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趣味小課堂 2017-11-04

斐波那契數(shù)列（Fibonacci sequence），又稱黃金分割數(shù)列。

斐波那契(Leonardo Fibonacci)是13世紀(jì)意大利著名的數(shù)學(xué)家，因父親在北非的阿爾及利亞經(jīng)商，所以較早地接觸了東方數(shù)學(xué)，特別學(xué)習(xí)了當(dāng)時(shí)較流行的羅馬記數(shù)法、先進(jìn)的“印度一阿拉伯?dāng)?shù)字記數(shù)法”以及東方的乘除計(jì)算法。1202年斐波那契針對(duì)東方數(shù)學(xué)寫了{(lán)Liber Abaci>(算經(jīng))，在書里他第一個(gè)介紹了印度一阿拉伯記數(shù)法。之后，他又完成了《幾何實(shí)習(xí)》(1220年)和《四藝經(jīng)》(1225年)兩部著作。當(dāng)時(shí)，歐洲雖然知道一些阿拉伯記數(shù)法和印度算法，但僅局限于修道院內(nèi)，一般人還是用羅馬數(shù)學(xué)記數(shù)法而且盡量避免使用“零”。斐波那契的《算經(jīng)》，介紹了阿拉伯記數(shù)法和印度人對(duì)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、平方根、立方根的運(yùn)算方法，在歐洲大陸產(chǎn)生了極大的影響，改變了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的面貌，被認(rèn)為是歐洲人寫的一部偉大的數(shù)學(xué)著作，在兩個(gè)多世紀(jì)中一直被奉為經(jīng)典著作。

1．2  斐波那契數(shù)列

在《算經(jīng)》中，斐波那契提出一個(gè)有趣的問題：假定有一雄一雌一對(duì)剛出生的小兔，一個(gè)月后它們就能長大成大兔，并開始交配，在第二月結(jié)束時(shí)，雌兔子產(chǎn)下另一對(duì)兔子，過了一個(gè)月后它們也開始繁殖，如此這般持續(xù)下去。每只雌兔在開始繁殖時(shí)每月都產(chǎn)下-x~兔子，假定沒有兔子死亡，問一對(duì)剛出生的小兔，一年內(nèi)能繁殖成多少對(duì)兔子?

一月底，最初的一對(duì)兔子剛開始交配，所以只有1對(duì)兔子；二月底，雌兔產(chǎn)下一對(duì)兔子，共2對(duì)；三月底，最老的雌兔產(chǎn)下第-x~兔子，共3對(duì)；四月底，最老的雌兔產(chǎn)下第三對(duì)兔子，兩個(gè)月前生的雌兔產(chǎn)下一對(duì)兔子，共5對(duì)，?? ，如此這般計(jì)算，兔子對(duì)數(shù)分別是：1，2，3，5，8，l3，21，34，55，89，144，233。這就是著名的斐波那契數(shù)列，數(shù)列中的每一項(xiàng)，稱為“斐波那契數(shù)”。第l3位的斐波那契數(shù)，即為一對(duì)剛出生的小兔一年內(nèi)所能繁殖成的兔子的對(duì)數(shù)，即233。從斐波那契數(shù)的構(gòu)造明顯看出：斐波那契數(shù)列從第3項(xiàng)開始，每項(xiàng)都等于前面兩項(xiàng)之和。

斐波那契數(shù)列： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

如果設(shè)F(n）為該數(shù)列的第n項(xiàng)（n∈N*），那么這句話可以寫成如下形式：^[2] 

顯然這是一個(gè)線性遞推數(shù)列。通項(xiàng)公式

有趣的是，這樣一個(gè)完全是自然數(shù)的數(shù)列，通項(xiàng)公式卻是用無理數(shù)來表達(dá)的。而且當(dāng)n趨向于無窮大時(shí)，前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的比值越來越逼近黃金分割0.618（或者說后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值小數(shù)部分越來越逼近0.618）。

1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666...，3÷5=0.6，5÷8=0.625…………，55÷89=0.617977……………144÷233=0.618025…46368÷75025=0.6180339886…...

自然界中的斐波那契數(shù)列
自然界中到處可見費(fèi)氏數(shù)列的蹤跡。樹技上的分枝數(shù)，多數(shù)花的瓣數(shù)都是費(fèi)氏數(shù)：火鶴 1、百合 3、梅花 5、桔梗常為 8、金盞花 13、…等等。費(fèi)氏數(shù)列也出現(xiàn)在松果上。一片片的鱗片在整粒松果上順著兩組螺線排列：一組呈順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，另一組呈反時(shí)針，網(wǎng)頁上的圖；仔細(xì)瞧瞧，順時(shí)針螺線的排列數(shù)目是 8，反時(shí)針方向則為 13，而另一組常出現(xiàn)的數(shù)字是「5 及 8」。向日葵也是一樣，常見的螺線數(shù)目為「34 及 55」，較大的向日葵的螺線數(shù)目則為「89 及 144」，更大的甚至還有「144 及 233」。這些全都是費(fèi)氏數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的數(shù)值。數(shù)數(shù)看，下圖這朵向日葵的螺線數(shù)目是多少？

植物是以種子和嫩芽開始生長；種子發(fā)芽后，很多細(xì)根會(huì)長出來，并且向地底下生長，而嫩芽則是迎向陽光。如果用顯微鏡觀察新芽的頂端，你可以看到所有植物的主要征貌的生長過程——包括葉子、花瓣、萼片、小花（floret）等等。在頂端的中央，有一個(gè)圓形的組織稱為「頂尖」（apex）；而在頂尖的周圍，則有微小隆起物一個(gè)接一個(gè)的形成，這些隆起則稱為「原基」（primordium）。成長時(shí)，每一個(gè)原基自頂尖移開（頂尖從隆起處向外生長，新的原基則在原地）；最后，這些隆起原基會(huì)長成葉子、花瓣、萼片等等。每個(gè)原基都希望生成的花、蕊、或葉片等等，之后能夠獲得最大的生長空間。

來源：互聯(lián)網(wǎng)。