在日常生活中，不同的交通工具，帶來的路徑與方法是不同的。在歐氏幾何中，三角形全等與三角形相似的判定定理，是推理的最基本工具。離開它們，寸步難行。其實(shí)，這是一種誤區(qū)。張景中教育數(shù)學(xué)，其核心是變更幾何的推理工具。有了新工具，三角形全等與三角形相似的判定定理，就不是初中數(shù)學(xué)最核心的知識(shí)。全等與相似不是不重要，而是稍后出現(xiàn)。我們選擇從三角正弦入門，首先想到等腰三角形的基本判定定理：在同一三角形中，等角對等邊。繼續(xù)利用活動(dòng)三角形架觀察。變換三角形兩角∠A、∠B的度數(shù)，它們的對邊也隨之而變。變中有不變的關(guān)系嗎？我們能否用三角形的面積公式，提示它們的類在聯(lián)系？2、等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等。
沒有三角形全等相關(guān)知識(shí)，我們?nèi)匀豢梢缘玫竭@些定理。
在張景中教育數(shù)學(xué)中，正弦定理的作用遠(yuǎn)不止這些。它更主要的作用，是證明三角形全等判定定理——AAS（角角邊），ASA（角邊角），以及三角形相似的基本定理。
對于任意三角形，正弦定理揭示了三邊與三角的內(nèi)在關(guān)系。自然地，正弦定理也適用于直角三角形直斜定理脫胎于正弦定理，可以視為正弦定理的化簡形式與特殊情形。它也有自身的特點(diǎn)：將比例形式化簡為乘積形式，簡明揭示了直角三角形一直角邊及其對角、斜邊三個(gè)量之間的關(guān)系。
因此，我們熟悉了直斜定理之后，就沒有必要再繞圈子,退回到正弦定理去解題。
查科學(xué)計(jì)算器，或正弦表，我們得到：由這一特殊角的正弦值與直斜定理，我們可以證明以下重要定理：
1、在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30°。2、在直角三角形中，如果有一個(gè)角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。
將直斜定理由乘積式變?yōu)楸壤?，這就是初中三角中最核心的概念英國著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞說過，“數(shù)學(xué)的目的,就是用簡單而基本的詞匯去盡可能地多解釋世界”?！叭绻覀兎e累起來的經(jīng)驗(yàn)要一代一代傳下去,就必須不斷努力把它們簡化和統(tǒng)一”，“過去曾經(jīng)使成年人困惑的問題,在以后的年代,連孩子們都容易理解”。多年來，張景中先生致力于把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得簡單一點(diǎn)，倡導(dǎo)教育數(shù)學(xué)。教育數(shù)學(xué)為自己提出三個(gè)目標(biāo)：
邏輯結(jié)構(gòu)盡可能簡單；概念的引入要平易直觀；要建立有力而通用的解題工具。
具體來說，教育數(shù)學(xué)有以下主張：初中代數(shù)的核心符號(hào)是√S，幾何的核心符號(hào)是∽，三角的核心符號(hào)是Sin。中國古代數(shù)學(xué)家，是從√S進(jìn)入數(shù)學(xué)的城市中心。古希臘數(shù)學(xué)家，是從∽進(jìn)入數(shù)學(xué)的城市中心。受此影響，初中數(shù)學(xué)教材的頂層設(shè)計(jì)是三角形相似。
張景中教育數(shù)學(xué)主張：由正弦進(jìn)入數(shù)學(xué)的城市中心。
在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中，三角的內(nèi)容至關(guān)重要。三角是聯(lián)系幾何與代數(shù)的一座橋梁，是溝通初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的一條通道。函數(shù)、向量、坐標(biāo)、復(fù)數(shù)等許多重要的數(shù)學(xué)知識(shí)與三角有關(guān)，大量的實(shí)際問題的解決要用到三角知識(shí)。所以，盡管三角學(xué)起來并不比幾何容易，盡管幾何學(xué)起來比三角有趣得多，國外國內(nèi)的許多數(shù)學(xué)教育專家在考慮數(shù)學(xué)課程的改革方案時(shí)，總是想刪去更多的幾何內(nèi)容，而對三角卻謹(jǐn)慎從事，不肯輕舉妄動(dòng)。
