和大一新生談學(xué)好高等數(shù)學(xué)之二
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前言：數(shù)學(xué)是大學(xué)學(xué)習(xí)生涯中要過(guò)好的第一道坎。
學(xué)好高等數(shù)學(xué)，究竟有沒(méi)有什么訣竅，或者說(shuō)特殊的方法？以我之見(jiàn)說(shuō)“有”也對(duì)，就是勤學(xué)苦練多做題；說(shuō)“沒(méi)有”也對(duì)，想走不花力氣的捷徑是不可能的。
不要相信天花亂墜的所謂數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法或高分秘訣。
講者滔滔不絕，頭頭是道，其實(shí)都是夸夸奇談。聽(tīng)了好象很有啟發(fā)，其實(shí)一點(diǎn)都沒(méi)有好處。
所謂的技巧，也都不過(guò)是一些雕蟲(chóng)小技而已。
以我之見(jiàn)，與其花時(shí)間去研究10種不同的高數(shù)學(xué)習(xí)方法，還不是花時(shí)間去熟悉10種不同的數(shù)學(xué)題型,“不熟焉能生巧”。
認(rèn)真學(xué)過(guò)高等數(shù)學(xué)的學(xué)生（參加過(guò)數(shù)學(xué)考研的學(xué)生）都知道，一元微分學(xué)最難，一元積分學(xué)其次。高等數(shù)學(xué)的上冊(cè)學(xué)好了，下冊(cè)多元函數(shù)應(yīng)該不成問(wèn)題了。
可是現(xiàn)在大家的感覺(jué)恰恰是相反，可以說(shuō)，這完全與教學(xué)內(nèi)容無(wú)關(guān)。
剛進(jìn)入大學(xué)校門(mén)，大家都有幾分熱情，花在學(xué)習(xí)上的時(shí)間也比較多，一點(diǎn)小聰明還在，最難的一元微分學(xué)雖然學(xué)得很累，期中考試也都通過(guò)了。
可是到了下半個(gè)學(xué)期，及至下半年，不少人熱情不再，一點(diǎn)小聰明資本也基本用完了，時(shí)間也都不知道花在了什么地方了。
這樣的狀態(tài)下，還能學(xué)得好，就是件怪事。
總之，我認(rèn)為學(xué)好高等數(shù)學(xué)，不在于你的天資（潛力），而在于你的勤奮（努力）。
在今天開(kāi)學(xué)第一天，我想對(duì)愿意努力的同學(xué)說(shuō)：如果你自始至終能夠切切實(shí)實(shí)按我對(duì)你的如下要求去行動(dòng)。我就不相信一年后還不會(huì)有“我努力了，但是我還是沒(méi)有學(xué)好”的哀嘆。否則，你把預(yù)習(xí)筆記和課堂筆記拿給我看。
一．聽(tīng)課，要注于專(zhuān)心
認(rèn)真聽(tīng)課，這是個(gè)不言而喻的道理。所以就不多談了，這里只談?wù)動(dòng)浌P記的事。要學(xué)好高等數(shù)學(xué)，一定要學(xué)會(huì)記筆記。
記筆記會(huì)使聽(tīng)課更專(zhuān)注，也能幫你有效地進(jìn)行課外的復(fù)習(xí)鞏固。
有些同學(xué)不會(huì)記筆記，只要是老師所講，言無(wú)輕重、話(huà)無(wú)巨細(xì)，統(tǒng)統(tǒng)照記不誤，耳、眼、手忙得不亦樂(lè)乎，累得還哪里顧得上同步思考，如果是這個(gè)樣子，倒還不如不記。
課堂筆記沒(méi)必要追求齊全、講究系統(tǒng)。只要有選擇、有重點(diǎn)地記就可以了。但是課后復(fù)習(xí)時(shí)，一定要對(duì)筆記進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼硌a(bǔ)充，這就是一本好筆記。如果能再加上自己的心得體會(huì)與點(diǎn)評(píng)，那就是筆記的極品了。
如果預(yù)習(xí)得好，那么對(duì)哪些該記、哪些可不記，也會(huì)更有的放矢。
現(xiàn)在多數(shù)老師上課都用上了多媒體課件，但誰(shuí)也不會(huì)是照屏宣科，精彩之處常在屏外的補(bǔ)充與發(fā)揮之中。這些補(bǔ)充與發(fā)揮之處尤其要詳細(xì)地記。
二．復(fù)習(xí)，要做到精心
