè)“簡便計(jì)算總復(fù)習(xí)”課上，教師特意安排學(xué)生當(dāng)堂整理各種運(yùn)算定律（含性質(zhì)，下文同），以下是部分學(xué)生的作品。
從教師為學(xué)生準(zhǔn)備水筆、白紙可以看出，這堂課已經(jīng)有了讓學(xué)生自主整理的意識(shí)，把學(xué)生推到了臺(tái)前。令人遺憾的是，當(dāng)學(xué)生產(chǎn)生上述種種不同的整理方式時(shí)，教師對(duì)這些資源并沒有很好地利用，在呈現(xiàn)了幾種不同的整理方式并板演完備的整理方式后，教學(xué)即進(jìn)入下一環(huán)節(jié)。
其實(shí)只要仔細(xì)觀察，我們可以看到學(xué)生整理的種種缺陷：
1.對(duì)學(xué)過的內(nèi)容記不全。3號(hào)回憶出7種（基本要求），1、2、4回憶出9種，5號(hào)只回憶出5種。2.內(nèi)容有誤。比如1號(hào)對(duì)除法性質(zhì)拓展2的記憶有誤，5號(hào)把“律”全部錯(cuò)成了“率”。3.對(duì)無關(guān)因素的強(qiáng)調(diào)。比如4號(hào)畫了蝴蝶，5號(hào)更是花哨（提供的彩筆產(chǎn)生了副作用）。4.形式缺陷。作品4、5有“簡便計(jì)算”的標(biāo)題，其余的沒有；1、2、5給部分定律的字母表達(dá)式留的空間不合理。5.缺乏思維提升。（1）現(xiàn)場(chǎng)看到不少學(xué)生翻書抄寫運(yùn)算定律，而不是根據(jù)運(yùn)算或定律的維度去“演繹”出所有的定律。（2）學(xué)生都是一維的思考，即先按運(yùn)算分，再按定律分（或者相反）。就筆者搜集的12份資料看（圖略），沒有一位學(xué)生從運(yùn)算、定律（性質(zhì)）二維演繹的角度思考（類似下表）。
總的來說，學(xué)生不知道整理的目的和意義，也不知道整理的標(biāo)準(zhǔn)，更缺乏根據(jù)復(fù)習(xí)的內(nèi)容選擇合適的呈現(xiàn)形式的意識(shí)與能力。這樣的知識(shí)整理，是學(xué)生自主的，卻是原始的、粗糙的、缺乏思維含量的！
對(duì)此，教師基于學(xué)生的資源至少有這些事可以做：
1.呈現(xiàn)多種資源（不同形式及殘缺或錯(cuò)誤的資源都有），追問：看一看，這些整理都對(duì)嗎？這是關(guān)注結(jié)果，學(xué)生發(fā)現(xiàn)有的整理不全或重復(fù)后，教師追問：怎樣記憶才能不重復(fù)、不遺漏、不會(huì)錯(cuò)？引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)算或定律的維度來記憶，這其實(shí)是引導(dǎo)學(xué)生將所有定律進(jìn)行兩次分類，至于先以運(yùn)算還是定律來分，由學(xué)生自己決定。
2.討論：這些整理的方式，你覺哪種好？為什么？引導(dǎo)學(xué)生得到整理要不重復(fù)、不遺漏，簡潔、明了、直觀等標(biāo)準(zhǔn)（可用學(xué)生的原話），突出整理是為了更好地看清楚學(xué)了什么及學(xué)習(xí)內(nèi)容間的聯(lián)系。
3.提升：回頭看！根據(jù)我們討論的標(biāo)準(zhǔn)，現(xiàn)在你能改一改自己的整理方式嗎？讓學(xué)生把原先自己有缺陷的整理彌補(bǔ)起來。整理的時(shí)候，教師可以巡視，提醒學(xué)生要考慮前面討論的標(biāo)準(zhǔn)。此時(shí)，還是要尊重學(xué)生個(gè)性化的創(chuàng)造，但又要往數(shù)學(xué)化的標(biāo)準(zhǔn)引導(dǎo)，比如，花哨的裝飾就不允許出現(xiàn)了。
