2022高考數(shù)學理科乙卷的壓軸題太過份了，竟然要運用到三階導(dǎo)數(shù)。不僅如此，還要運用到極限的思想，這不僅是超綱，都快超出銀河系了，連老黃吹牛的速度都趕不上了。常規(guī)分析完這道題，老黃還會提供一種非常另類的獨創(chuàng)解法，能看懂這種解法的，都是學霸中的學霸。老黃是個糟老頭子，已經(jīng)沒有資格去評選學霸了，所以老黃并非“王婆”！
已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)+axe^(-x).
(1)當a=1時，求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；
(2)若f(x)在區(qū)間(-1,0), (0,+∞)各恰有一個零點，求a的取值范圍.
分析：(1)不論題目有多難，第一小題永遠是送分的。求x=0處的導(dǎo)數(shù)，就是切線斜率，然后求x=0的函數(shù)值，得到切點坐標。有斜率，有一點坐標，運用點斜式就有切線方程。而且這道題的切點還是原點，只要有斜率就搞定了。這么容易的問題，和第二小題形成鮮明的對比。
(2)其實如果第(1)小題的圖像畫出來，就能得到一些啟發(fā)。
上圖是當a=1時的圖像，因此我們可以猜想，當a大于0時，函數(shù)可能在兩個區(qū)間都沒有零點，事實上，我們只需挑選容易證明的一側(cè)區(qū)間來檢驗就可以了。而且當a=0時，也屬于這種情形。
由第一種情形，我們又可以得到啟發(fā)，只要找一些特殊值，作出草圖，大約就可以推出a的取值范圍了。整個過程就像在摸蝦一般。下圖是當a在[-1,0)上時的情形：
可以看到，在這種情形下，雖然在左邊的區(qū)間有唯一的零點，但在右邊的區(qū)間仍不存在零點。因此繼續(xù)把a取得更小。下圖是當a小于-1時的情形：
現(xiàn)在我們就大概找到答案了，猜想答案就是a小于-1. 把解答題轉(zhuǎn)化成證明題。否則想通過運算直接得到結(jié)果，就只能用老黃獨創(chuàng)的方法了。不過想要證明，可真不容易哦。下面組織解題過程，在解題過程中為大家分析：
解：(1)當a=1時, f’(x)=1/(1+x)+(1-x)e^(-x),
f’(0)=2, f(0)=0，即切點為原點. ∴切線方程為：y=2x.
(2)f’(x)=1/(1+x)+a(1-x)/e^x=(e^x+a(1-x^2))/(e^x(1+x)), 【使分母大于0，因此只要分析分子的情形就可以了，這是非常常用的方法】
I.若a大于等于0, 則在(-1,0)上有f’(x)>0, f(x)單調(diào)增, 并且 f(x)<f(0)=0, 舍去!【由于“a加不等號”容易被判為敏感詞，所以這里關(guān)于a的不等式全部改用文字說明】
記：g(x)=e^x+a(1-x^2), 則g’(x)=e^x-2ax, 【這其實就用到二階導(dǎo)數(shù)了】
II.若-1小于等于a小于0，則在(0,+∞)上, g’(x)>0, g單調(diào)增，
g(x)>1+a大于0, 即f’(x)>0, 并且 f(x)>f(0)=0, 舍去! 【前面都分析過了，還算比較簡單。接下來才是重頭戲 ，要分別證明當a小于-1時，在兩個區(qū)間上都有唯一的零點】
III.若a小于-1, 則在(0,+∞)上有g(shù)’(x)>1, g單調(diào)增，
又有g(shù)(0)=1+a小于0, g(1)=e>0, ∴存在m∈(0,1), 使得g(m)=0, 【這是第一次取分點，后面還會連續(xù)用到，最后還有一個取分區(qū)間中再次一次分點，燒腦得不要不要的】