在整個(gè)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，復(fù)習(xí)是最重要的環(huán)節(jié)，有專(zhuān)家研究過(guò)所謂的“知識(shí)遺忘規(guī)律”有近快遠(yuǎn)慢的現(xiàn)象。學(xué)得越快越多，忘得也越快越多。
所以剛學(xué)的東西，一下課就要及時(shí)復(fù)習(xí)，這叫“鞏固記憶” ；期中考試再?gòu)?fù)習(xí)，這叫“加深記憶” ；期末考試系統(tǒng)地總復(fù)習(xí)，這叫“強(qiáng)化記憶” 。
對(duì)于搞數(shù)學(xué)教學(xué)的我，想把“知識(shí)遺忘規(guī)律”總結(jié)為“知識(shí)記憶的指數(shù)衰減律” 。于是得到下面兩個(gè)公式，第一個(gè)公式是
y＝A exp(－kt)，
我想把它稱(chēng)為“龔氏第一公式” ，具體地說(shuō)就是“復(fù)習(xí)記憶公式” ，其中A為初始學(xué)習(xí)量，t為時(shí)間，正數(shù)k就是復(fù)習(xí)記憶系數(shù)，y為時(shí)刻t的即時(shí)記憶量．
那么我們的復(fù)習(xí)就是在做系數(shù)k的修正工作，反復(fù)的復(fù)習(xí)可以把系數(shù)k改變成為一個(gè)很小的正數(shù)，從而達(dá)到最好的記憶效果。在k=0的極端情況下，記憶就會(huì)被“鎖住”而成為所謂的“永久記憶” 。
由于我們?cè)趶?fù)習(xí)的同時(shí)，或在復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，還在不間斷地學(xué)習(xí)著新的知識(shí)，所以反復(fù)的滾動(dòng)復(fù)習(xí)所起的效果就是知識(shí)的積累。我們可以把這個(gè)意思寫(xiě)成第二個(gè)公式
Y＝y(tǒng)1＋y2＋y3＋．．．＋yn
＝A1 exp(－k1 t)＋A2 exp(－k2 t)＋A3 exp(－k3 t)＋．．．＋An exp(－kn t)
這個(gè)公式可以稱(chēng)為“龔氏第二公式”，也稱(chēng)為“溫故知新公式”或“知識(shí)積累公式” 。
如果你在任何時(shí)刻的復(fù)習(xí)都能夠做得如此的精心，那么兩年以后的考研復(fù)習(xí)時(shí)，就只要在你的“記憶庫(kù)”中進(jìn)行輕松的搜索、回顧就可以了。
古代孔圣人曰“學(xué)而時(shí)習(xí)之，不亦說(shuō)乎！”
現(xiàn)代世俗人謂“曲不離口，越唱越靈；拳不離手，越打越精” 。
三．作業(yè)，要肯下苦心
作業(yè)是復(fù)習(xí)的一個(gè)組成部分，不做作業(yè)的復(fù)習(xí)是虛空復(fù)習(xí)，不復(fù)習(xí)而做的作業(yè)是低效作業(yè)?？磿?shū)、看筆記、做作業(yè)，當(dāng)然需要有先、后的次序，但是適當(dāng)?shù)亟惶孢M(jìn)行會(huì)更有實(shí)效。
如果說(shuō)做好預(yù)習(xí)是提高課堂聽(tīng)課效率的充分條件，那么及時(shí)完成好作業(yè)就是讀好高等數(shù)學(xué)的必要條件。
老師所布置的作業(yè)是最低量作業(yè)要求，如果完成這些作業(yè)后還找不到明顯的感覺(jué)，就應(yīng)該適當(dāng)?shù)丶哟笞约旱淖鳂I(yè)量。
作業(yè)是為自己作的，抄作業(yè)實(shí)際上被欺騙的是自己。
老師批過(guò)的作業(yè)一定要認(rèn)真仔細(xì)地看，這不僅是對(duì)老師辛勤勞動(dòng)的尊重，更是糾正自己的錯(cuò)誤，以免重犯的絕好方法。
由于多數(shù)作業(yè)本是由助教批閱的，或許有批錯(cuò)的地方，另外還可能有對(duì)老師在作業(yè)本上的批語(yǔ)沒(méi)全搞明白的地方，必須及時(shí)問(wèn)老師。
四. 答疑，解決問(wèn)題不過(guò)夜
學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)過(guò)程中，必然會(huì)有各種疑問(wèn)。思考越深，疑問(wèn)越多。有疑問(wèn)是好事，攻克的問(wèn)題無(wú)論大小，積累起來(lái)就是“學(xué)問(wèn)”。不思無(wú)問(wèn)，就是瞎混混。到頭來(lái)，且不說(shuō)一事無(wú)成，就是想涉險(xiǎn)過(guò)關(guān)，也許沒(méi)那么僥幸。
