■張菁

  案例一：松松的一道數(shù)學(xué)題

  這天下課鈴響了，松松興奮地推開(kāi)辦公室的門，來(lái)到我跟前：“張老師，我在周六的數(shù)學(xué)興趣班上學(xué)了一個(gè)公式，可以很快地算出這樣的題?！闭f(shuō)著他將一張數(shù)學(xué)興趣班的試卷攤在我面前，指點(diǎn)著一道數(shù)學(xué)題：請(qǐng)計(jì)算13、14、15、16、17的和?！跋噜彽臄?shù)之間都相差1，這樣的一串兒數(shù)叫等差數(shù)列，可以根據(jù)等差數(shù)列的求和公式來(lái)算出它們的和?！彼伤捎昧饲蟮炔顢?shù)列的公式很快做出了這道題。面對(duì)一個(gè)小學(xué)四年級(jí)學(xué)生運(yùn)用高中的等差數(shù)列知識(shí)解答此題，我并不感到興奮。

  “你做得很對(duì)，這個(gè)公式確實(shí)能夠快速地計(jì)算出這樣的題目?！蔽蚁裙膭?lì)他一番，隨后話鋒一轉(zhuǎn)，故意賣起關(guān)子：“（13＋17）×5÷2可以看成等差數(shù)列求和公式，其實(shí)這種方法我們本學(xué)期也學(xué)過(guò)?！彼伤捎悬c(diǎn)不服地說(shuō)：“等差數(shù)列求和公式是中學(xué)才講的，我們四年級(jí)哪兒學(xué)過(guò)？”“你不信？如果我們把這些數(shù)字用點(diǎn)子圖來(lái)表示，這道題就會(huì)變成我們本學(xué)期學(xué)過(guò)的一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)，好好想想，你一定能夠想出來(lái)！”松松帶著問(wèn)題疾步離開(kāi)了辦公室。

  第二天一早，松松帶著一臉的興奮與快樂(lè)再次出現(xiàn)在辦公室。“張老師，我知道了，等差數(shù)列求和公式就是我們四年級(jí)學(xué)過(guò)的梯形面積公式！”他一邊向我展示用圓點(diǎn)列出的梯形圖，一邊講：“我把這一串?dāng)?shù)分別用小圓點(diǎn)表示，就形成一個(gè)上底為13、下底為17、高為5的梯形。求這串?dāng)?shù)字的和，就相當(dāng)于求小圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可以用梯形面積公式計(jì)算：（上底＋下底）×高÷2。”

  松松的領(lǐng)悟讓我十分興奮，我進(jìn)一步啟發(fā)他說(shuō)：“如果站在數(shù)的角度去思考，可以把這道求數(shù)字的題看成我們還未學(xué)過(guò)的等差數(shù)列求和知識(shí)；如果站在圖形角度去思考，還可以把它理解為靈活運(yùn)用梯形面積公式來(lái)解答數(shù)字求和問(wèn)題。數(shù)學(xué)知識(shí)的這種變化正是數(shù)學(xué)最有趣的地方。請(qǐng)你接著變戲法，把這道題用三年級(jí)的整數(shù)乘法來(lái)解答，你能行嗎？”“噢！我知道了！”松松思考片刻大聲說(shuō)了起來(lái)：“讓17減少2，讓13增加2，讓16減少1，讓14增加1，它們的和不變，但原題就變成了5個(gè)15相加，可以表示為15×5＝75。”“好，那么你能再用梯形點(diǎn)子圖來(lái)說(shuō)明嗎？”我步步緊逼。松松全神貫注地看著圖，不一會(huì)兒大喊起來(lái)：“嗨！簡(jiǎn)單！把最后一行的小圓點(diǎn)移動(dòng)兩個(gè)到第一行，把倒數(shù)第二行的小圓點(diǎn)移動(dòng)一個(gè)到第二行，不就變成了每行15、共5行的長(zhǎng)方形了嗎！”松松一臉的興奮表明，他對(duì)于這道題的解答已不再是按照公式程序化地操作，而是能夠?qū)⑺鶎W(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)創(chuàng)造性地進(jìn)行運(yùn)用了。

  案例二：小蒙的計(jì)算時(shí)間問(wèn)題

  小蒙是我教的三年級(jí)某班的學(xué)生，他是一個(gè)努力認(rèn)真，但理解能力相對(duì)較差的學(xué)生。他在努力地奔跑，卻總是被落到后面。漸漸地，我感到了他躲避的目光中充滿了怯懦與憂郁。

