相關(guān)概念三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)英文讀音音標(biāo)

余弦：cosine（簡(jiǎn)寫(xiě)cos）[k?usain]

余矢：versed cosine（簡(jiǎn)寫(xiě)vercos）['v?:s?:d][k?usain]

直角三角函數(shù)

直角三角函數(shù) （∠α是銳角）

三角關(guān)系

倒數(shù)關(guān)系：

商的關(guān)系：

平方關(guān)系：

三角函數(shù)看似很多，很復(fù)雜，但只要掌握了三角函數(shù)的本質(zhì)及內(nèi)部規(guī)律就會(huì)發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)各個(gè)公式之間有強(qiáng)大的聯(lián)系。而掌握三角函數(shù)的內(nèi)部規(guī)律及本質(zhì)也是學(xué)好三角函數(shù)的關(guān)鍵所在。

三角函數(shù)本質(zhì)：

根據(jù)三角函數(shù)定義推導(dǎo)公式根據(jù)右圖，有

sinθ=y/ r; cosθ=x/r; tanθ=y/x; cotθ=x/y

深刻理解了這一點(diǎn)，下面所有的三角公式都可以從這里出發(fā)推導(dǎo)出來(lái)，比如以推導(dǎo)

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 為例：

推導(dǎo)：

首先畫(huà)單位圓交X軸于C，D，在單位圓上有任意A，B點(diǎn)。角AOD為α，BOD為β，旋轉(zhuǎn)AOB使OB與OD重合，形成新A'OD。

A(cosα，sinα），B(cosβ，sinβ），A'(cos（α-β），sin（α-β））

OA'=OA=OB=OD=1,D（1,0)

∴[cos（α-β）-1]^2+[sin（α-β）]^2=(cosα-cosβ）^2+(sinα-sinβ）^2

和差化積及積化和差用還原法結(jié)合上面公式可推出（換（a+b)/2與（a-b)/2）

單位圓定義

單位圓

六個(gè)三角函數(shù)也可以依據(jù)半徑為一中心為原點(diǎn)的單位圓來(lái)定義。單位圓定義在實(shí)際計(jì)算上沒(méi)有大的價(jià)值；實(shí)際上對(duì)多數(shù)角它都依賴(lài)于直角三角形。但是單位圓定義的確允許三角函數(shù)對(duì)所有正數(shù)和負(fù)數(shù)輻角都有定義，而不只是對(duì)于在 0 和 π/2弧度之間的角。它也提供了一個(gè)圖象，把所有重要的三角函數(shù)都包含了。根據(jù)勾股定理，單位圓的等式是：x^2+y^2=1

圖象中給出了用弧度度量的一些常見(jiàn)的角。逆時(shí)針?lè)较虻亩攘渴钦?，而順時(shí)針的度量是負(fù)角。設(shè)一個(gè)過(guò)原點(diǎn)的線(xiàn)，同x軸正半部分得到一個(gè)角θ，并與單位圓相交。這個(gè)交點(diǎn)的x和y坐標(biāo)分別等于 cosθ和 sinθ。圖象中的三角形確保了這個(gè)公式；半徑等于斜邊且長(zhǎng)度為1，所以有 sinθ=y/1 和 cosθ=x/1。單位圓可以被視為是通過(guò)改變鄰邊和對(duì)邊的長(zhǎng)度，但保持斜邊等于 1的一種查看無(wú)限個(gè)三角形的方式。

sin30°=1/2

sin45°=√2/2

sin60°=√3/2

cos30°=√3/2

cos45°=√2/2

cos60°=1/2

tan30°=√3/3

tan45°=1

tan60°=√3[1]

cot30°=√3

cot45°=1

cot60°=√3/3

sin15°=（√6-√2）/4

sin75°=（√6+√2）/4

cos15°=（√6+√2）/4

cos75°=（√6-√2）/4（這四個(gè)可根據(jù)sin（45°±30°）=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出）

sin18°=(√5-1)/4 (這個(gè)值在高中競(jìng)賽和自招中會(huì)比較有用，即黃金分割的一半)