學(xué)習(xí)要有憤悱意識(shí)，不憤不啟、不悱不發(fā)，自己發(fā)問(wèn)、自己回答?！摆に伎嘞搿敝碌摹盎砣婚_(kāi)朗”，那才真叫是“其樂(lè)無(wú)窮”。當(dāng)然這是理想境界，可遇也可求，但是不強(qiáng)求。
我們的功課門(mén)數(shù)很多，而精力很有限，不能全都化在高等數(shù)學(xué)一門(mén)功課上。
“冥思苦想”也不能死耗時(shí)間，自己想不明白，再問(wèn)同窗學(xué)友。互相切磋，集思廣益。每個(gè)人有不同的亮點(diǎn)，一旦互相發(fā)生碰撞，興許就會(huì)產(chǎn)生絢麗的火花，三個(gè)“臭皮匠”賽過(guò)一個(gè)諸葛亮嘛！
為學(xué)生釋疑解難是老師的天職，我們學(xué)校里每天都安排老師值班答疑（固定時(shí)間，固定地點(diǎn)），這是你應(yīng)該充分利用的寶貴資源。只要是教高數(shù)的，隨便遇到那個(gè)老師都可以問(wèn)，
答疑時(shí)，不要總希望老師把問(wèn)題的解答向你和盤(pán)托出。而那些只給你以適當(dāng)提示和啟發(fā)，讓你自己繼續(xù)思考的老師絕對(duì)是個(gè)好老師。如果你認(rèn)為這樣的老師不夠熱心，那你就錯(cuò)了。
這時(shí)候，反倒需要你要有足夠的耐心，認(rèn)真地按照老師指點(diǎn)，去動(dòng)手演算一下。如果在經(jīng)過(guò)老師點(diǎn)撥后，你真的懂了，那當(dāng)然是最好。否則，就要窮追猛打，徹底弄懂。沒(méi)有搞懂就是沒(méi)有搞懂，不要不好意思多問(wèn)，不要擔(dān)心老師會(huì)不耐煩。老師一定會(huì)給你第二步引導(dǎo)，第三次啟發(fā)。直到完全弄懂為止。
如果你來(lái)我這里答疑，我常常會(huì)對(duì)“表示已經(jīng)搞懂的”學(xué)生提出這樣的要求“你真懂了嗎？你來(lái)給我講一遍”。
五. 課外閱讀，看書(shū)有選擇
工科學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)要求還是很基本的，考試也不會(huì)偏、難、怪。個(gè)人認(rèn)為：如果你沒(méi)有特殊要求，就沒(méi)必要去博覽群書(shū)、廣采泛擷。認(rèn)真研讀兩本三本高數(shù)的教學(xué)輔導(dǎo)書(shū)就非常足夠了。
?。ㄒ唬┙滩念?lèi)的書(shū)，沒(méi)有必要多研究。
國(guó)內(nèi)各校教材，雖然各有特色，但都是依據(jù)統(tǒng)一的教學(xué)大綱編寫(xiě)，圍繞的重點(diǎn)也完全相同。
有些名牌大學(xué)教改步子特別大，壓縮了大綱內(nèi)的很多基本東西，編入了許多大綱外的東西，例如微分幾何的內(nèi)容、運(yùn)籌學(xué)的原理、還有數(shù)值計(jì)算的方法。本人認(rèn)為根本沒(méi)有必要讀這些書(shū)。除了你所在學(xué)校的指定教材外，別的教材都不要去分析比較了；
?。ǘ┙虒W(xué)輔導(dǎo)書(shū)要有選擇地讀，有指導(dǎo)地讀。
不少高數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(shū)，用了大量的篇幅去講解所謂的重點(diǎn)、難點(diǎn)，在我看來(lái)只是教材簡(jiǎn)單的重復(fù)、羅列；
還有一些學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(shū)，做了很多所謂知識(shí)的圖表化、網(wǎng)絡(luò)化、程序化。在有些作者看來(lái)，編得太簡(jiǎn)單似乎體現(xiàn)不出他的新意；而在我看來(lái)，去看編得那么復(fù)雜的書(shū)，真讓人好像感到進(jìn)入了一個(gè)高等數(shù)學(xué)的迷宮一樣。
靠它，我們?cè)趺茨軐W(xué)得好高等數(shù)學(xué)。而當(dāng)你學(xué)好了本課程后，可以發(fā)現(xiàn)這些“知識(shí)圖表化、網(wǎng)絡(luò)化、程序化”是極為簡(jiǎn)單，應(yīng)該完全可以由學(xué)生自己動(dòng)手來(lái)編寫(xiě)。
