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公眾號后臺回復“圖書“，了解更多號主新書內(nèi)容
     作者：冬至
     來源：首席數(shù)據(jù)科學家

之前咱們分享過很多數(shù)據(jù)應(yīng)用相關(guān)的內(nèi)容，從《用戶畫像》到《數(shù)據(jù)采集》、《BI系統(tǒng)》等等。今天開始系統(tǒng)分享一些和基礎(chǔ)理論相關(guān)的內(nèi)容，包括統(tǒng)計學、概率論等學科。

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首先，什么是總體呢？

總體，就是我們想研究的對象的全體。比如，我們要研究淘寶的所有用戶，那淘寶的所有7億用戶就是總體。總體用戶中的每一個人，就是一個個體。

如果總體是有限個，就是有限總體，無限個就是無限總體。

對于總體，我們給出一個隨機變量X，隨機變量的分布就是總體分布。

（2）關(guān)于樣本

研究總體的過程中，我們就發(fā)現(xiàn)一個問題，總體的數(shù)量往往過多。比如針對淘寶網(wǎng)所有用戶，想研究所有用戶的滿意度，咋辦？要一個一個人全部調(diào)查一遍嘛？顯然不現(xiàn)實。這時就有了抽樣以及樣本的價值。

什么是抽樣？

簡單來說，抽樣就是將總體中取一部分。比如全部淘寶用戶抽1000人，這1000人就是樣本，抽取的過程就是抽樣。1000人就是樣本大小，也叫樣本容量。

對于抽了n個樣本X1，X2,……Xn，我們通常用以下表示樣本變量：

如果發(fā)生了抽樣，那每個樣本都有一個具體的值，比如樣本X1的取值是x1，那我們就把x1叫觀測值，全部樣本的觀測值則用以下表示：

總結(jié)而言，大寫表示的是變量，小寫表示的是確定的數(shù)值（因為已經(jīng)抽取出來并測量了）。

（3）關(guān)于抽樣

關(guān)于抽樣，我們要求的是簡單隨機抽樣。有以下幾個要求：

• 同分布。要求每個樣本被抽到的機會都是均等的
  

• 相互獨立。抽到某個個體對其他個體被抽到是沒有影響的。
  

當然了，簡單隨機抽樣是比較理想的情況，實際操作中比較困難。

（4）樣本的分布

由于樣本的抽取是獨立的，所以樣本的概率函數(shù)就等于每個樣本的聯(lián)合概率分布。

統(tǒng)計量

了解了總體和樣本，我們再看看看統(tǒng)計量。

（1）統(tǒng)計量的定義

首先看一下定義：不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)，就叫統(tǒng)計量。

說白了，統(tǒng)計量就是由我們?nèi)〉臉颖尽?gòu)造的一個不含未知參數(shù)的函數(shù)。函數(shù)可以是任意的，隨意構(gòu)造，只要保證不含未知參數(shù)即可（可以含已知參數(shù)）。

比如，我們求樣本的和，求樣本平方之后的和，這些都是統(tǒng)計量。

（2）常見統(tǒng)計量

這里介紹一下常見的統(tǒng)計量。

樣本均值：

樣本方差（修正過的）：

注意，這里的樣本方差是修正過的。細心的朋友應(yīng)該也已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了，這里的系數(shù)分母是n-1（未修正的樣本方差的分母是n，也是我們初中高中一直用的方差的定義）。修正的主要目的是為了使得樣本方差是總體方差的無偏估計。關(guān)于無偏估計，后續(xù)再闡述。

樣本標準差：

樣本K階原點矩：

當這里的k=1的時候，一階原點矩就是均值。

樣本K階中心矩：

當這里的k=2的時候，就是未修正的樣本方差。

樣本均值和方差的性質(zhì)

上面講到了很多統(tǒng)計量，用的比較多的，其實依舊是樣本均值和方差。因此，針對樣本均值和方差的一些性質(zhì)，進行詳細闡述。

（1）樣本均值的期望是總體均值

啥意思呢，舉例說明。

假設(shè)全體7億淘寶用戶對網(wǎng)站的平均滿意度是80分（這個是未知的），抽樣了1000個淘寶用戶，統(tǒng)計了這1000個用戶每個人的滿意度，并求均值。那這個樣本均值的期望就應(yīng)該等于80分。

（2）樣本均值的方差是總體方差的n分之一

從這里，我們可以看出來。樣本均值的方差比總體方差變小了。而且樣本數(shù)量越大，均值的方差越小。為啥呢？

其實是這樣。方差反映的是數(shù)據(jù)的波動程度。當我們選樣本的數(shù)量越多的時候，那么越接近總體的數(shù)量，人數(shù)越多數(shù)據(jù)的波動性越小。這個道理也是比較容易理解的。

（3）樣本方差的期望等于總體方差

這里具體證明過程就不展開了。

關(guān)于總體、樣本、統(tǒng)計量相關(guān)的內(nèi)容，就先介紹到這。下回繼續(xù)分享抽樣分布相關(guān)的內(nèi)容，歡迎繼續(xù)關(guān)注。