正弦定理：在△ABC中，a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

其中，R為△ABC的外接圓的半徑。

余弦定理：在△ABC中，b^2 = a^2 + c^2 - 2ac·cos θ。

其中，θ為邊a與邊c的夾角。

三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（六公式）

公式一：　

sin(α+k*2π)=sinα

cos(α+k*2π)=cosα

tan(α+k*2π)=tanα

公式二：

sin(π+α) = -sinα

cos(π+α) = -cosα

tan(π+α）=tanα

公式三：

sin(-α) = -sinα

cos(-α) = cosα

tan (-α)=-tanα

公式四：

sin(π-α) = sinα

cos(π-α) = -cosα

tan(π-α) =-tanα

公式五：

sin(π/2-α) = cosα

cos(π/2-α) =sinα

由于π/2+α=π-（π/2-α），由公式四和公式五可得

公式六：

sin(π/2+α) = cosα

cos(π/2+α) = -sinα

誘導(dǎo)公式 記背訣竅：奇變偶不變，符號(hào)看象限。

三角和公式

sin（α+β+γ）=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos（α+β+γ）=cosα·cosβ·coscγ-osα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan（α+β+γ）=（tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ）/（1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanα·tanγ）

（α+β+γ≠π/2+2kπ，α、β、γ≠π/2+2kπ）

積化和差的四個(gè)公式

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

和差化積的四個(gè)公式：

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

sin（3a)→3sina-4sin^3a

=sin(a+2a)

=sin2acosa+cos2asina

=2sina（1-sin^2a)+（1-2sin^2a)sina

=3sina-4sin^3a

cos3a→（2cos^2a-1）cosa-2（1-cos^2a)cosa

=cos（2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=（2cos^2a-1）cosa-2（1-cos^2a)cosa

=4cos^3a-3cosa

sin3a→4sinasin（60°+a)sin（60°-a)

=3sina-4sin^3a

=4sina（3/4-sin^2a)

=4sina[（√3/2）-sina][（√3/2）+sina]

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[（60+a)/2]cos[（60°-a)/2]*2sin[（60°-a)/2]cos[（60°+a)/2]

=4sinasin（60°+a)sin（60°-a)

cos3a→4cosacos（60°-a)cos（60°+a)

=4cos^3a-3cosa

=4cosa(cos^2a-3/4）

=4cosa[cos^2a-（√3/2）^2]

=4cosa(cosa-cos30°）(cosa+cos30°）

=4cosa*2cos[(a+30°）/2]cos[(a-30°）/2]*{-2sin[(a+30°）/2]sin[(a-30°）/2]}

=-4cosasin(a+30°）sin(a-30°）

=-4cosasin[90°-（60°-a)]sin[-90°+（60°+a)]

=-4cosacos（60°-a)[-cos（60°+a)]

=4cosacos（60°-a)cos（60°+a)

tan3a→tanatan（60°-a)tan（60°+a)

上述兩式相比可得

tan3a=tanatan（60°-a)tan（60°+a)

三倍角

sin3α=3sinα-4sin^3 α=4sinα·sin（π/3+α）sin（π/3-α）

cos3α=4cos^3 α-3cosα=4cosα·cos（π/3+α）cos（π/3-α）

tan3α=tan（α）*(-3+tan（α）^2）/(-1+3*tan（α）^2）=tan a · tan（π/3+a）· tan（π/3-a)

其他多倍角

四倍角

sin4A=-4*(cosA*sinA*（2*sinA^2-1））

cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4）

tan4A=（4*tanA-4*tanA^3）/（1-6*tanA^2+tanA^4）

五倍角

sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA

cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA

tan5A=tanA*（5-10*tanA^2+tanA^4）/（1-10*tanA^2+5*tanA^4）

六倍角

sin6A=2*(cosA*sinA*（2*sinA+1）*（2*sinA-1）*(-3+4*sinA^2））

cos6A=(-1+2*cosA)*（16*cosA^4-16*cosA^2+1）

tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5）/(-1+15*tanA-15*tanA^4+tanA^6）

七倍角

sin7A=-(sinA*（56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6））

cos7A=(cosA*（56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7））

tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6）/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6）

八倍角

sin8A=-8*(cosA*sinA*（2*sinA^2-1）*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1））

cos8A=1+（160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2）

tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6）/（1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8）

九倍角

sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2）*（64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3））

cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2）*（64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3））

tan9A=tanA*（9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8）/（1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8）

十倍角

sin10A = 2*(cosA*sinA*（4*sinA^2+2*sinA-1）*（4*sinA^2-2*sinA-1）*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4））

cos10A = ((-1+2*cosA^2）*（256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1））

tan10A = -2*tanA*（5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8）/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10）

N倍角

根據(jù)棣莫弗定理，（cosθ+ i sinθ）^n = cos(nθ）+ i sin(nθ）

為方便描述，令sinθ=s，cosθ=c

考慮n為正整數(shù)的情形：

cos(nθ）+ i sin(nθ） = (c+ i s)^n = C(n,0)*c^n + C(n,2）*c^(n-2）*(i s)^2 + C(n,4）*c^(n- 4）*(i s)^4 + ... …+C(n,1）*c^(n-1）*(i s)^1 + C(n,3）*c^(n-3）*(i s)^3 + C(n,5）*c^(n-5）*(i s)^5 + ... …=>；比較兩邊的實(shí)部與虛部

