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快樂課堂學(xué)數(shù)學(xué)-多余老師趣講“三角恒等變形”-高中數(shù)學(xué)必修4

一、本單元概述

三角恒等變形這一單元，可以說(shuō)是“純代數(shù)”單元。

首先，利用“數(shù)形結(jié)合”得出一些基本的三角恒等式，再按照“代數(shù)變形規(guī)則”進(jìn)行變形，得出豐富多彩的“三角恒等變形”。

想學(xué)好這個(gè)單元，就要抓好這兩點(diǎn)：

1、數(shù)形結(jié)合。

2、代數(shù)變形規(guī)則。

這兩點(diǎn)，都已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)，在本單元就是進(jìn)行綜合運(yùn)用。 

當(dāng)然，在解決具體題目時(shí)，會(huì)涉及以前所學(xué)過(guò)的，所有“代數(shù)變形”。所以，本單元的新內(nèi)容，依據(jù)正確方法很好掌握，如果你在以前的某些環(huán)節(jié)存在問題，通過(guò)本單元，要進(jìn)行及時(shí)補(bǔ)救。

在正式說(shuō)新內(nèi)容前，先說(shuō)說(shuō)什么是“三角恒等”。

恒等：完全相等的;產(chǎn)生或?qū)崿F(xiàn)同一的——主要指邏輯命題和數(shù)學(xué)的方程與演算所表示、產(chǎn)生或?qū)崿F(xiàn)的方面。

恒等符號(hào) "≡"。恒等號(hào)一般用于一些參變量恒為一個(gè)常數(shù)或恒定表達(dá)式時(shí)，表示這種等于關(guān)系與變量無(wú)關(guān)。例如函數(shù)f（x）≡0表示該函數(shù)的值始終為0而與x的值無(wú)關(guān)。

恒等式：數(shù)學(xué)上，恒等式是無(wú)論其變量如何取值，等式永遠(yuǎn)成立的算式。

恒等式，是兩個(gè)解析式之間的一種關(guān)系。給定兩個(gè)解析式，如果對(duì)于它們的定義域的公共部分（或公共部分的子集）的任一數(shù)或數(shù)組，都有相等的值，就稱這兩個(gè)解析式是恒等的。例如x^2－y^2與（x+y）（x－y） ，對(duì)于任一組實(shí)數(shù)（a，b），都有a^2－b^2=（a+b）(a－b)，所以x^2－y^2與（ x+y）（x－y）是恒等的。

兩個(gè)解析式恒等與否不能脫離指定的數(shù)集來(lái)談，因?yàn)橥瑯拥膬蓚€(gè)解析式，在一個(gè)數(shù)集內(nèi)是恒等的，在另一個(gè)數(shù)集內(nèi)可能是不恒等的。例如 

在數(shù)學(xué)中，三角恒等式是對(duì)出現(xiàn)的變量的所有值都為實(shí)數(shù)的涉及到三角函數(shù)的等式。

這些恒等式在有些三角函數(shù)需要簡(jiǎn)化的時(shí)候是很有用的。

二、只有一個(gè)變量的三角恒等變形

三角函數(shù)的變量就是弧度制角，所以只有一個(gè)變量的三角恒等變形，就是同角的三角函數(shù)關(guān)系式及關(guān)系式的“代數(shù)變形”。

同角的三角函數(shù)關(guān)系，在以前就通過(guò)“數(shù)形結(jié)合”已經(jīng)知道：

1、sin2α+cos2α=1；（由此關(guān)系式，正弦和余弦，可統(tǒng)一為“弦”）

2、tanα=sinα/cosα；（“弦”與“切”的關(guān)系）

3、tanα*cotα=1。（由此關(guān)系式，正弦和余弦，可統(tǒng)一為“切”）

然后，由這三個(gè)基本關(guān)系式，進(jìn)行“代數(shù)”變形：

1、按“等式的性質(zhì)”進(jìn)行“變形”，可得到：

sin2α=1-cos2α，cos2α=1-sin2α，tan2α=（1-cos2α）/（1-sin2α），cot2α=（1-sin2α）/（1-cos2α）；

sinα=（1-cos2α）的平方根=tanα/（1+tan2α）的平方根=1/（1+cot2α）的平方根，

cosα=（1-sin2α）的平方根=1/（1+tan2α）的平方根= cotα/（1+cot2α）的平方根，

tanα=sinα/（1-sin2α）的平方根=（1-cos2α）的平方根/ cosα=1/ cotα，

cotα=（1-sin2α）的平方根/ sinα= cosα/（1-cos2α）的平方根=1/ tanα。

（三角恒等變形中，出現(xiàn)平方根，取+或-，由“角的位置”決定，后面不再重復(fù)說(shuō)明）。

2、由sin2α+cos2α的“平方和”形式，可進(jìn)行“五胞胎”（完全平方公式、平方差公式中出現(xiàn)的A2+B2、A+B、A-B、AB、A2-B2）變形：

