第三章矩陣力學基礎(?)――力學量和算符
一、概念與名詞解釋
1. 希爾伯特空間
2. 希爾伯特空間中矢量的內(nèi)積
3. 轉置算符、復共軛算符、厄米共軛算符、厄米算符、幺正算符
4. 不確定性定理
5. 維里定理
二、計算
1. 計算對易關系，其中μ、ν =x,y,z.
2. 設λ是一個小量，求算符按λ的冪展開式.
3. 求在x表象中的算符.以及在px表象中的算符
.
4. 利用不確定性原理估算氫原子基態(tài)能量.
5. 一維運動的粒子處在求<(Δx)2>，<(Δp)2>.
6. 粒子處在Ylm態(tài)，求：
(1) Lx和Ly的平均值<Lx>，<Ly>；
(2) <(ΔLx)2>，<(ΔLy)2>.
7. 線諧振子處于基態(tài)，計算<(Δx)2>·<(Δp)2>，其中
8. 設體系處于φ=C1Y11+C2Y10態(tài)，且|C1|2+|C2|2=1，求：
(1) 力學量的可能值和平均值；
(2) 力學量的本征值；
(3) 力學量Lx和Ly的可能值.
9. 設體系處在某一狀態(tài)，在該狀態(tài)中測量力學量L2得到的值是6?2，測量力學量Lz得到的值是- ?，求測量Lx和Ly可能得到的值.
10. 設體系的哈密頓算符為求其能量本征值.
11. 求在的本征態(tài)中，對易子的平均值.為任意算符.
12. 在t=0時氫原子的波函數(shù)為
(1) 求體系能量的平均值；
(2) 求在t時刻體系處在l=1,m=1態(tài)的概率；
(3) 求在t=0時，電子處在d=10-10cm范圍內(nèi)的概率；
(4) 假定做一次測量后發(fā)現(xiàn)L2=2?2，Lx= ?，求測量后的瞬間體系的波函數(shù).
13. 一電子處在一維諧振子的基態(tài)，使得求激發(fā)該電子到第一激發(fā)態(tài)所需的能量.
四、證明
1. 若算符滿足，求證：
(1)
(2) 用數(shù)學歸納法證明：
2. 若算符滿足對易關系式，求證：
3. 若算符滿足，直接通過對易關系證明：
4. 設[x,p]=i?，f(x)是x的可微函數(shù)，證明：
5. 證明：
6. 是粒子的角動量，F是另一力學量，證明：
7. 設是只與空間坐標有關的力學量，證明：
8. 證明算符(An,m為實數(shù))是厄米算符.
9. 定義算符式中算符是幺正算符.證明皆為厄米算符，并且滿足
10. 證明：
(1) 在任意一維歸一化的實束縛態(tài)φn(x)上，；
(2) 若哈密頓算符的本征值為En、本征矢φn(x)為實的束縛態(tài)，則有
11. 設哈密頓算符的本征解為En和，對任意的線性厄米算符，證明下式成立：
12. 證明在的本征態(tài)下，<Lx>=<Ly>=0.進而證明角動量沿任意方向的分量的平均值為m?cosθ，其中θ為與z軸的夾角，為任意方向單位矢量.
13. 證明空間轉動不變性對應角動量守恒.
14. 若算符與哈密頓算符皆不顯含時間，試證
15. 證明
16. 若算符為守恒量，證明他們的對易子也是守恒量.
17. 粒子處于寬度為a的一維非對稱無限深方勢阱中，在其第n個本征態(tài)下，證明
五、綜合題
1. 質(zhì)量為m的自由粒子作一維運動.在t=0時的歸一化波函數(shù)是高斯波包，滿足
(1) 求
(2) 證明在t>0時，粒子的概率密度滿足
(3) 用不確定性原理解釋(1)和(2)的結果.
2. 考慮一質(zhì)量為m的粒子在一維勢場U(x)=U0(x/a)2n中運動，其中n是正整數(shù)，U0>0，定性討論能量本征值的分布和相應的本征函數(shù)的宇稱.用不確定性原理估計基態(tài)能量的數(shù)量級，并討論n=1和n→∞兩種特殊情況.
