三段論圖解
圖形在人類(lèi)推理中扮演著非常重要的角色，是哲學(xué)、認(rèn)知科學(xué)、心理學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、人工智能、邏輯和數(shù)學(xué)等學(xué)科所共同研究的對(duì)象。邏輯圖首先是為理解亞里士多德的范疇命題和三段論推理而發(fā)展起來(lái)的，其開(kāi)端一般追溯到歐拉圈。在長(zhǎng)期的歷史發(fā)展過(guò)程中，經(jīng)過(guò)萊布尼茨、歐拉、布爾、漢密爾頓、文恩和皮爾士等人的努力，邏輯圖從最初的設(shè)想變成了現(xiàn)實(shí)、從最初的簡(jiǎn)單表述三段論發(fā)展成了關(guān)系邏輯和模態(tài)邏輯等的圖式表示，而關(guān)系理論的建立是傳統(tǒng)邏輯向現(xiàn)代邏輯轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵。當(dāng)代的邏輯學(xué)家們更是在現(xiàn)代邏輯的基礎(chǔ)上、運(yùn)用現(xiàn)代邏輯的工具和技術(shù)形式化了邏輯圖并把它運(yùn)用到哲學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)和人工智能等領(lǐng)域，深刻地改變了許多重要的邏輯哲學(xué)概念，并提出了“圖式邏輯（Diagrammatic Logic）”的新概念，為哲學(xué)邏輯增添了一個(gè)新的分支。
1 歐拉圈
至少在中世紀(jì)就有人用圓圈或封閉的曲線來(lái)表示古典三段論。1761年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Leonhard Euler，1707-1783）引入被后人稱為“歐拉圈”的圖形來(lái)表述三段論推理。在這一著作中歐拉用類(lèi)似幾何的方法通俗化了萊布尼茨圖解邏輯關(guān)系的方案。這種方法對(duì)一般陳述句的外延（或類(lèi)）解釋特別注意，它既可以表示非空非全的類(lèi)之間的關(guān)系，也可以解說(shuō)三段論和表示直接推理。歐拉圈的基本形式以圓表示非空非全的類(lèi)，即用圓表示三段論中詞項(xiàng)的外延；圓中的點(diǎn)是類(lèi)中的元素。歐拉圈是用兩個(gè)圓的包含、排斥和交叉等拓?fù)湫再|(zhì)來(lái)表示集合之間的包含、相異和相交關(guān)系的一種圖解。也就是說(shuō)，全稱肯定命題（A）用一個(gè)圓包含另一個(gè)圓表示，全稱否定命題（E）用兩個(gè)互不相交的圓表示，而特稱肯定命題（I）和特稱否定命題（O）則用兩個(gè)交叉的圓表示——前者把表示主詞的字母寫(xiě)在交叉的區(qū)域，而后者把交叉區(qū)域留空，以此表示主詞外延與謂詞外延的交為空集。亞里士多德的四個(gè)范疇命題A、E、I、O的歐拉圖解分別如下：
如果說(shuō)第一個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)表示主詞和謂詞的字母在圖中出現(xiàn)的位置的不同而得到解決，而矛盾命題不必明顯地表示出來(lái)，那么第三個(gè)問(wèn)題可不那么容易。如果我們不能隨意地把兩個(gè)或更多的圖結(jié)合在一起也不知道如何轉(zhuǎn)換一個(gè)圖，那么這樣的系統(tǒng)在處理三段論演繹推理時(shí)就極其有限。歐拉圈的一部分困難將在文恩圖中得到解決。