實(shí)部：cos(nθ）=C(n,0)*c^n + C(n,2）*c^(n-2）*(i s)^2 + C(n,4）*c^(n-4）*(i s)^4 + ... …i*

虛部：i*sin(nθ）=C(n,1）*c^(n-1）*(i s)^1 + C(n,3）*c^(n-3）*(i s)^3 + C(n,5）*c^(n-5）*(i s)^5 + ... …

對(duì)所有的自然數(shù)n：

⒈cos(nθ）：

公式中出現(xiàn)的s都是偶次方，而s^2=1-c^2（平方關(guān)系），因此全部都可以改成以c（也就是cosθ）表示。

⒉sin(nθ）：

⑴當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)：公式中出現(xiàn)的c都是偶次方，而c^2=1-s^2（平方關(guān)系），因此全部都可以改成以s（也 就是sinθ）表示。

⑵當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)：公式中出現(xiàn)的c都是奇次方，而c^2=1-s^2（平方關(guān)系），因此即使再怎么換成s，都至少會(huì)剩c（也就是 cosθ）的一次方無(wú)法消掉。

例. c^3=c*c^2=c*（1-s^2），c^5=c*(c^2）^2=c*（1-s^2）^2）

特殊公式

（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）

證明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[（θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[（θ+a)/2] sin[(a-θ）/2]

=sin（a+θ）*sin（a-θ）

我們通常把坡面的垂直高度h與水平寬度l的比叫做坡度（也叫坡比）， 用字母i表示，

即i=h / l,坡度的一般形式寫(xiě)成l : m形式，如i=1:5.如果把坡面與水平面的夾角記作

a（叫做坡角），那么i=h/l=tan a.

半角公式萬(wàn)能公式6輔助角公式

注：該公式又稱(chēng)收縮公式 / 強(qiáng)提公式 / 化一公式 等

asin α+bcos α=√(a^2+b^2)sin(α+φ)，其中tan φ=b/a

asinA+bcosB=根號(hào)下a方+b方×（根號(hào)下a方+b方分之a(chǎn)×sinA+根號(hào)下a方+b方分之b×cosB) 令根號(hào)下a方+b方分之a(chǎn)=cosC 則根號(hào)下a方+b方分之b=sinC asinA+bcosB=根號(hào)下a方+b方（sinAcosC+cosBsinC)=根號(hào)下a方+b方×sin(A+C)

sh a = [e^a-e^(-a)]/2

ch a = [e^a+e^(-a)]/2

th a = sin h(a)/cos h(a)

公式一：

設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：

sin（2kπ+α）= sinα

cos（2kπ+α）= cosα

tan（2kπ+α）= tanα

cot（2kπ+α）= cotα

公式二：

設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（π+α）= -sinα

cos（π+α）= -cosα

tan（π+α）= tanα

cot（π+α）= cotα

公式三：

任意角α與 -α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（-α）= -sinα

cos（-α）= cosα

tan（-α）= -tanα

cot（-α）= -cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（π-α）= sinα

cos（π-α）= -cosα

tan（π-α）= -tanα

cot（π-α）= -cotα

公式五：

利用公式-和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（2π-α）= -sinα

cos（2π-α）= cosα

tan（2π-α）= -tanα

cot（2π-α）= -cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（π/2+α）= cosα

cos（π/2+α）= -sinα

tan（π/2+α）= -cotα

cot（π/2+α）= -tanα

sin（π/2-α）= cosα

cos（π/2-α）= sinα

tan（π/2-α）= cotα

cot（π/2-α）= tanα

sin（3π/2+α）= -cosα

cos（3π/2+α）= sinα

tan（3π/2+α）= -cotα

cot（3π/2+α）= -tanα

sin（3π/2-α）= -cosα

cos（3π/2-α）= -sinα

tan（3π/2-α）= cotα

cot（3π/2-α）= tanα

（以上k∈Z)

A·sin（ωt+θ）+ B·sin（ωt+φ） =

√{(A+2ABcos（θ-φ）} · sin{ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ） / √{A^2 +B^2 +2ABcos（θ-φ）}}

√表示根號(hào)，包括{……}中的內(nèi)容

arcsin(-x)= -arcsinx

arccos(-x)=π-arccosx

arctan(-x)= -arctanx

arccot(-x)=π-arccotx

arcsinx+arccosx=arctanx+arccotx=π/2[1]