閱讀提示
出處：張奠宙.萬變不離其宗——數(shù)學(xué)欣賞：欣賞數(shù)學(xué)中的不變量與不變性質(zhì)[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2012(1)：1-3.
數(shù)學(xué)來源于生活且服務(wù)于生活，不僅自然學(xué)科以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)和工具，就連人文社會科學(xué)、考古學(xué)、語言學(xué)、心理學(xué)等領(lǐng)域也離不開數(shù)學(xué).早在100多年前，馬克思就指出：“一門科學(xué)只有成功地應(yīng)用了數(shù)學(xué)時，才算真正達(dá)到了完善的地步.”這一科學(xué)論斷在其后100多年的社會發(fā)展和科技進(jìn)步中不斷得到詮釋.
大千世界變幻莫測，量變質(zhì)變并存.若撥開云霧，便如俗話所說：“萬變不離其宗”.在繁雜多樣的變化中，往往隱藏著某種不變的規(guī)律.只有我們透過表象洞察其根本，方能于“萬變”中揭示出“不變”之根本.在科學(xué)上稱之為守恒，在數(shù)學(xué)上則稱之為不變量(invariant).
張奠宙先生認(rèn)為：“數(shù)學(xué)中到處都是變與不變的矛盾統(tǒng)一．萬變不離其宗，數(shù)學(xué)研究變化，卻以找到其中的不變性作為歸宿．尋求并欣賞數(shù)學(xué)中無處不在的不變性質(zhì)，領(lǐng)略不變量和不變性的內(nèi)在魅力，是把握數(shù)學(xué)的鑰匙之一.”
此觀點從哲學(xué)辨證的角度闡明了萬物皆變，萬物皆動的事實.靜止是相對的，但變化是絕對的.而數(shù)學(xué)便是要在數(shù)量變化中尋求相對靜止的因素.許多數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)運算律都是對一種不變性的描述．
從某種意義上說，現(xiàn)代數(shù)學(xué)就是研究各種不變量的科學(xué).20世紀(jì)最重大的數(shù)學(xué)成就之一——阿蒂亞-辛格(Atiyah-Singer)指標(biāo)定理，就是描述了某些算子的指標(biāo)不變量；影響深遠(yuǎn)的陳省身示性類(Chern class)，正是刻畫許多流形特征的不變量.一些代數(shù)不變量、幾何不變量、拓?fù)洳蛔兞康陌l(fā)現(xiàn)，往往是一門學(xué)科的開始.
1 代數(shù)中的不變性
數(shù)學(xué)課程中，最早出現(xiàn)的算術(shù)運算律是加法交換律a+b=b+a，這是描寫加法運算的不變結(jié)果，無論怎樣變化，這個等式永遠(yuǎn)不變.僅以一例就此可窺見數(shù)學(xué)中不變的性質(zhì)了．事實上，在中小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，隨處可見各種變化: 代數(shù)式的變形、方程的變式、函數(shù)性質(zhì)的變化、圖形的變換、方程與曲線的表示等諸多此類．在如此紛繁的變化中，倘若能對其中的一些變化，尋究其中的不變量和不變性質(zhì)，則會撩撥紛繁表現(xiàn)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)純粹之美．
1.1 數(shù)字運算的不變性
著名的回文數(shù)、缺8數(shù)、歐拉數(shù)、立方數(shù)、三角數(shù)、完全數(shù)、親和數(shù)、水仙花數(shù)、哈雷數(shù)、卡普里加數(shù)、數(shù)字“黑洞”等數(shù)字運算的不變性令人著迷，是數(shù)學(xué)純美的藝術(shù)，由黃金分割、斐波那契數(shù)列與分形幾何等交織而成的所呈現(xiàn)出的不變性，讓人回味無窮，嘆為觀止！在事實上，還存在無數(shù)類似運算不變性迷人和奇妙的數(shù)字，等著我們?nèi)ュ忮?，欣賞！縱使著名的“數(shù)字黑洞”所呈現(xiàn)出來的運算不變性讓人百思不得其解，卻還是讓人癡迷陶醉，流連忘返，猶如天體中的黑洞，吸引眾多數(shù)字在運算中墜入其中而無法逃脫.