2 文恩圖
1881年，英國(guó)邏輯學(xué)家約翰·文恩（John Venn，1834~1923）在《符號(hào)邏輯》一書(shū)中使用了相交區(qū)域的圖解（史稱“文恩圖”）來(lái)解釋類(lèi)之間或命題的真值之間的關(guān)系。文恩圖的基本形式以矩形表示論域，矩形中的圓表示非空類(lèi)；每一個(gè)圓把矩形分成兩個(gè)類(lèi)：任意一個(gè)類(lèi)及其補(bǔ)類(lèi)。文恩認(rèn)為歐拉圈不能提供一種一般的方法在同一個(gè)圖中表示兩個(gè)類(lèi)之間的更多關(guān)系。歐拉圈中的圓表示非全非空的類(lèi)，圓之間的關(guān)系直接表示相應(yīng)的類(lèi)之間的實(shí)際關(guān)系，因而不能表示論域，也不能表示相應(yīng)的類(lèi)之間潛在的關(guān)系。為了克服歐拉圈這些表達(dá)方面的困難，文恩采用了一種“初始圖”的辦法。初始圖表明了所涉及的類(lèi)之間所有可能的關(guān)系，并且也不假定這些類(lèi)一定都是非空的。下面左圖就是涉及兩個(gè)類(lèi)S和P的初始圖，表示了S和P之間所有可能的關(guān)系，其中把平面所劃分成的四個(gè)區(qū)域表示了類(lèi)S、P、非S（用S¢表示）和非P（用P¢表示）相互之間四種可能的組合。
能否表示出類(lèi)之間所有可能的關(guān)系，正是兩種圖解之差異所在，也是造成多個(gè)歐拉圈難以組合成一個(gè)圖的根本原因。除了初始圖外，文恩還利用在圖的區(qū)域中加上陰影的語(yǔ)形辦法來(lái)表示相應(yīng)的類(lèi)為空類(lèi)。有了初始圖和陰影這兩種語(yǔ)形方面的準(zhǔn)備，文恩圖就可以用來(lái)驗(yàn)證換質(zhì)推理和三段論的有效性。例如，上面右圖就是第一格AAA的圖解，其中S、M兩圓連同深色陰影表示命題“所有S是M”，M、P兩圓連同淺色陰影表示命題“所有M是P”，把相應(yīng)于這兩個(gè)命題的陰影加到關(guān)于S、M、P的初始圖中就得到AAA的圖解。
文恩圖不同于歐拉圈的地方在于前者第一次用不同的區(qū)域表示所有可能的組合，并在各種區(qū)域中用記號(hào)表示：為使給定的命題成立，哪些組合必是空的，哪些組合不是。令人遺憾的是，文恩圖跟歐拉圈一樣也不能表示特稱命題。后來(lái)的學(xué)者再給它添加其它的語(yǔ)形裝置彌補(bǔ)了這一缺陷。
3 皮爾士-文恩圖
1903年，美國(guó)邏輯學(xué)家、哲學(xué)家皮爾士（C.S. Peirce，1839~1914）接受文恩對(duì)歐拉圖的改進(jìn)，并作了進(jìn)一步的發(fā)揮，使得圖的表達(dá)能力得到了提高，不僅可以表示特稱命題而且可以進(jìn)一步地表示選言的和聯(lián)言的復(fù)合命題。經(jīng)過(guò)皮爾士改進(jìn)的圖稱為“皮爾士-文恩圖”；所有的文恩圖都是“皮爾士-文恩圖”。在皮爾士-文恩圖中，皮爾士在一個(gè)區(qū)域中畫(huà)上符號(hào)“x”來(lái)表示該區(qū)域不空，并且用符號(hào)“o”代替文恩圖中的陰影來(lái)斷定一個(gè)區(qū)域?yàn)?span id="fu8ihs5fyo3" class="GramE">空區(qū)域。符號(hào)“x”和“o”可以用短線連接起來(lái)表示析取。單獨(dú)一個(gè)“x”或者“o”也表示一條鏈。而在同一個(gè)皮爾士-文恩圖中，由“x”和“o”組成的不同的鏈表示各條鏈的合取。例如，下圖中左邊的皮爾士-文恩圖與句子“SP¢¹fÚSP¢=f”的意思相同，斷定“或者有S是非P或者所有的P都是S”。類(lèi)似地，下圖中右邊的圖形與句子