3. 在t=0時，處在諧振子勢U=kx2/2中的一粒子的波函數(shù)是
其中β和A是實常數(shù)，且厄米多項式歸一化條件是
(1) 寫出φ(x,t)；
(2) 求在φ(x,t)態(tài)中測量粒子的能量的可能值和相對概率；
(3) 求t=0時的<x>，并問<x>是否隨時間t變化？
4. 考慮一維對稱勢阱中的粒子，熟知，在這種情形下至少有一個能級.現(xiàn)在在給定勢阱深度U0的情況下，減少勢阱寬度a是使?jié)M足不等式a2<<?2/mU0，初看起來，束縛在勢阱中的粒子的空間位置將越來越精確(Δx~a)，然而在任何情況下，動量的不確定度Δp應限制在數(shù)量級內(nèi)，于是有不等式，這個結果顯然和不確定性原理矛盾.試指出上述論證中的錯誤，并求出粒子坐標和動量不確定度的乘積.
5. 一粒子的波函數(shù)是φ=k(x+y+2z)e-αr，式中k和α是實常數(shù)，求：
(1) 粒子的角動量是多少？
(2) 角動量z分量的平均值；
(3) 若角動量的z分量Lz被測量，問測得Lz=+ ?的概率是多少？
(4) 發(fā)現(xiàn)粒子在θ,φ方向上dΩ立體角內(nèi)的概率是多少？θ,φ是通常球坐標中的方向角.
六、思考題
1. 量力力學參量與經(jīng)典物理的力學量有何區(qū)別?
2. 經(jīng)典物理中的理論力學、電動力學、統(tǒng)計力學有哪些主要物理量？
3. 量子力學的算符概念和，，首先是誰引進的？
4. 量子力學的基本算符是什么?為什么?
5. 算符的定義是什么?跟數(shù)學的算子有何區(qū)別?
6. 量子力學算符的基本性質(zhì)是什么?
7. 算符的對易關系有什么物理意義?為什么?
8. 量子力學算符原理是什么?
9. 量子力學的力學量取值與經(jīng)典物理力學量有何區(qū)別?
10. 為什么說量子力學算符必須是厄米算符?為什么?
11. 為什么說薛定諤定態(tài)方程是能量本征方程?
12. 構造算符的基本法則是什么?[包括算符函數(shù)]
13. 算符的對易關系算式有哪幾個是最重要的?
14. 為什么算符本征值有哪點跟經(jīng)典力學是不同?
15. 算符本征值在宏觀實驗測量中有無實驗意義?如果沒有,那么解算本征值還有什么意義?
16. 力學量的宏觀測量值跟本征值有何聯(lián)系?為什么?
17. 為什么算符本征值只能單次實驗測量?
18. 量子力學算符作用在任意狀態(tài)上得到的數(shù)值是唯一的么?
19. 算符本征函數(shù)性質(zhì)是什么?
20. 為什么本征函數(shù)系列可以構造數(shù)學函數(shù)空間?這個函數(shù)空間是完全的么?
21. 同一個狀態(tài)中的兩個算符有什么關系?哪一個是量子力學的特點?
22. 寫出你知道的算符表達式?
23. 量子力學力學量的測不準原理是什么?誰發(fā)現(xiàn)的?
24. 為什么說測不準原理是量子力學的重大發(fā)現(xiàn)?
25. 寫出能量與時間的測不準關系,并說明原因。
26. 測不準關系與測不準原因區(qū)別在哪里？
27. 為什么測不準關系式中的兩個力學量都是平均值？
28. 兩個力學量的本征值都是量子化取值，是否存在測不準關系？
29. 一個能量有確定值的狀態(tài)，還存在測不準關系么？
30. 推導測不準原理使用的初等數(shù)學方法是什么？
31. 為什么測不準關系用測量精度表示?測量精度的概念是什么?
32. 量子力學的角動量算符定義是什么?
33. 為什么?兩個算符存在測不準關系的條件是什么?
34. 什么情況下動量本征值是連續(xù)的?方箱中的粒子也是自由運動為什么是量子化的？
35. 算符本征值量子化產(chǎn)生的條件是什么？
36. 動量和角動量算符的對易關系是什么？兩者有無差別？為什么？
37. 初等量子力學的存在原理是什么？用什么實驗驗證？
38. 自旋算符與動量、角動量和能量算符有何區(qū)別？
39. 自旋算符是推導出來的么？為什么？
40. 為什么力學量向經(jīng)典力學過渡必須計算平均值？