以上三個(gè)環(huán)節(jié)具有遞進(jìn)的關(guān)系，但都不是死模式。比如，對(duì)殘缺或錯(cuò)誤的資源，教師可以最早呈現(xiàn)，也可以在討論整理的標(biāo)準(zhǔn)后呈現(xiàn)并追問“怎么改”。再比如，教師還可以有類似的追問：這些整理方式有什么聯(lián)系和區(qū)別？（形式不同，但知識(shí)的邏輯關(guān)系可以相同）你能不能將這些整理方式分一分？還有哪些內(nèi)容適合用表格（畫圖）法來整理？……教學(xué)中的變通是必然的，不變的是：基于學(xué)生的整理，教師的引導(dǎo)要能深化學(xué)生的認(rèn)識(shí)、提升學(xué)生的思維。復(fù)習(xí)課如此，其他課亦然！
其實(shí)，真正對(duì)知識(shí)的梳理或許是這樣的過程：把內(nèi)容變成一個(gè)個(gè)點(diǎn)或元素（不重復(fù)、不遺漏，“由厚變薄”）——根據(jù)知識(shí)之間的邏輯關(guān)系，考慮呈現(xiàn)的形式（形成知識(shí)結(jié)構(gòu)，選擇、判斷）——確定形式，進(jìn)行整理（知識(shí)結(jié)構(gòu)的外化，個(gè)性化的創(chuàng)造，“由薄變厚”）。有時(shí)，整理不是一次完成的，所以整理完成后甚至在整理過程中，都會(huì)有對(duì)形式的調(diào)整與修改。畢竟，形式與內(nèi)容有統(tǒng)一性，有時(shí)選對(duì)了整理的方式，知識(shí)間的聯(lián)系就呼之欲出了！
對(duì)上述5幅作品，我們還要看到其正面意義：一方面，學(xué)生不同的、殘缺的整理方式，為教師引領(lǐng)學(xué)生比較、提升提供了可能。另一方面，不同內(nèi)容、學(xué)段、跨度的復(fù)習(xí)中，學(xué)生的差異與殘缺（問題）也是不同的，據(jù)此而教，復(fù)習(xí)課就有了差異性（針對(duì)性）。比如，對(duì)滬教版四年級(jí)下冊(cè)“運(yùn)算定律和性質(zhì)”的單元復(fù)習(xí)，就可以引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)算符號(hào)的角度去思考：到目前為止，我們研究了含有“×”“+”兩個(gè)符號(hào)的運(yùn)算定律，“×”與“-”，“÷”與“+”能組合嗎？有興趣的可以課后研究！又比如，在“分一分”中遇到的大括號(hào)、在“雞兔同籠”中遇到的表格、在“倒推”中遇到的流程圖等，這些外在的形式在相應(yīng)內(nèi)容的教學(xué)中一般是不受重視的，教師在后續(xù)單元的復(fù)習(xí)中或許可以這樣引導(dǎo)：上個(gè)單元我們?cè)诜忠环种杏玫搅舜罄ㄌ?hào)，你能用大括號(hào)把這個(gè)單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容分分類嗎？在年級(jí)的復(fù)習(xí)中始終讓這些外在形式能出現(xiàn)一下，隨著年級(jí)的身高，對(duì)學(xué)生“根據(jù)復(fù)習(xí)內(nèi)容選擇合適整理方式”的要求逐步提高。——內(nèi)容、學(xué)段、跨度等的差異，其實(shí)為復(fù)習(xí)課之“異”提供了基礎(chǔ)和保障，教師有上好復(fù)習(xí)課的可能！
【案例2】
關(guān)于練習(xí)的設(shè)計(jì)，使練習(xí)“精致化”的案例此處不說，只說讓練習(xí)超越訓(xùn)練技能或解題的做法。
在三年級(jí)下冊(cè)“長方形、正方形的周長和面積”的復(fù)習(xí)課上，教師可以設(shè)計(jì)如下的專項(xiàng)練習(xí)。[2]
判斷：下面各題和求周長有關(guān)還是和求面積有關(guān)？
1.學(xué)校的花壇有多大？
2.黑板報(bào)的花邊有多長？
3.在街心花壇散步，走了多少米？
4.空地上要鋪上草皮、圍上欄桿，各要多少材料？
5.配玻璃和鏡框，各需要多少錢？
在五年級(jí)下冊(cè)“長方體和正方體”單元總復(fù)習(xí)課上，教師又可以設(shè)計(jì)如下的專項(xiàng)練習(xí)。[3]
判斷：下面問題哪些與求體積或表面積有關(guān)?