(SP¢Q¢¹fÚSPQ¢¹fÚS¢PQ¢¹f)Ù(SP¢Q¹fÚ
具有相同的意思；在這個(gè)合取式中第一個(gè)合取支由最下的一條鏈表示，第二個(gè)和第三個(gè)合取支分別由中間的和最上面的鏈表示。
一個(gè)圖的某一個(gè)區(qū)域中如果同時(shí)出現(xiàn)沒(méi)有用短線連接的“x”和“o”則該圖斷定了一個(gè)假命題，如下面左邊的圖形等于SP¢=f ÙSP¢¹f；另一方面，如果其中的“x”和“o”被用短線連接了起來(lái)則斷定了一個(gè)有效命題，如下面右邊的圖形斷定了S¢P=fÚS¢P¹f。
這樣，所有的皮爾士-文恩圖都可以找到一個(gè)與其等價(jià)的布爾公式；另一方面，所有的布爾公式也都可以用以上的皮爾士-文恩圖表示出來(lái)。也就是說(shuō)，在表達(dá)能力上皮爾士-文恩圖等價(jià)于標(biāo)準(zhǔn)一階邏輯的一元部分。當(dāng)然，作為皮爾士-文恩圖的一個(gè)對(duì)偶解釋?zhuān)?#8220;x”、“o”之間的連線也可以視為合取關(guān)系，而同一圖中的各條鏈則被視為析取關(guān)系。這兩種解釋在語(yǔ)義上是等價(jià)的。
另外，皮爾士還引進(jìn)了圖形的變形規(guī)則，這些圖形變形規(guī)則的使用完全像代數(shù)中的規(guī)則一樣。皮爾士對(duì)邏輯圖研究的一個(gè)重要貢獻(xiàn)是他第一個(gè)討論了圖形的變形規(guī)則。這些規(guī)則為六條：1.“任何完整的斷定指號(hào)（即一個(gè)叉、零或者叉和零的連接體）都可以被刪除。”2.“對(duì)任何斷定指號(hào)都可以為其添加新的指號(hào)。”3.“如果沒(méi)有其它斷定，任何許可的斷定都可以分開(kāi)寫(xiě)成。”4.“一個(gè)指號(hào)在同一個(gè)區(qū)域中的不同出現(xiàn)，不管它們是否被聯(lián)結(jié)在一起，都等價(jià)于一個(gè)出現(xiàn)；兩個(gè)不同的指號(hào)在同一個(gè)區(qū)域中出現(xiàn)時(shí)，如果它們已經(jīng)聯(lián)結(jié)在一起，那么等價(jià)于沒(méi)有任何指號(hào)出現(xiàn)，可以任意添加或刪除它們，而如果它們各自分離則它們構(gòu)成一個(gè)假命題；如果兩個(gè)對(duì)立的指號(hào)在同一個(gè)區(qū)域中出現(xiàn)且一個(gè)與某個(gè)其它的指號(hào)如P聯(lián)結(jié)在一起而另一個(gè)也與其它另外一個(gè)聯(lián)結(jié)在一起，那么把其它兩個(gè)指號(hào)聯(lián)結(jié)起來(lái)，同時(shí)刪除這兩個(gè)對(duì)立者。”5.“任何表示詞項(xiàng)的一條封閉曲線都可以被刪除，只要滿足以下條件：如果這樣一來(lái)兩個(gè)合并一起的區(qū)域包含有獨(dú)立的零，那么可以聯(lián)結(jié)這些零；如果被刪除曲線的一邊有一個(gè)零而由兩個(gè)區(qū)域合并而成的區(qū)域不再包含其它獨(dú)立的零，那么刪除該零連同其所在的整個(gè)鏈。”6.