1.2 等式、不等式、代數(shù)式的不變性
隨著學(xué)習(xí)的深入，對于不同層次的不變量的重要地位也會有進(jìn)一步的認(rèn)知.比如小學(xué)生都知道，解有關(guān)年齡的應(yīng)用題的時候，兩個人的年齡差不變是個關(guān)鍵.抓住這一點，問題便會迎刃而解.而中學(xué)生也知道，方程兩邊同時加上或減去一個數(shù)或代數(shù)式，方程樣子變了，但其解沒有變.抓住了這一點便可以用移項的辦法化簡方程，求解方程.同樣對等式兩邊同時實施四則運算，其所得結(jié)果還是等式，如對等式兩邊同時進(jìn)行取對數(shù)、求導(dǎo)、積分等運算，其結(jié)果也是等式.
2 幾何中的不變性
2.1 平面幾何中的不變性
平面幾何里，圖形里的一部分，可以通過旋轉(zhuǎn)、平移等變換成另一部分.在旋轉(zhuǎn)、平移、反射的時候，圖形上兩點之間的距離是不變的.在按比例放大、縮小的時候，角度是不變的.顯而易見，利用圖形在變化過程中的不變性，常?？梢哉业角擅畹慕忸}技巧.幾何學(xué)中關(guān)于不變性的定理更多．例如，任意一對對頂角必然相等．著名的勾股定理如是說，無論什么樣的直角三角形，直角邊的平方和等于斜邊的平方．更令人驚嘆的是三角形重心、垂心、內(nèi)心等概念的形成．兩條直線(三角形的兩條中線，或兩條高、兩條角平分線)交于一點無可厚非，到了第三條中線，或第三條高、第三條角平分線也不偏不倚地與前面兩條正好交于同一點．這就太奇妙了，造物的安排竟如此之巧，敬畏之情油然而生．這種三線交于一點的不變性質(zhì)，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)圖形結(jié)構(gòu)之美．幾何中的“蝴蝶定理”、歐拉公式、拓?fù)鋵W(xué)中若當(dāng)定理和不動點定理及維的不變性、反演變換中兩條直線或曲線的夾角是不變的、分形幾何中每一組成部分都在特征上和整體基本相似的不變性，等等，無不體現(xiàn)著變與不變的矛盾統(tǒng)一.
2.2 解析幾何中的不變性
平面解析幾何中，雖然各種圓錐曲線的形態(tài)千變?nèi)f化，但確有不變的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到一個定點的距離和它到定直線的距離之比是一個常數(shù)的點的軌跡是圓錐曲線，其中定點是它的焦點，直線是它的準(zhǔn)線，比值是它的離心率.另外，圓錐曲線所表現(xiàn)出的定值、定點問題，曲線系方程、極點極線等處處都體現(xiàn)著不變性，而問題的解決突破口就是充分利用“不變量”和“不變性”.
2.3 立體幾何中的不變性
立體幾何中也有許多不變量和不變性，如球面上的點無論怎樣變化，到球心的距離總保持不變.著名的涉及幾何求積的祖暅原理是指：如果夾在兩個平行平面間的幾何體，被平行于這兩個平行平面的任何平面所截，無論幾何體的形狀千變?nèi)f化，但截得的兩個截面相等，那么必然有兩個幾何體體積相等這一不變性.利用祖暅原理求球的體積堪稱經(jīng)典.而空間求點到平面的距離常常構(gòu)造四面體，利用體積相等這一不變性獲解.立體幾何中的折疊問題更是通過抓住不變性而獲解的.事實上，許多平面幾何和平面解析幾何的不變性在立體幾何中仍然成立.