1.水池里有多少噸水？
2.制作一個(gè)盒子至少要用多少硬紙板？
3.石頭放入有水的玻璃杯中，水面上升多少？
4.游泳池貼瓷磚，要多少塊瓷磚？
5.油漆大廳里的長方體柱子，要多少油漆？
6.學(xué)校要砌一面墻，要多少塊磚？
上述兩組題目，都帶“？”卻都沒有具體數(shù)值，也不需要學(xué)生計(jì)算。這打破了學(xué)生看到題目就要算的思維定勢(shì)，讓他們整體考察題目和已學(xué)內(nèi)容間的聯(lián)系，反思知識(shí)所適用的情境。同時(shí)，這兩組練習(xí)設(shè)計(jì)都針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)和薄弱點(diǎn)，有的放矢。比如，第一組練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分面積和周長，第二組練習(xí)在區(qū)分體積和表面積的同時(shí)，還暗含求表面積時(shí)要看清楚求幾個(gè)面的意圖。對(duì)這兩組練習(xí)，教師也可以精致化設(shè)計(jì)，比如對(duì)草地上鋪草皮、圍欄桿，油漆大廳中的方形柱子問題，可以配PPT幫助學(xué)生理解。在教學(xué)上，要注意追問：你是怎么看出來的？
這樣“不要求計(jì)算只做判斷”的專項(xiàng)練習(xí)，適用于各個(gè)內(nèi)容的復(fù)習(xí)，比如，在上文所述的運(yùn)算定律的復(fù)習(xí)中，就可以呈現(xiàn)一組題目，讓學(xué)生快速判斷：能不能簡算？如果能簡算，用了什么定律？甚至在新授課時(shí)，這樣的練習(xí)也是有意義的，比如，在蘇教版各種策略（列表、替換、倒推等）的教學(xué)中就特別適合安排這樣的練習(xí)，提升學(xué)生根據(jù)情境選擇策略的意識(shí)[4]。畢竟，解題能力（在中國尤其表現(xiàn)在對(duì)解題速度的追求），只是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一部分。要提升復(fù)習(xí)課的含金量，在練習(xí)環(huán)節(jié)或許可以多一些這樣的判斷練習(xí)。
不少教師讓學(xué)生在課外自己找“容易出錯(cuò)”的題目并在課上組織交流，一改教師出題、學(xué)生答題的做法，也是很有價(jià)值的。要注意的是，此時(shí)，教師要看到學(xué)生出的題目是否可以涵蓋知識(shí)的薄弱點(diǎn)，有時(shí)也需要教師“借雞生蛋”出示學(xué)生沒有找到卻典型的題目。此外，在課前完成整理和出題的復(fù)習(xí)課上，筆者不止一次地發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生抄學(xué)習(xí)資料的現(xiàn)象（很多教輔都會(huì)梳理單元知識(shí)）。只要學(xué)生是經(jīng)過選擇、判斷和挑選的，抄襲也是學(xué)習(xí)。不過，排除學(xué)習(xí)態(tài)度上的原因，我們也要看到，讓學(xué)生自己出題涉及元認(rèn)知，部分學(xué)生可能是能力有限而不得不抄，所以，從年段變量的角度看，可以先鼓勵(lì)學(xué)生找題目（好題、易錯(cuò)題），再到改編題目、創(chuàng)造題目，并讓大家評(píng)議這些題目好在哪里【這里，一線老師有很多文章可寫啦！不缺很好玩的案例】。畢竟，讓學(xué)生經(jīng)歷自主整理、自己出題的過程，比呈現(xiàn)一個(gè)漂亮的結(jié)果要重要，教師要引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到這一點(diǎn)。
附注：
1.原文地址：
http://user.qzone.qq.com/57344650/blog/1369104571。
2.如果本文轉(zhuǎn)載過百，明天再發(fā)一篇我寫的復(fù)習(xí)課文章。
3.我們?cè)倏磶讖埡⒆印皞€(gè)性化占有知識(shí)”的圖片吧?。▓D片拍自成都芳草小學(xué)梅志強(qiáng)老師的課堂）
【這個(gè)孩子關(guān)注的是行不是shu的，行是hen的——孩子想解決的問題未必是老師預(yù)設(shè)的重點(diǎn)、難點(diǎn)！】
【這孩子準(zhǔn)備了一份發(fā)言稿，故，有“我講完了”，可惜沒有輪到，所以就神游藍(lán)天白云了。這里也看到了教師教學(xué)方式（讓學(xué)生講）塑造學(xué)生學(xué)習(xí)方式?！?/p>
【這個(gè)孩子基礎(chǔ)差，但把學(xué)到的用紅筆寫。課堂最美的是，學(xué)習(xí)真正發(fā)生！】
【看中間“要梳里一下錯(cuò)題”——孩子在反思怎么做，而寫成“梳里”則無關(guān)緊要。】
[1]“由薄到厚”和“由厚到薄”借用了華羅庚先生在《學(xué)與識(shí)》（1962年）一文中的說法。
[2]練習(xí)來自上海市靜安區(qū)第一中心小學(xué)王偉琦老師。
[3]朱國榮：《小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)需要厘清的四個(gè)基本問題》，《小學(xué)教學(xué)研究（教學(xué)版）》，2012年第7期。
[4]具體見陳洪杰：《重建教學(xué)細(xì)節(jié)，追尋教育真諦——以“搭配的規(guī)律”的教學(xué)為例》，《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》，2009年第7、8期。
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