“任何表示詞項(xiàng)的一條封閉曲線都可以被添加到原來(lái)的圖中；……如果該曲線穿過(guò)的區(qū)域包含有一個(gè)叉……那么應(yīng)該添加一個(gè)新的叉使得添加的曲線位于這兩個(gè)叉之間，不管原來(lái)的叉是不是位于其它鏈上。如果新的曲線穿過(guò)的區(qū)域包含有一個(gè)零，那么應(yīng)該復(fù)制一個(gè)包含該零的整個(gè)鏈不與原來(lái)的鏈聯(lián)結(jié)，而且使得兩個(gè)零分別位于新添曲線兩邊。”[14]
實(shí)際上，皮爾士的這些規(guī)則在運(yùn)用時(shí)相當(dāng)于經(jīng)典命題邏輯的消解（Resolution）證明程序。當(dāng)然，它們還不是完善的。
4 圖式邏輯
20世紀(jì)90年代以前，皮爾士-文恩圖并沒(méi)有得到研究，歐拉圈由于其明顯的缺陷也一直很少得到重視，而對(duì)文恩圖的使用和研究卻一直在進(jìn)行。我們?cè)谇懊嬉呀?jīng)看到，文恩圖中所有表示詞項(xiàng)的封閉曲線都必須兩兩相交。當(dāng)討論的詞項(xiàng)的數(shù)量少于5時(shí)，其文恩圖一般都很容易就能夠畫(huà)出；但是，當(dāng)討論的詞項(xiàng)的數(shù)量為5或更多時(shí)是否可以畫(huà)出其文恩圖？對(duì)于這一問(wèn)題文恩本人只從直觀上作了肯定回答。[24]1959年摩爾在《符號(hào)邏輯雜志》上給出了對(duì)任意多個(gè)兩兩相交的文恩圖的一個(gè)拓?fù)錁?gòu)造方法；1965年安德森和克里夫爾在同一雜志上給出了更直觀的構(gòu)造方法。這兩個(gè)數(shù)學(xué)歸納證明為文恩圖在后來(lái)的發(fā)展起了重要的作用。與此同時(shí)，20世紀(jì)60年代，人們開(kāi)始重新發(fā)現(xiàn)皮爾士的“存在圖（Existential Graphs）”。存在圖是皮爾士對(duì)關(guān)系邏輯的圖式表示。邏輯圖與其表示的對(duì)象之間有某種一致性。在皮爾士看來(lái)，邏輯的目的不是發(fā)展一種有效的演算使得結(jié)論可以迅速而容易地從前提得出，邏輯的準(zhǔn)確任務(wù)是盡可能逼真地、以一種“鏡像（icon）”的方式來(lái)清楚地把推理的最基本的、元素性的構(gòu)成成分分析并展示出來(lái)。文恩圖既不能表示存在命題，也不能表示析取信息，更不能表示關(guān)系詞的邏輯。因此，在改造文恩圖的同時(shí)，皮爾士費(fèi)十年（1886-1896）之功，運(yùn)用自己在拓?fù)浜蛨D論中的研究發(fā)展出了自己的邏輯圖式系統(tǒng)——存在圖。存在圖系統(tǒng)是可以在其上進(jìn)行邏輯轉(zhuǎn)換運(yùn)算的一類(lèi)圖，每一個(gè)基本的運(yùn)算都是在一個(gè)表示論域的任意平面上畫(huà)上圖的一個(gè)部分或擦掉圖的一個(gè)部分。這是一個(gè)包羅廣泛的系統(tǒng)，在這個(gè)系統(tǒng)中皮爾士相信任何可以想象得到的斷言或邏輯論證都可以給出其幾何表達(dá)式，“存在”一詞即是指這種圖在描述任何可能論域中的任何方面的任何存在狀態(tài)的力量。存在圖系統(tǒng)由Alpha圖、Beta圖和Gamma圖三個(gè)部分組成，各個(gè)部分都有自己初始的構(gòu)圖符號(hào)以及操作這些圖的保真的圖形轉(zhuǎn)換規(guī)則，從而各自形成了一個(gè)證明系統(tǒng)，具有與經(jīng)典命題演算、帶等詞的一階謂詞演算以及模態(tài)邏輯和高階邏輯相同的表達(dá)能力。