在(m,+∞)上, f(x)單調(diào)增, 且f(e^(-a))=ln(1+e^(-a))+axe^(-e^(-a))>-a+ae^(-e^(-a-e^(-a)))>0,【參考答案直接給：當x->+∞時，f(x)->+∞，但似乎極限有點超綱，所以老黃這里選擇一個特殊值來證明，不過這個方法真的很難，后面還要再用一次】
此時f在(0,+∞)上有唯一零點. 【證明了右區(qū)間，接下來證明左區(qū)間成立】
在(-1,0), 記：h(x)=g’(x), 則h’(x)=e^x-2a大于0, g’(x)單調(diào)增, 【這其實用到三階導(dǎo)數(shù)了】
g’(-1)=e^(-1)+2a小于0, g’(0)=1>0, ∴存在n∈(-1,0), 使g’(n)=0,【第二次用到分點】
在(n,0)上, g(x)單調(diào)增, 并且 g(x)<g(0)=1+a小于0,
在(-1,n)上, g(x)單調(diào)減, 并且 g(x)<g(-1)=e^(-1), 可知在t∈(-1,n), 使得 g(t)=0, 【這是在分區(qū)內(nèi)再取一次分點】
在(t,0)上, f(x)單調(diào)減，且f(x)>0,
在(-1,t)上, f(x)單調(diào)增，且f(e^a-1)=a-a(e^a-1)e^(-e^a+1)=a(1+(1-e^a)e^(1-e^a))<0，【參考答案直接就說：當x->-1時, f(x)->-∞. 老黃找特殊值證明，就是挺麻煩的】
即f在(-1,0)上有唯一零點.
綜上, a的取值范圍為(-∞,-1).
這個老黃修改過的標準參考答案能看懂，已經(jīng)是學霸了。下面老黃要分享獨創(chuàng)的方法，能看懂的，是學霸中的學霸！(只寫第二小題的解法)
另類解法：(2)記：g(a)=ln(1+x)+axe^(-x)，【把它看作關(guān)于a的一次函數(shù)】，
當g(a)=0時，a(x)=-e^xln(1+x)/x. 【把a化成關(guān)于x的函數(shù)】
a’(x)=e^x((1-x^2)ln(1+x)-x)/(x^2(1+x)),
記h(x)=(1-x^2)ln(1+x)-x，則h’(x)=-2xln(1+x)-x=-x(2ln(1+x)+1),【躲不過還是要用到二階導(dǎo)數(shù)】
在(0,+∞)上, h’(x)<0, h單調(diào)減，∴h(x)<0, 從而a’(x)<0, a單調(diào)減, 【這說明在這個區(qū)間上，f(x)有唯一零點. 因為一個a對應(yīng)一個x，使f(x)=0】
在(-1,0)上, 求得h(x)存在唯一的極大值點x=e^(-1/2)-1=b.【此處省略一百字，不是寫不出來，而是實在沒有什么必要，難道老黃算錯了嗎？記為b，是為了后面描述方便】
h(x)≤h(b)=e^(-1)/2-2e^(-1/2)+1=(e^(-1)-2)^2/2-1,
又h(b)>(1/3-2)^2/2-1=7/18>0, h(0)=0, ∴a(x)在[b,0)上單調(diào)增,
由x→-1^+時, a(x)→-∞, 知a(x)在(-1,b]上有極大值點c, 【因為h在(c,b)上仍大于0，而在(-1,c)上小于0，這是h的單調(diào)性決定的】
且當x→0時, a(x)→-1, ∴a(c)>-1, 【這其實是a的連續(xù)性決定的，這就決定了，在(c,0)的區(qū)間上有兩個a值，對應(yīng)同一個x，使f(x)=0，因此這個區(qū)間要排除】
∴a的取值范圍為a小于-1. 【因為當a小于-1時，a(x)在兩個區(qū)間上都單調(diào)，保證一個a在兩個區(qū)間上都只有一個x與之對應(yīng)，使f(x)=0都是唯一的】
老黃這個方法雖然也挺麻煩，但是感覺比參考答案還是要簡便不少的。不過如果老黃在考場上也無法完成這種無法，完成了，我怕批卷的老師也看不懂。您覺得呢？