2.4 分形幾何中的不變性
1973年美籍?dāng)?shù)學(xué)家曼德勃羅特(Mandelbrot)首次提出了分形(Fractal)這個概念，曼德勃羅特一直使用fractional一詞來表示他的分形思想．因此，取拉丁詞之頭，擷英文之尾的fractal，本意是不規(guī)則的、破碎的、分?jǐn)?shù)的．他將分形定義為：其組成部分與整體以某種方式相似的“形”．一棵大樹上的枝杈，在形狀上極其相似；一頭牛身上的一個細(xì)胞中基因記錄的信息與這頭牛的全部生長信息自相似；一塊磁鐵中每一部分都像整體一樣具有南北兩極；羅馬花椰菜的外觀則是分形、黃金螺線與斐波那契數(shù)列等不變性融合后形成的完美構(gòu)型.采用分形幾何學(xué)知識可以深入研究那些用歐氏幾何難以描述的復(fù)雜對象，如綿延萬里的海岸線、跌宕起伏的山脈、參差不齊的斷面、縱橫交錯的血管，以及變幻莫測的股價走勢等.分形幾何具有不變性特征：自相似性．自相似性指局部是由整體成比例縮小的性質(zhì)．形象地說，就是當(dāng)用不同倍數(shù)的照相機(jī)拍攝研究對象時，無論放大倍數(shù)如何改變，看到的照片都是相似的，而從相片上無法判斷所用的相機(jī)的倍數(shù)，即標(biāo)度不變性或全息性．著名的分形圖形謝爾賓斯基地毯、1904年瑞典數(shù)學(xué)家柯赫構(gòu)造了“Koch曲線”幾何圖形．Koch曲線大于一維，具有無限的長度，但是又小于二維，并且生成的圖形的面積為零．它和三分康托集一樣，是一個典型的分形.
3 向量中的不變性
向量是數(shù)形結(jié)合的最佳載體，它將代數(shù)與幾何融為一體.向量的加(減)法、數(shù)乘、數(shù)量積等各種運算和運算律也處處體現(xiàn)著不變性(具體例子略).
4 函數(shù)中的不變性
研究函數(shù)變量之間的依賴關(guān)系，自然要談變化．但是只說變，而找不到一定的規(guī)律，就事倍功半了．函數(shù)的不變性從定義中就有所體現(xiàn)，函數(shù)的定義中給定兩個非空數(shù)集D與M，對于D中每一個確定的x，按照某種對應(yīng)法則f，在M中都有唯一確定的y與之對應(yīng)(變化中的不變性).為后來解釋函數(shù)相等奠定基礎(chǔ)，所謂“對應(yīng)法則相同”是指“對同一個x，對應(yīng)的y也是相同的”并不在乎它寫成什么樣的形式.不同的函數(shù)縱然千變?nèi)f化，但其中總有不變性規(guī)律性，將之提煉出來，就是函數(shù)的性質(zhì)．比如某些變化會隨著一個量的變化而有增有減有快有慢，有時達(dá)到最大值有時處于最小值，有些變化會有規(guī)律，或重復(fù)或?qū)ΨQ出現(xiàn)……這些現(xiàn)象反映到函數(shù)中，就成了單調(diào)性、最值、周期性、奇偶性等性質(zhì)．知道了函數(shù)性質(zhì)，也就把握了函數(shù)變化的規(guī)律．另外，函數(shù)中的“不動點”“穩(wěn)定點”等無不散發(fā)著不變量和不變性的內(nèi)在魅力.
5 概率中的不變性
概率統(tǒng)計中，隨機(jī)性和規(guī)律性是隨機(jī)現(xiàn)象對立統(tǒng)一的兩面，人們更容易認(rèn)識到隨機(jī)性，卻將規(guī)律性埋沒了許多.日常生活中，經(jīng)常會遇到一些無法事先預(yù)測結(jié)果的事情，被稱為隨機(jī)事件.例如，拋擲一枚均勻硬幣，它將正面朝上或反面朝上；購買本期福利彩票是否能夠中獎……這些事情結(jié)果都有不確定性.但當(dāng)我們把隨機(jī)的事情放在一起時，它們可能會表現(xiàn)出令人驚奇的規(guī)律性.例如，將同樣的硬幣拋擲上萬次甚至幾百萬次，我們會發(fā)現(xiàn)硬幣正面向上的次數(shù)非常接近總次數(shù)的一半，概率是頻率的穩(wěn)定值.作為概率論理論基石的大數(shù)定律以數(shù)學(xué)的形式表述了大量重復(fù)試驗中隨機(jī)事件的統(tǒng)計規(guī)律，指出了隨機(jī)事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定不變的事實.概率的不變性在生物學(xué)上的一個卓有成效的應(yīng)用即奧地利人孟德爾發(fā)現(xiàn)了生物遺傳的分離定律和自由組合定律，并由此引發(fā)了一場人類對生命認(rèn)識的革命.同樣，優(yōu)生學(xué)的奠基人英國的高爾頓發(fā)現(xiàn)了呈現(xiàn)不變性的回歸效應(yīng)，人的生理結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定的，則所有有機(jī)組織都趨于標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)的.比利時統(tǒng)計學(xué)家凱特勒發(fā)現(xiàn)，人類幾乎所有的精神和物理特征都呈現(xiàn)正態(tài)分布(不變性)：身高、體重、腦重量、智力等，所有這些特征，總是呈正態(tài)分布，正是這種不變性，正態(tài)曲線為這個紛亂的世界建立了一定的秩序和規(guī)則.
