分形的一個(gè)基本特征是具有“自相似性'。如今分形已滲透到各個(gè)領(lǐng)域。下面我們介紹幾種分形。
“分形幾何”又稱“大自然的幾何”。凡是在自然界中客觀存在或經(jīng)過抽象而得到的具有“自相似”的幾何形體，都稱為自然分形。自然分形又分為兩類：
一類是正規(guī)分形。如謝爾賓斯基三角形襯墊、地毯，科赫雪花曲線，康托爾集，皮亞諾曲線等幾何圖形，它們都有一個(gè)共同的特征——自相似性，即局部與整體的相似性。
另一類是隨機(jī)分形。如前面提到的彎彎曲曲的海岸線、起伏不平的山峰輪廓、材料的裂紋等，它們也具有自相似性，這種自相似性，是通過大量的統(tǒng)計(jì)而抽象出來的。
除了自相似性外，分形的另一特征是具有分?jǐn)?shù)維，在歐氏幾何中的維數(shù)都是整數(shù)，而在分形中的維數(shù)卻是分?jǐn)?shù)的。如雪花曲線的維數(shù)是1.2618…，康托爾粉塵維數(shù)是0.6309…，謝爾賓斯基三角形襯墊的維數(shù)是1.58496…。
凡是在人類社會活動(dòng)和社會體系中客觀存在及表現(xiàn)出來的自相似性現(xiàn)象，稱為社會分形。無論是史學(xué)、文學(xué)、哲學(xué)、辭學(xué)等都存在著自相似的現(xiàn)象。社會分形表現(xiàn)了社會生活和社會現(xiàn)象中一些不規(guī)則的非線性特征有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值。如很小的商品包含著整個(gè)社會的信息，《紅樓夢》中的賈府是當(dāng)時(shí)封建社會的縮影。
凡人類在認(rèn)識意識活動(dòng)過程中或結(jié)果上表現(xiàn)出來的自相似性特征，稱為思維分形。如思維形式的概念，它是邏輯思維的最基本的分形元，反映了人類對事物整體本質(zhì)的認(rèn)識。又如每個(gè)人的思維都在某種程度上反映了人類整體的思維。
凡是在時(shí)間長河中具有自相似性的現(xiàn)象都稱為時(shí)間分形。我們常常會認(rèn)為無生命的東西是固定不變的，事實(shí)上任何物質(zhì)都在運(yùn)動(dòng)，只是有些運(yùn)動(dòng)是發(fā)生在分子級的水平上，我們看不見或無法直接測量到而已。
在晶體物質(zhì)中，變化以指數(shù)的比率進(jìn)行。對于放射性物質(zhì)，在某一定時(shí)間間隔里以一半的速度衰減。而非晶體物質(zhì)的分子變化或移動(dòng)，則貫穿整個(gè)的變化時(shí)間，有些是以秒計(jì)，而另一些則以年計(jì)。這些非晶體物質(zhì)的重組現(xiàn)象，就能夠用時(shí)間分形來描述。
生物學(xué)中的?？藸?Haeckel)重演律，表明生物個(gè)體的發(fā)育是生物種系進(jìn)化過程中的簡短而又迅速的重演。如在母體中新生嬰兒的發(fā)育過程，在一定程度上近似于人類從水母、魚類、猿人，最后成為今天的現(xiàn)代人的整個(gè)進(jìn)化過程近似的重演。它們在時(shí)問上具有自相似性。
