前幾天，老黃鬧笑話了，竟把2022年高考數(shù)學(xué)全國乙卷理科的選做題當(dāng)成了壓軸題，真是丟臉！還不小心暴露了自己小學(xué)數(shù)學(xué)教師的身份。引來網(wǎng)友們一片鄙視，好尷尬！不知道何時(shí)學(xué)術(shù)界就開始劃分階級(jí)了，中小學(xué)老師不能解高中數(shù)學(xué)問題，更不能鉆研高等數(shù)學(xué)，否則就可恥之極似的。不過老黃可不管這些，“依然 故我”是老黃的風(fēng)格。這回要跟大家分享一下另一道選做題的小學(xué)數(shù)學(xué)老師的解法。
在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為{x=根號(hào)3 cos2t, y=2sint} (t為參數(shù)).
以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+π/3)+m=0.
(1)寫出l的直角坐標(biāo)方程；
(2)若l與C有公共點(diǎn)，求m的取值范圍.
分析：這是一道關(guān)聯(lián)了參量方程，極坐標(biāo)方程，直角坐標(biāo)系方程的問題。很明顯的，解題的大體方向，肯定是要將參量方程和極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)系方程。對(duì)于直角坐標(biāo)系方程，老黃了解大約1%. 高中以下的部分，可以了解90%以上，這也是老黃唯一的“傲驕”。對(duì)參量方程，老黃大約能了解億分之一，高中以下部分，可以了解60%以上，主要是高中階段關(guān)于參量方程的內(nèi)容實(shí)在太少。關(guān)于極坐標(biāo)方程，老黃了解的知識(shí)完全可以忽略不計(jì)，只有一個(gè)極其模糊的概念。在這種情況下，老黃依然能把這個(gè)問題解決掉?？梢娺@個(gè)問題實(shí)在是簡(jiǎn)單到不能再簡(jiǎn)單了。
(1)老黃能根據(jù)直角坐標(biāo)系的知識(shí)，快速判斷在極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)系方程的轉(zhuǎn)換方程中，存在y=ρsinθ，x=ρcosθ的關(guān)系，這就是解題的突破點(diǎn)。其實(shí)老黃近期應(yīng)該是寫過一篇關(guān)于極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)系方程之間的轉(zhuǎn)換規(guī)律的作品的。不過老黃似乎有早期老年癡呆的跡象，現(xiàn)在最多只有1%的印象了。
(2)老黃用初中就常用的代入法，就可以把參量方程化為直角坐標(biāo)系方程，根本不需要任何高中知識(shí)做支持。然后就用到初三“根據(jù)判別式，求二次方程根的情況”的知識(shí)了。這個(gè)知識(shí)可不局限于二次方程和二次函數(shù)，萬變不離其宗，只要能轉(zhuǎn)換成二次方程形式的問題，基本上都是適合的。
這道題真正的難度來自，一定要考慮C的定義域(或值域)，這一點(diǎn)非常容易被忽略。而且最后的確存在一個(gè)難點(diǎn)。
解：(1)ρsin(θ+π/3)+m=ρsinθcos(π/3)+ρcosθsin(π/3)+m=ρsinθ/2+根號(hào)3 ρcosθ+m,
∴l(xiāng)的直角坐標(biāo)方程為：y/2+根號(hào)3 x/2+m=0. 【或y+根號(hào)3 x+2m=0】
(2)x=根號(hào)3 cos2t=根號(hào)3 (1-2(sint)^2)=根號(hào)3 (1-y^2/2), (-2≤y≤2)【這里選擇y的取值范圍】
當(dāng)y/2+3(1-y^2/2)/2+m=0, 即3y^2-2y-4m-6=0時(shí)，【列l(wèi)和C的交點(diǎn)方程】
由△=4+12(4m+6)≥0，得m≥-19/12.
又-2≤((2-2根號(hào)(12m+19))/6)≤2，或-2≤((2+2根號(hào)(12m+19))/6)≤2，【即兩個(gè)交點(diǎn)至少保證有一個(gè)在定義域上，而且這一點(diǎn)的結(jié)果取的是并集，不是交集，得到并集后，再與上面的取交集】
解得：m≤5/2或m≤1/2,
綜上，m的取值范圍為：-19/12≤m≤5/2.
圖像不需要作出來，只是給大家作一個(gè)參考，了解其中的道理。
這道題不過癮，下次老黃再跟大家分析一下這張卷子真正的壓軸題。老黃上面說了很多話，可能有些人看了會(huì)不高興。老黃希望大家能更多地把精力放在知識(shí)本身上。世界上的任何東西，正確的人看到的都是正確的，錯(cuò)誤的人看到的都是錯(cuò)誤的。包括老黃上面講的那些話，看似廢話，其實(shí)都有老黃想講的意思包含在里面。正確的人自然會(huì)明白老黃想說什么的。
聯(lián)系客服
