立體幾何解法第一招：藍(lán)銀囚籠
-借助標(biāo)準(zhǔn)幾何體求外接球問題
標(biāo)準(zhǔn)幾何體外接球問題是立體幾何中的難點和重要的考點，此類問題實質(zhì)是解決球的半徑長或確定球心的位置問題,其中球心的確定是關(guān)鍵.
1.定義法確定球心:在空間,如果一個定點與一個簡單多面體的所有頂點的距離都相等,那么這個定點就是該簡單多面體的外接球的球心.由上述性質(zhì),可以得到確定簡單多面體外接球球心的如下結(jié)論.①正方體或長方體外接球的球心是其體對角線的中點.②正棱柱外接球的球心是上下底面中心的連線的中點.③直三棱柱外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點.④正棱錐外接球的球心在其高上,具體位置可通過計算找到.⑤若棱錐的頂點可構(gòu)成共斜邊的直角三角形,則公共斜邊的中點就是其外接球的球心.
2.構(gòu)造正方體或長方體:若球面上4點構(gòu)成的3條線段兩兩互相垂直,且,一般把有關(guān)元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體,根據(jù)長方體的體對角線長等于球的直徑來求解.
3.空間問題平面化,過球心或接點作截面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系、球心的位置,弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系,進(jìn)而求解.如球與其他旋轉(zhuǎn)體組合時,通常作它們的軸截面解題;球與多面體組合時,通常過多面體的一條側(cè)棱和球心及“接點”作截面圖進(jìn)行解題.
4.由性質(zhì)確定球心的一般方法:先找一個面的外心,然后由外心作這個面的垂線,由于垂線上的點到該面各頂點的距離相等,得到球心為垂線上某一點,然后根據(jù)這點到該面頂點的距離等于到其他頂點的距離確定球心,或者找兩個面的外心,分別由兩個外心作兩個面的垂線,兩個垂線的交點即為球心.
【2021屆江西省名校高三上學(xué)期第二次聯(lián)考】在三棱錐中,,,,,則該三棱錐的外接球的表面積為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在中,,即,又,∴為等邊三角形
根據(jù)題意,有如下示意圖:
如圖,設(shè)的外接圓的圓心為,連接,,,連接PH.
由題意可得,且,.
∴由上知:且,又,
∴,由,平面ABC.
設(shè)O為三棱錐外接球的球心,連接,,OC過O作,垂足為D,則外接球的半徑R滿足,, ,代入解得,即有,
∴三棱錐外接球的表面積為.
故選:A.
1.(原創(chuàng)) 直三棱錐中,底面,,,若該三棱柱的側(cè)面積為,則三棱柱外球球體積的最大值為__________
2. (原創(chuàng))如圖四邊形中,為等邊三角形,中,,且, 為的中點,將沿折起,設(shè)點在平面的投影為,在折疊過程中,當(dāng)時,三棱錐外接球的表面積為__________
3. (原創(chuàng))如圖,四棱錐中,平面平面, ,底面為平行四邊形,,, 為的中點,為邊上的任一點,中,, 為的中點,當(dāng)三棱錐體積最大值時,三棱錐外接球的表面積為__________