6 數(shù)學(xué)定理中的不變性
數(shù)學(xué)上比較深刻的結(jié)論，通常稱為定理．所有的定理都是在滿足條件的無數(shù)變化中，找到了其中不變的性質(zhì)．可以說，數(shù)學(xué)定理是要說明，某些對象在一定的條件下是萬變不離其宗的．代數(shù)學(xué)中有韋達(dá)定理，表明無論一元代數(shù)方程的系數(shù)怎樣變化，根與系數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系不變．一橋飛架南北，天塹變通途，牛頓和萊布尼茲公式發(fā)明的微積分基本定理，開啟了科學(xué)的黃金時代，以前棘手的問題，現(xiàn)在也變得十分簡單.從此任意連續(xù)函數(shù)的積分不必大動干戈，只需尋求它的原函數(shù)兩端點函數(shù)值之差即可.這是何等的深刻！也從側(cè)面反映了變化中的不變性.
7 對稱中的不變性
對稱圖形是美的，對稱觀念是美的，對稱理論更是美的.大自然的結(jié)構(gòu)是用對稱語言寫成的.研究各種對稱中的不變量，是數(shù)學(xué)、物理研究的中心課題.對稱是一個十分寬廣的概念，它不僅出現(xiàn)在數(shù)學(xué)教材中，而且廣泛存在于日常生活中.我們能在文學(xué)意境中感受它，也能在建筑物、繪畫藝術(shù)中看到它.對稱甚至成為大自然的深刻結(jié)構(gòu)的一部分.數(shù)學(xué)和人類文明同步發(fā)展，“對稱”是紛繁數(shù)學(xué)文化中的一顆明珠.事實上，對稱，可以用“群”來表示，各色各樣的對稱群成為描述大自然的數(shù)學(xué)工具，而對稱中蘊含著變化中的不變性.對稱不變性在代數(shù)式和不等式中有重要的應(yīng)用.比如把二元對稱式x+y與xy稱為基本對稱式，許多復(fù)雜的對稱式都可以轉(zhuǎn)化成基本對稱式的組合.
8 藝術(shù)中的數(shù)學(xué)不變性
數(shù)學(xué)在音樂和繪畫藝術(shù)之間存在深刻、多方面的聯(lián)系，其中有諸多的不變性.我們熟知，音樂是聽覺藝術(shù)、時間藝術(shù)，繪畫是視覺藝術(shù)、空間藝術(shù).而在數(shù)學(xué)中恰好有研究與時間、空間相關(guān)的學(xué)問.