存在圖的初始指號(hào)只有三個(gè)：一條表示否定的封閉曲線、一條既表示個(gè)體變?cè)直硎敬嬖诹吭~的恒等線和一條表示“可能不”的封閉虛線。兩個(gè)圖的并置表示兩者的合取。與那些公認(rèn)的邏輯成就相比，皮爾士認(rèn)為邏輯的圖式化研究才是自己對(duì)于邏輯的最重要的工作，在自己最后的二十年中，貫注了他在邏輯方面的主要精力，1903年他更是把這一圖式系統(tǒng)稱為“我的杰作（My Chef D¢oeuvre）”。[14]齊曼（J. Zeman）1964年的博士論文《皮爾士圖的邏輯》和1973年羅伯茨（D.D. Roberts）在1963年博士論文基礎(chǔ)上出版的《皮爾士的存在圖》是從現(xiàn)代邏輯角度對(duì)存在圖進(jìn)行的開(kāi)拓性研究。[16][26]但是，存在圖的重要性直到計(jì)算機(jī)表示的圖示推理得到發(fā)展后才得以確認(rèn)。1984年，索瓦（J.F. Sowa）在存在圖的基礎(chǔ)上創(chuàng)造出作為知識(shí)表示的概念圖（Conceptual Graphs）系統(tǒng)，這一系統(tǒng)現(xiàn)在被全世界的計(jì)算機(jī)科學(xué)家作為一種知識(shí)表示模式應(yīng)用于人工智能領(lǐng)域。[21][22][27]
20世紀(jì)90年代，對(duì)圖的邏輯研究取得了長(zhǎng)足進(jìn)展。
1990年，美國(guó)邏輯學(xué)家巴威思（J. Barwise，1942-2000）在印第安那大學(xué)建立跨學(xué)科研究的“可視推理實(shí)驗(yàn)室（VIL）”，認(rèn)為可視表示信息（圖式信息）一樣可以從事弗雷格及其追隨者們使用語(yǔ)言信息進(jìn)行的有效推理。[4]1994年，英國(guó)邏輯學(xué)家多夫·蓋貝（Dov M. Gabbay）主編的《什么是一個(gè)邏輯系統(tǒng)？》一書(shū)出版。書(shū)中提到了15個(gè)關(guān)于“邏輯系統(tǒng)”的定義，其中巴威思和哈默（E.R. Hammer）認(rèn)為：現(xiàn)在我們要定義的邏輯系統(tǒng)不僅應(yīng)該包括大多數(shù)現(xiàn)有的系統(tǒng)，而且還要包括將要建立的系統(tǒng)。所以他們采取了一種盡可能寬泛的定義：“一個(gè)邏輯系統(tǒng)是非形式推理活動(dòng)以及支持這些活動(dòng)的已有的（或者可能的）直觀推理后承關(guān)系的一個(gè)數(shù)學(xué)模型。”這種數(shù)學(xué)模型是對(duì)非形式推理活動(dòng)的一種理想化，可以是語(yǔ)義的，也可以是語(yǔ)形的，具有多樣性。對(duì)同一種推理活動(dòng)，可以有不同的刻畫(huà)。例如，不同的一階邏輯系統(tǒng)有公理化系統(tǒng)、自然推演系統(tǒng)、表列系統(tǒng)、矢列系統(tǒng)等。巴威思和哈默還認(rèn)為，形式刻畫(huà)的系統(tǒng)還可以包括圖式系統(tǒng)和異質(zhì)系統(tǒng)（heterogeneous systems）。