體幾何是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，這部分內(nèi)容蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法。實(shí)踐證明，教學(xué)中適時(shí)滲透有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，有助于學(xué)生降低學(xué)習(xí)難度，把握知識(shí)本質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展思維能力。本文主要談?wù)勗诹Ⅲw幾何中的幾種主要數(shù)學(xué)思想方法。 一、轉(zhuǎn)化的思想方法 研究問題時(shí)，將研究對(duì)象在一定條件下轉(zhuǎn)化為熟悉的、簡(jiǎn)單的、基本的研究對(duì)象的思維方法稱為轉(zhuǎn)化的思想方法。這種思想方法是立體幾何中最重要的思想方法，貫穿在立體幾何教學(xué)的始終。立體幾何中轉(zhuǎn)化的思想方法主要體現(xiàn)在如下幾個(gè)方面： 1、間問題向平面問題轉(zhuǎn)化
將空間問題轉(zhuǎn)化為熟知的平面問題是研究立體幾何問題最重要的數(shù)學(xué)方法之一。如線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為三角形全等的平面幾何問題；教材中的幾種多面體和旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積公式的推導(dǎo)（除球面和球冠外）、側(cè)面上最短線問題都是通過側(cè)面展開轉(zhuǎn)化為平面幾何問題；旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)問題不也是轉(zhuǎn)化為關(guān)于軸截面的平面幾何問題嗎？其實(shí)，立體幾何中的三種角（線線角、線面角、二面角）和四種距離（線線距、點(diǎn)面距、線面距、面面距）從定義到具體的計(jì)算以及三垂線定理都體現(xiàn)了空間到平面的轉(zhuǎn)化。 2、位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化 線線、線面、面面平行與垂直的位置關(guān)系既互相依存，又在一定條件下不僅能縱向轉(zhuǎn)化：線線平行（或垂直） 線面平行（或垂直） ; 面面平行（或垂直），而且還可以橫向轉(zhuǎn)化：線線、線面、面面的平行 ; 線線、線面、面面的垂直。這些轉(zhuǎn)化關(guān)系在平行或垂直的判定和性質(zhì)定理中得到充分體現(xiàn)。平行或垂直關(guān)系的證明（除少數(shù)命題外），大都可以利用上述相互轉(zhuǎn)化關(guān)系去證明。 3、位置關(guān)系中的定性與定量的轉(zhuǎn)化 立體幾何中對(duì)點(diǎn)、線、面在空間中特定位置關(guān)系的研究是從定性和定量?jī)蓚€(gè)方向進(jìn)行的。這兩者既有聯(lián)系又有區(qū)別，在一定條件下還可以互相轉(zhuǎn)化。 線線、線面、面面平行,這些定性描述,表示線線、線面、面面的成角是0°,反之則不然；線線、線面、面面的成角是90°，這些量的結(jié)果，則反映了它們的垂直關(guān)系，反之亦然。可見教材中深刻地蘊(yùn)含著位置關(guān)系中的定性與定量的轉(zhuǎn)化關(guān)系。 4、體積問題中的轉(zhuǎn)化
研究簡(jiǎn)單幾何體體積問題的過程中，利用祖暅定理，將一般柱體體積問題轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體體積問題，一般錐體體積問題轉(zhuǎn)化為三棱錐體積問題，從而推導(dǎo)出柱體和錐體體積公式等。三棱錐體積公式推導(dǎo)過程中，“補(bǔ)法”和“割法”的先后運(yùn)用，臺(tái)體的體積，即補(bǔ)臺(tái)成錐。所展示的割補(bǔ)轉(zhuǎn)化；利用四面體、平面六面體等幾何體體積的自等性，以體積為媒介溝通有關(guān)元素間的聯(lián)系，從而使問題獲解的等積轉(zhuǎn)化等，均是轉(zhuǎn)化的思想方法在體積問題中的體現(xiàn)。 所有上述這些都充分展現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法在立體幾何中的“用武之地”。教學(xué)中的適時(shí)揭示與恰當(dāng)運(yùn)用，確能強(qiáng)化學(xué)生思維的目標(biāo)意識(shí)，增強(qiáng)思維的敏捷性和靈活性，提高學(xué)習(xí)效率。 二、分類的思想方法 分類的思想方法在數(shù)學(xué)中較為普遍。如立體幾何中的一些知識(shí)和問題：空間兩直線的位置關(guān)系分為相交、平行、異面三種；線面、面面的位置關(guān)系以它們公共點(diǎn)的多少為標(biāo)準(zhǔn)分別分為相交、平行、線在面內(nèi)的三種和平行、相交兩種，而對(duì)于相交的情形，根據(jù)其交角是否為直角又分為斜交和直交兩種；簡(jiǎn)單幾何體可劃分為柱體、錐體、臺(tái)體和球四類，每一類（除球外）又可分為若干個(gè)子類；教學(xué)直線和平面所成的角時(shí)，要分直線和平面斜交、直線和平面垂直、直線和平面平行或直線在平面內(nèi)三種情況加以說明。