還有不少輔導(dǎo)書(shū)很講究解題技巧，但很少講技巧的來(lái)龍去脈。看這種書(shū)就好象看魔術(shù)，除了讓你感嘆、驚奇之外，對(duì)初學(xué)者幫助也不大。
各種五花八門(mén)的高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料與習(xí)題集目前是最受歡迎的。但是當(dāng)大家拿到這一種書(shū)時(shí)，要請(qǐng)注意若缺少對(duì)典型例題的深入剖析，沒(méi)有足夠數(shù)量的例題供揣摩，對(duì)學(xué)生也無(wú)多大益處。
（三）少而精，學(xué)到手。
有人剛開(kāi)學(xué)，買(mǎi)書(shū)很積極，一大摞一大摞的買(mǎi)。當(dāng)然其中有些人基礎(chǔ)可能特別好，精力可能特別充沛，一本接著一本地讀。咱們基礎(chǔ)一般或較差的，不要去和他們攀比，也跟著去買(mǎi)很多書(shū)。
讀數(shù)學(xué)書(shū)是得邊看邊仔細(xì)思考的，怎能像看小說(shuō)那樣一頁(yè)一頁(yè)地快速翻、一本一本地連著讀。
有需要才去買(mǎi)，買(mǎi)了就認(rèn)真看，不要把它作為收藏品。用不著包什么花花綠綠的封皮。把涂塑的封面都翻爛了，才算是真有本事。對(duì)于“工科學(xué)生學(xué)高等數(shù)學(xué)”來(lái)說(shuō)，我看只要能“讀破兩本書(shū)”，基本上也就能“知識(shí)滿(mǎn)肚皮”了。
在這里，我們對(duì)別人編寫(xiě)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)參考書(shū)不作什么具體的評(píng)價(jià)了。因?yàn)?，多年?lái)我們利用教研室集體的力量，就寫(xiě)有多本有關(guān)的高等數(shù)學(xué)的教學(xué)參考書(shū)。這就是由我們集體編寫(xiě)的，由龔成通老師主要負(fù)責(zé)的：
1．《高等數(shù)學(xué)起跑第一步》
適合中學(xué)里沒(méi)有學(xué)過(guò)“有理函數(shù)分解、極坐標(biāo)、復(fù)數(shù)的歐拉公式、．．．”等內(nèi)容的學(xué)生，大學(xué)數(shù)學(xué)老師講課時(shí)，都不會(huì)再講這些屬于《中學(xué)數(shù)學(xué)》的教學(xué)內(nèi)容。
本書(shū)的起點(diǎn)較低，適合初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不是很好的同學(xué)。
2．《高等數(shù)學(xué)例題與習(xí)題》
本書(shū)對(duì)大量典型例題進(jìn)行深入剖析，著重點(diǎn)不在解題方法的技巧上，而是著重于（1）教會(huì)你“怎么樣去找到”一個(gè)比較好的方法；（2）做完習(xí)題后有應(yīng)該怎么樣去進(jìn)行歸納小結(jié)。
本書(shū)例題和練習(xí)題起點(diǎn)略高，一般問(wèn)題都要至少結(jié)合到兩個(gè)基本概念和兩種基本運(yùn)算，但是有一個(gè)鮮明的特點(diǎn)：就是例題分析詳略得當(dāng)，不強(qiáng)調(diào)技巧，而強(qiáng)調(diào)方法的來(lái)龍去脈。
3．《大學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題精講》
屬于提高性質(zhì)。適合對(duì)象“大一高數(shù)希望考滿(mǎn)分，大四考研希望能通過(guò)”的同學(xué)（向一年級(jí)新生做特別說(shuō)明：本書(shū)不是根據(jù)教學(xué)大綱編寫(xiě)，而是根據(jù)考研大綱編寫(xiě)。根據(jù)考研試題特點(diǎn)，本書(shū)在內(nèi)容及方法上具有前后交叉滲透特點(diǎn)）。
六．預(yù)習(xí)，能充分提高聽(tīng)課效率