圖式系統(tǒng)包括文恩圖系統(tǒng)、歐拉圈系統(tǒng)、存在圖系統(tǒng)等，異質(zhì)系統(tǒng)既包括像公式那樣的語(yǔ)言元素，也包括像圖、表、列那樣的非語(yǔ)言元素，如超證明系統(tǒng)（heyperproof systems）、圖形系統(tǒng)（chart systems）和語(yǔ)句與文恩圖混合的系統(tǒng)。[3][7]在巴威思這些思想的指導(dǎo)下，同一年，S.J.辛（Sun-Joo Shin）用現(xiàn)代邏輯的方法建立起了可靠而完全的文恩圖系統(tǒng)。文恩圖的這一新理論把文恩圖構(gòu)造成一個(gè)現(xiàn)代的形式系統(tǒng)，給出了嚴(yán)格的合式圖定義、嚴(yán)格的塔爾斯基語(yǔ)義以及適用于文恩圖的變形規(guī)則，并且證明了關(guān)于有限圖集的完全性結(jié)果。[18]這一完全性結(jié)果隨即得到了進(jìn)一步的完善，被推廣到一般的情形。[1] 1995年哈默嚴(yán)格按照現(xiàn)代邏輯的工具和技術(shù)建立了歐拉圈系統(tǒng)的一個(gè)形式化，包括句法、語(yǔ)義和元邏輯研究，給出了歐拉圈的一個(gè)形式系統(tǒng)及其完全性證明。[11]同時(shí)，皮爾士為改造文恩圖而提出的推演規(guī)則也得到了完善，現(xiàn)代形式的皮爾士-文恩圖理論在文恩圖的新理論上建立起來(lái)。[8]與此同時(shí)，存在圖也得到了廣泛的研究。[19][22][27]
邏輯研究有效推理。一個(gè)推理是有效的是因?yàn)榻Y(jié)論所傳達(dá)的信息與前提所傳達(dá)的信息之間的必然關(guān)系，而傳達(dá)這些信息的媒介不一定就是語(yǔ)言。日常推理是運(yùn)用語(yǔ)句、圖形甚至聲音、氣味等多種信息進(jìn)行的多模態(tài)（multi-modal）推理，對(duì)這些多模態(tài)表示系統(tǒng)和推理的研究已經(jīng)成為心靈哲學(xué)、認(rèn)知科學(xué)、邏輯和計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域的交叉地帶，而關(guān)于邏輯圖的這些工作把“圖式邏輯”納入哲學(xué)邏輯做了理論上的鋪墊。2001年，由多夫·蓋貝和岡瑟納（F. Guenthner）主編的、計(jì)劃18卷的《哲學(xué)邏輯手冊(cè)》第二版（Handbook of Philosophical Logic, 2nd Edition）開(kāi)始出版，“圖式邏輯”作為專(zhuān)門(mén)的一章出現(xiàn)在2002年出版的第四卷中。圖式邏輯是刻畫(huà)圖形系統(tǒng)的語(yǔ)法、語(yǔ)義和證明論等的一個(gè)邏輯，其中的圖形系統(tǒng)在目前主要包括歐拉圈、文恩圖、皮爾士-文恩圖、存在圖、流程控制圖、線圖、電路圖、范疇論圖、哈斯（Hasse）圖、概念圖和幾何圖等。圖型（type）在語(yǔ)法上具有二維特征，而它們的意義則可以通過(guò)模型論或代數(shù)得以刻畫(huà)。圖式邏輯系統(tǒng)主要以圖形為對(duì)象，除此之外，它們與一般的邏輯系統(tǒng)并無(wú)根本的區(qū)別：兩者都要對(duì)一類(lèi)需要研究的表達(dá)式、表達(dá)式的意義以及表達(dá)式的運(yùn)用和目的進(jìn)行充分的刻畫(huà)。
至此，邏輯圖最終完成了它向形式化的轉(zhuǎn)變，成為現(xiàn)代邏輯的一個(gè)分支。
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