教學(xué)中，不失時(shí)機(jī)地揭示并幫助學(xué)生運(yùn)用分類的思想方法，有助于學(xué)生全面系統(tǒng)地歸納整理，消化知識(shí)，亦有益于訓(xùn)練思維的條理性和嚴(yán)密性，發(fā)展思維能力。 三 、運(yùn)動(dòng)變化的思想方法 運(yùn)動(dòng)變化的思想方法是數(shù)學(xué)中重要的思想方法。運(yùn)用它易于提示概念的本質(zhì)，便于認(rèn)識(shí)事物的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。立體幾何中，不少的知識(shí)和問題蘊(yùn)含著這一思想方法。如圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球面和旋轉(zhuǎn)面的含義；二面角可看作是一個(gè)半平面以其棱為軸旋轉(zhuǎn)而成的；圓柱（或圓錐）亦可看作是當(dāng)圓臺(tái)上底面半徑和下底面半徑相等（或縮小到其半徑等于零）時(shí)，轉(zhuǎn)化而成的。教學(xué)線面平行的性質(zhì)時(shí)，在定義的條件下，讓該直線和平面運(yùn)動(dòng)起來(lái)，在運(yùn)動(dòng)中保持不變的性質(zhì)就是線面平行的性質(zhì)。研究平面圖形折疊問題時(shí)，需要從運(yùn)動(dòng)變化的角度出發(fā)，弄清圖形中涉及的元素在折疊前后的數(shù)量及位置關(guān)系的變化等。教學(xué)實(shí)踐表明，有意識(shí)而及時(shí)地對(duì)這一思想方法的揭示與滲透，可使學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解更深刻，運(yùn)用更得心應(yīng)手，思維能力得到發(fā)展，同時(shí)使學(xué)生受到辯證唯物主義教育。 四、數(shù)與方程的思想方法 函數(shù)與方程的思想方法滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的全過程，具有廣泛應(yīng)用性。它們是根據(jù)問題的數(shù)量特征及其相互關(guān)系設(shè)定變量，建立函數(shù)關(guān)系或方程，通過對(duì)函數(shù)性態(tài)或方程的研究而求得原問題的解的一種思維方法。 函數(shù)與方程的思想方法在立體幾何中亦大有“用武之地”。如立體幾何中求某些量的最值問題大都需要用函數(shù)的思想方法去處理，多面體和旋轉(zhuǎn)體的表面積與體積的計(jì)算中，也經(jīng)常要用方程的思想方法去解決有關(guān)問題。教學(xué)中適時(shí)啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)與方程的思想方法去思考和解決問題，有利于學(xué)生將某些研究對(duì)象或?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的意識(shí)和習(xí)慣的形成，同時(shí)學(xué)生分析、解決問題的能力也必將得到提高。 五、類比的思想方法 所謂類比的思想方法，就是將生疏的問題和熟知的問題進(jìn)行比較，對(duì)生疏的問題作出猜想，并由此尋求問題的解決途徑或結(jié)論。它是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的思想方法之一。 立體教學(xué)中，類比的思想方法被廣泛采用。由平面上直線a∥b，b∥a∥c，可類比出空間內(nèi)的平面α∥β，β∥γ; α∥γ；與平行四邊形類比可得到平行六面體的不少類似性質(zhì)；球與圓類比可推出兩球相切等球的有關(guān)性質(zhì)；“面面垂直”與“線線垂直”，四面體與三角形均有較多的類比性質(zhì)等，都是類比的思想方法獲得運(yùn)用的體現(xiàn)與展示。教學(xué)中，隨時(shí)注意幫助學(xué)生掌握和善于運(yùn)用類比的思想方法，可起到鞏固舊知識(shí)，加速對(duì)新知識(shí)的理解和記憶力。當(dāng)然，類比僅是一種猜測(cè)，其正確性尚須論證。在教學(xué)過程中，注意啟發(fā)和誘導(dǎo)學(xué)生將空間問題和數(shù)量關(guān)系、位置結(jié)構(gòu)相似的平面問題進(jìn)行類比，可以開拓學(xué)生的思路，誘發(fā)靈感，增強(qiáng)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)能力，同時(shí)還可以溝通知識(shí)間的聯(lián)系，幫助學(xué)生建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
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