音樂科學(xué)的基礎(chǔ)表面上是物理，但實質(zhì)上是數(shù)學(xué).從樂器的制造來說，都遵循不變的梅森定律，而作曲又和黃金分割密不可分，最令人驚嘆的是用數(shù)學(xué)研究音樂的音階體系、聲學(xué)理論及旋律配合法等這一系列最高成就與法國數(shù)學(xué)家傅里葉的工作分不開. 他證明了，無論是噪聲還是樂音，復(fù)雜還是簡單的，都可以用數(shù)學(xué)語言給以完全描述.即音樂中不變的本質(zhì)即是數(shù)學(xué)上的不變性，傅里葉定理：任何一個周期函數(shù)都可以表示成正弦函數(shù)之和，而且正弦函數(shù)中各項的圓頻率是其中最低一項圓頻率的倍數(shù).可見，自從有了傅里葉定理，世界上不管雷鳴、鳥啼、人語或是樂器的鳴奏，都可以歸結(jié)為簡單的聲音組合，呈現(xiàn)在數(shù)學(xué)中統(tǒng)統(tǒng)都是正弦函數(shù).人們終于認(rèn)識到，世界上聲音如此豐富，卻又如此簡單！
而繪畫藝術(shù)與幾何完美結(jié)合，利用透視學(xué)和立體幾何原理、黃金分割成為繪畫藝術(shù)的頂峰，同時從藝術(shù)中誕生了幾何學(xué)的新分支——射影幾何學(xué).正如藝術(shù)大師達(dá)·芬奇所說，“任何人類的探究活動也不能成為科學(xué)，除非這種活動通過數(shù)學(xué)表達(dá)方式和經(jīng)過數(shù)學(xué)證明為自己開辟道路”，他創(chuàng)作的《最后的晚餐》《蒙娜麗莎》《麗達(dá)》《巖間圣母》等藝術(shù)珍品都是透視學(xué)的最好典范.若認(rèn)為歐式幾何是研究剛體運動下保持不變的性質(zhì)，射影幾何則研究在射影變換下的不變性.而射影變換中突出的不變性是交比不變.笛沙格定理及其逆定理、巴斯嘉定理、布利安桑定理、對偶原理所呈現(xiàn)出來的不變性深刻的刻畫了同一物體的相同射影和不同射影所形成的幾何圖形的性質(zhì).
9 結(jié)語
不變量是數(shù)學(xué)的中心概念之一，且運用廣泛.簡單純粹的概念恰是世間瑰寶.正如張奠宙先生所說，世間萬物都在變化之中，但只說事物在“變”，不能說明什么問題.科學(xué)的任務(wù)就是要找出“變化中不變的規(guī)律”.正如一個民族必須與時俱進(jìn)，推陳出新，但是民族的傳統(tǒng)精華不能變.京劇需要革新，但京劇的靈魂不能變.縱使古典詩詞的內(nèi)容千變?nèi)f化，但是基本格律不變.自然科學(xué)中，能量守恒、動量守恒；化學(xué)反應(yīng)中方程式的平衡，分子量的總值不能變.總之，唯有找到變化中的不變性不變量，才有科學(xué)的、美學(xué)的價值.
事實上，數(shù)學(xué)家的眼光，常常盯住的是變化中的不變的東西.正是這些不變的東西，把變化中的不同鏡頭聯(lián)系起來，形成一個揭示本質(zhì)的片段，幫助我們認(rèn)清變化的本質(zhì)，幫助我們解決各種問題.
參考文獻(xiàn)：
[1] 張奠宙.萬變不離其宗——數(shù)學(xué)欣賞：欣賞數(shù)學(xué)中的不變量與不變性質(zhì)[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2012(1)：1-3.
[2] 朱華偉，錢展望.數(shù)學(xué)解題策略[M].北京：科學(xué)出版社，2009.
[3] 張景中.數(shù)學(xué)家的眼光[M].北京：中國少年兒童出版社，2002.
[4] 張奠宙.數(shù)學(xué)教育隨想集[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2013.
[5] 張奠宙.中國古典文學(xué)中的數(shù)學(xué)意境[J].科學(xué)文化評論，2008(1):74-77.
[6] 談祥柏.數(shù)學(xué)不了情[M].北京：科學(xué)出版社，2011.
[7] [美]克利福德·A·皮科夫.數(shù)學(xué)之戀[M].長沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，2010.
[8] 新青年數(shù)學(xué)教師工作室.當(dāng)代中國數(shù)學(xué)教育名言解讀[M].上海：上海教育出版社，2015.
[9] [日]永野裕之.寫給全人類的數(shù)學(xué)魔法書[M].北京：新世界出版社，2013.
[10] 中國數(shù)學(xué)會普及工作委員會及數(shù)學(xué)奧林匹克委員會.2018高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽備考手冊(預(yù)賽試題集錦)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2018：218.
[11] 張奠宙，丁傳松，柴俊.情深意切話數(shù)學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2011.
[12] 張順燕.數(shù)學(xué)的美與理(第二版)[M].北京：北京大學(xué)出版社，2012.
[13] [美]R·柯朗，H·羅賓.什么是數(shù)學(xué)[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2008.