sin2α+cos2α=（sinα+cosα）2-2sinαcosα=（sinα-cosα）2+2sinαcosα=1，

sinαcosα=（sinα+cosα）2/2-1/2=1/2-（sinα-cosα）2/2，

sinα+cosα=（1+2sinαcosα）的平方根，sinα-cosα=（1-2sinαcosα）的平方根，

（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα，（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα。

3、由“特殊值1”，可根據(jù)實(shí)際情況，進(jìn)行“變形”（常值代換）：

1= sin2α+cos2α= tanα*cotα=sinп/2=a0=logaa。。。。

此外，三角函數(shù)“誘導(dǎo)公式”也可視為“同角三角恒等變形”（因?yàn)橹挥幸粋€(gè)變量）。這樣，加上“有特殊值的三角函數(shù)”，就可進(jìn)行更加豐富的“同角變形”。

回顧：誘導(dǎo)公式按位置進(jìn)行分類，分為“關(guān)于X軸對(duì)稱、關(guān)于Y軸對(duì)稱、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱、關(guān)于Y=X對(duì)稱，關(guān)于Y=-X對(duì)稱”，“旋轉(zhuǎn)п/2、旋轉(zhuǎn)п、旋轉(zhuǎn)3п/2、旋轉(zhuǎn)2п”；三角函數(shù)特殊值有“1、2、3、根號(hào)3、根號(hào)2的組合”。

三、有兩個(gè)變量（角由兩變量組成）的三角恒等變形

一個(gè)“變量角”，加誘導(dǎo)公式變?yōu)椤俺Ａ拷?變量角”，現(xiàn)在再變成“變量角+變量角”。此時(shí)，應(yīng)該如何進(jìn)行“變形”呢？

由于“切”可由“弦”得出，所以，我們先研究“弦”，sin（A+或-B）或者cos（A+或-B）。

想：在什么“形”中，可以把“兩角和”或“兩角差”變成一個(gè)角？

三角形就可以，在三角形ABC中，A+B=п-C，這就可以變成一個(gè)角了。

這樣，我們先試著用三角形研究一下：

首先，在三角形ABC中，角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c。

若A,B均為銳角，則在三角形ABC中，過(guò)C作AB邊垂線交AB于D， 

由CD=asinB=bsinA（做另兩邊的垂線，同理）可證明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC

于是有：AD+BD=c   AD=bcosA,  BD=acosB 

代入正弦定理，可得sinC=sin（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 

即在A,B均為銳角的情況下，可證明兩角和正弦的公式。

利用正弦和余弦的定義及周期性，可證明該公式對(duì)任意角成立。

于是有 cos(A+B)=sin（90-A-B)=sin（90-A)cos(-B)+cos（90-A)sin（-B）=cosAcosB-sinAsinB

由此易得其它全部公式。

如：cos(A-B)= cos[A+（-B）]=cosAcos（-B）-sinAsin（-B）= cosAcosB+sinAsinB

在這里，我們把以后才學(xué)的“解三角形”中的“正弦定理”，都順便解決了。不過(guò)，這個(gè)證明過(guò)程比較繁瑣，能不能有更簡(jiǎn)單、更直接的證明方法呢？

觀察已得出公式的“結(jié)構(gòu)形式”，可以發(fā)現(xiàn)cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB的“結(jié)構(gòu)形式”與“向量的數(shù)量積”很吻合。

那我們就利用平面直角坐標(biāo)系、單位圓、向量，再來(lái)研究一下：

在坐標(biāo)系中，任意取單位圓上兩點(diǎn)，分別命名為“向量a（cosA，sinB）；向量b（cosB，sinB）”

則兩向量順時(shí)針方向形成的夾角，就是“A-B”