做好預(yù)習(xí)是學(xué)好高等數(shù)學(xué)課程的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。預(yù)習(xí)能充分提高課堂聽(tīng)課效率、良好的預(yù)習(xí)習(xí)慣能夠?yàn)樘岣邔?lái)的自學(xué)能力打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。
學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的感受是：“上課聽(tīng)得懂，作業(yè)做不來(lái)”。說(shuō)到底，還是上課沒(méi)真懂，而其因素之一可能是沒(méi)有認(rèn)真預(yù)習(xí)。
對(duì)于預(yù)習(xí)，大家都覺(jué)得特別累，既費(fèi)時(shí)間，又達(dá)不到很好的效果（也就是所謂的“事倍功半”）。這是因?yàn)榇蠹覍?duì)預(yù)習(xí)的“要求”沒(méi)掌握好，把預(yù)習(xí)當(dāng)作了自學(xué)。實(shí)際上預(yù)習(xí)與自學(xué)是兩個(gè)不同概念。
下面就具體談?wù)劯叩葦?shù)學(xué)課程的預(yù)習(xí)要求。
首先預(yù)習(xí)內(nèi)容不要太多，根據(jù)老師的教學(xué)進(jìn)度表，只要把下一次的教學(xué)內(nèi)容預(yù)習(xí)一下就行了。太多了理解不了，也難于消化。
其次掌握好精略得當(dāng)。
對(duì)于較淺顯的內(nèi)容，預(yù)習(xí)時(shí)可以看得細(xì)一點(diǎn)，思考得深一點(diǎn)。
通過(guò)預(yù)習(xí)能看懂或基本理解當(dāng)然是最好，但是一般說(shuō)來(lái)老師的理解會(huì)比你更深刻、更全面。你再在課堂里仔細(xì)聽(tīng)聽(tīng)老師的分析、老師的理解，他能幫你產(chǎn)生認(rèn)識(shí)上的一個(gè)“疊加”或“倍增”甚至是“飛躍”。
高等數(shù)學(xué)的不少內(nèi)容是比較艱深的，對(duì)于這些內(nèi)容你可以看得略微粗一點(diǎn)，思考得淺一點(diǎn)。即便如此，恐怕也要硬著頭皮把一個(gè)完整的內(nèi)容看完。
最后告訴你預(yù)習(xí)的與聽(tīng)課效率的關(guān)系。
預(yù)習(xí)的要求，本來(lái)就沒(méi)有要求你能全部都能搞懂，“模模糊糊、似懂非懂”應(yīng)該是屬于很正常的現(xiàn)象。
對(duì)于“似懂”之處，課堂上老師會(huì)幫你把模糊的影子變成清晰的形象，會(huì)使你的認(rèn)識(shí)得到“糾正”、“補(bǔ)充”，變“似懂”為“真懂”；
而對(duì)于“非懂”之處，在課堂上你一定會(huì)聽(tīng)得更認(rèn)真、更仔細(xì)。
有些同學(xué)覺(jué)得高等數(shù)學(xué)課堂上記筆記抓不住要點(diǎn)。那么請(qǐng)你試試看，加強(qiáng)預(yù)習(xí)以后，這個(gè)感覺(jué)會(huì)不會(huì)得到改善。
預(yù)習(xí)與聽(tīng)課效率之間的關(guān)系是不容置疑的，預(yù)習(xí)后的聽(tīng)課收獲與感悟和未經(jīng)預(yù)習(xí)的情況不可同日而語(yǔ)。
高等數(shù)學(xué)的教學(xué)進(jìn)度是非?？斓?，每節(jié)課上要學(xué)的內(nèi)容多非常多。如果沒(méi)有經(jīng)過(guò)預(yù)習(xí)，要想跟上進(jìn)度確實(shí)不是很容易的。
不可否認(rèn)，也有不少同學(xué)覺(jué)得不經(jīng)過(guò)預(yù)習(xí)，高等數(shù)學(xué)也能學(xué)得蠻好。但是，我想反問(wèn)一個(gè)問(wèn)題“如果你預(yù)習(xí)工作做好了，是不是有可能把高等數(shù)學(xué)這門(mén)課程學(xué)得更好呢？”
其實(shí)，從近期看，預(yù)習(xí)可以提高聽(tīng)課效率。從遠(yuǎn)期看，養(yǎng)成良好的預(yù)習(xí)習(xí)慣，可以為將來(lái)自我獲取新知識(shí)（自學(xué)）能力打下良好的基礎(chǔ)。
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