  一日在教“時(shí)、分、秒”一課時(shí)，我出了這樣一道題：笑笑看一場(chǎng)電影時(shí)，電影開(kāi)始時(shí)間是18：55分，電影結(jié)束時(shí)間是21：05分，請(qǐng)問(wèn)這場(chǎng)電影放映的時(shí)間是多長(zhǎng)？

  題目一出，思維較為活躍的學(xué)生先后說(shuō)出了許多種思考方法及結(jié)果。小蒙卻茫然地坐在那里，顯然這些解法小蒙理解起來(lái)較吃力。對(duì)于偏愛(ài)計(jì)算之類的程序化的題目，且計(jì)算準(zhǔn)確率較高的小蒙來(lái)說(shuō)，屬于他的方法在哪里呢？“前面我們已經(jīng)知道計(jì)算經(jīng)歷的時(shí)間，就是——”我故意拉著長(zhǎng)聲。“用后面的時(shí)間減去前面的時(shí)間?！睂W(xué)生們大聲答著，這里面我能感受到小蒙的聲音。“你能列出算式嗎？”我將問(wèn)題拋向小蒙?！?1：05－18：55，”小蒙小心地答著。得到我的肯定后，他的神情放松了些。“計(jì)算減法題，我們可以做豎式，寫豎式要注意什么？”我接著問(wèn)。“數(shù)位對(duì)齊”小蒙流利地答著。于是我讓小蒙在黑板上寫出豎式并計(jì)算。“不夠減怎辦？”“借位!”小蒙的聲音洪亮了許多。要知道計(jì)算可是他的強(qiáng)項(xiàng)啊！“借一當(dāng)幾？前面可是小時(shí)??！”我提示著。小蒙停頓了一下說(shuō)：“借一當(dāng)60。”在我隨后的指導(dǎo)下，小蒙列出了正確的算式，得出了正確答案。

  教學(xué)啟示1：不要越位

  數(shù)學(xué)是一個(gè)變通的生命有機(jī)體。同一數(shù)學(xué)知識(shí)在其“生長(zhǎng)”過(guò)程中會(huì)呈現(xiàn)出不同的階段性特征。前面的知識(shí)表征是后者的動(dòng)態(tài)生成過(guò)程，后面知識(shí)表征是前者的生成結(jié)果。數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，尤其是對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)指導(dǎo)時(shí)，應(yīng)關(guān)注其解決難題的思維方式。運(yùn)用已有知識(shí)解決未來(lái)問(wèn)題，需要的是創(chuàng)造性地運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力；而運(yùn)用未來(lái)的知識(shí)解決現(xiàn)有問(wèn)題，則是一種超前的、記憶性的解題操練。教學(xué)中不要“越位”，不要讓有數(shù)學(xué)天賦的學(xué)生因起點(diǎn)的搶跑而輸在終點(diǎn)。

  教學(xué)啟示2：揚(yáng)長(zhǎng)避短

  數(shù)學(xué)教師在思考一道數(shù)學(xué)題目時(shí)，不要受自己所教數(shù)學(xué)年級(jí)段的知識(shí)的干擾，產(chǎn)生思維定式，將數(shù)學(xué)題目“禁錮”在某一年級(jí)段的數(shù)學(xué)知識(shí)中，要善于捕捉統(tǒng)一數(shù)學(xué)知識(shí)的不同表征，從不同年級(jí)段的數(shù)學(xué)知識(shí)的角度去思考同一道數(shù)學(xué)題目的解答方法。尤其是指導(dǎo)學(xué)困生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，要將他們難于理解的知識(shí)進(jìn)行“變形”處理，教學(xué)中要“揚(yáng)長(zhǎng)避短”，將數(shù)學(xué)知識(shí)的不同表征與學(xué)生的思維個(gè)性及已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)相融，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用適合自己的方法，增加基礎(chǔ)教育中數(shù)學(xué)課堂的包容性。從動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)的角度去看待數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)是個(gè)變通的有機(jī)生命體。盡管數(shù)學(xué)的形式是豐富多彩的，但富于變化的形式中卻蘊(yùn)含了相通的質(zhì)——“形變質(zhì)通”。(作者系天津市河西區(qū)馬場(chǎng)道小學(xué)數(shù)學(xué)教師)