可得出cos(A-B)正好是“向量a與向量b的數(shù)量積”

即cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

利用“向量的數(shù)量積”得出的“兩角差余弦”，顯得非常簡(jiǎn)單、直接。

再利用“誘導(dǎo)公式”，或得出所有“兩角和與差的三角函數(shù)”：

cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ（將cos(A-B)，用-B代換B得出）

sin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβ（利用正弦和余弦的“互余”得出）

sin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβ  （再用-B代換B得出）

tan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）（由T=S/C得出，分子分母同時(shí)除以CC，C變1、S變T）

tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）

以上公式，由于“常用”，可進(jìn)行記憶（注意，只有理解，才能長(zhǎng)期記憶），多余老師的記憶口訣是：

向量“積”（是指“數(shù)量積”）、得C差，其余全是誘導(dǎo)得

C是“扣扣、索索”，S是“死扣、扣死”

S是正、不變號(hào)，C是余、要變號(hào)

T由S與C得，C變1、S變T，上跟S、不變號(hào)，下跟C、要變號(hào)

繼續(xù)，在“兩角和”的基礎(chǔ)上，再把“變量角”進(jìn)行變化：

1、當(dāng)A=B時(shí)，得出“二倍角”公式

sin2α=2sinα·cosα=2tanα/（1+tan2α）

cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α=（1-tan2α）/（1+tan2α）

tan2α=2tanα/（1-tan2α）

此時(shí)，可發(fā)現(xiàn)，“二倍角公式”與“同角”的“五胞胎變形”，正好把“同角五胞胎”湊齊，即：

sin2α+cos2α、sinα+cosα、sinαcosα、sinα-cosα、sin2α-cos2α。

同時(shí)，還可發(fā)現(xiàn)，“二倍角”出現(xiàn)了“升次”，經(jīng)過(guò)“變形”，可得出“降次”公式：

sin2α=（1-cos2α）/2，cos2α=（1+cos2α）/2，tan2α=（1-cos2α）/（1+cos2α）。

2、再將“二倍角”中的“α”，用“α/2”代換，得出“半角”公式

sin2（α/2）=（1-cosα）/2

cos2（α/2）=（1+cosα）/2

tan2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）

tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα（這個(gè)形式“簡(jiǎn)潔”，且不用分+、-）

注意：由平方得出平方根，其+與-由“角的位置”決定。

“半角”不用記，可由“二倍”直接得。

3、將“兩角和與差”解方程組，可得出三角函數(shù)“積化和差“公式

sinα·cosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2

cosα·sinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2

cosα·cosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2

sinα·sinβ=-[cos（α+β）-cos（α-β）]/2

還可得出三角函數(shù)“和差化積“公式

sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]

sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]

cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]

cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]

4、“兩角和與差”的右邊，將一個(gè)角的三角函數(shù)“代換”為“一對(duì)常數(shù)，得出“收縮”公式

asinx+bcosx=[√（a^2+b^2）]{[a/√（a^2+b^2）]sinx+[b/√（a^2+b^2）]cosx}=[√（a^2+b^2）]sin(x+y)

其中，tan y=b/a

四、其它三角恒等變形

1、三倍角公式（由3α=2α+α，經(jīng)“兩角和”與“二倍角”得出）

sin3α=3sinα-4sin3α

cos3α=4cos3α-3cosα

tan3α=（3tanα-tan3α）/（1-3tan2α）

2、萬(wàn)能代換公式（由半角T，得出）

sinα=2tan（α/2）/[1+tan2（α/2）]

cosα=[1-tan（α/2）]/[1+tan2（α/2）]

tanα=2tan（α/2）/[1-tan2（α/2）]

3、有“π/4”的T

tan(a+π/4）=(tana+1）/（1-tana)

tan(a-π/4）=(tana-1）/（1+tana)

4、有關(guān)“切”的常見情況

如果 

那么 

如果 

那么 

如果 

如果 

那么

4、二角“平方差”公式

五、最后多余的話

三角恒等非常多，只靠記憶不可靠

理解來(lái)源很重要，關(guān)鍵時(shí)刻自己推

越是復(fù)雜越不記，越是簡(jiǎn)單記得牢

純是代數(shù)不好玩，數(shù)形結(jié)合才有趣

要想有趣就找形，代數(shù)也是有形的

變來(lái)變?nèi)ナ且患?，五胞不夠百十?/span>