看來，再過若干年，三角在初等數(shù)學(xué)中的地位仍然難以動(dòng)搖。著名以色列科普作家Eli Maor所著《三角之美》一書前言部分，即引用赫伯特一段論述：“在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，可能沒有其他分支學(xué)科能像三角學(xué)一樣始終占據(jù)著中心位置”從計(jì)算入手，實(shí)驗(yàn)、計(jì)算與推理一線串通古希臘《幾何原本》與中國《九章算術(shù)》，影響數(shù)學(xué)兩千年?！稁缀卧尽分亍巴啤?，《九章算術(shù)》重“算”。初中代數(shù)、三角側(cè)重于算，初中幾何側(cè)重于推。數(shù)學(xué)的發(fā)展，建立在算的基礎(chǔ)之上。古希臘人花了約三百年的時(shí)間（從公元前600～300年），才將經(jīng)驗(yàn)式的幾何精煉成演繹式的幾何。古希臘推理幾何，建立在古埃及測量幾何之上。中國古代數(shù)學(xué)家側(cè)重計(jì)算幾何的研究，即面積計(jì)算、開平方、勾股定理（已知兩邊求第三邊）等。幾何起源于測量，基于計(jì)算的需要，推理是其發(fā)展的高級(jí)階段。
歐氏幾何難學(xué)，問題出在：只重推，忽視算。
其實(shí)，計(jì)算和推理是相通的。對于兩者關(guān)系，張景中精辟論述到：“數(shù)學(xué)活動(dòng)中的畫圖和推理,歸根結(jié)底都是計(jì)算。推理是抽象的計(jì)算,計(jì)算是具體的推理,圖形是推理和計(jì)算直觀的模型?！?br style='box-sizing: border-box;'>從算入手，寓理于算，在計(jì)算的基礎(chǔ)上重視學(xué)生的推理能力的培養(yǎng)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。
幾何還應(yīng)重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。畫一畫、量一量、算一算、做一做、擺一擺，我們將抽象建立在直觀的基礎(chǔ)上，可以增強(qiáng)幾何學(xué)習(xí)的興趣。
隨著時(shí)代的變遷，幾何實(shí)驗(yàn)已從粗糙走向精致。張景中研發(fā)的超級(jí)畫板，功能強(qiáng)大。超級(jí)畫板可以實(shí)現(xiàn)角度、長度與面積的測量，可以實(shí)驗(yàn)圖形的拖動(dòng)、平移與旋轉(zhuǎn)等，是我們幾何教學(xué)的好幫手。
從小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)出發(fā)，小學(xué)、初中、高中數(shù)學(xué)一線串通在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中，小學(xué)、初中與高中數(shù)學(xué)知識(shí)，缺少整體的內(nèi)在聯(lián)系與統(tǒng)一。
張景中特別指出：“要講一個(gè)新東西，先要仔細(xì)分析一下學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)之前，他掌握了哪些東西，一定要從他掌握的東西出發(fā)，加進(jìn)最少的新東西讓他進(jìn)入一個(gè)新的領(lǐng)域?！?br style='box-sizing: border-box;'>在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，對于任意角的三角函數(shù)的定義，要依賴平面直角坐標(biāo)系。初中只講銳角的正弦，直角與鈍角的正弦，要等到高中學(xué)習(xí)。對于銳角的三角函數(shù)，初中課程是作為直角三角形的兩邊的比值而引進(jìn)的。這樣的定義，依賴于有關(guān)相似三角形的指示。
其實(shí)，所謂定義三角函數(shù)，無非是給三角函數(shù)提供一個(gè)幾何模型。這個(gè)幾何模型可以有多種選擇。幾何模型的選擇不影響三角函數(shù)的數(shù)值，但會(huì)影響對三角函數(shù)的性質(zhì)和幾何中的應(yīng)用的推理和論證。如果能夠選擇一個(gè)更簡單的更便于推理論證的幾何模型，就有可能帶來化繁為簡、化難為易的好處。
對于這個(gè)問題，張景中是在1974年于新疆巴州21團(tuán)子女學(xué)校教初中數(shù)學(xué)時(shí)開始探索的。經(jīng)過30多年的思索和實(shí)踐，為三角函數(shù)的定義找到了一種更簡單更便于推理論證的幾何模型，并發(fā)展出相應(yīng)的一套適用于初中數(shù)學(xué)教學(xué)的邏輯體系。正弦的幾何意義，就是：
張景中對于幾何教改的整體思路，是將高中的三角形面積公式、正弦定理、余弦定理、正弦和角公式“空降”到初中，并作為推理的主要依據(jù)。
在這里，充分體現(xiàn)了小學(xué)、初中與高中數(shù)學(xué)知識(shí)的整體串通。從直觀幾何出發(fā)，形象思維、抽象思維、靈感思維一線串通張景中認(rèn)為：“在數(shù)學(xué)當(dāng)中，幾何具有非常重要的地位。幾乎所有重要的數(shù)學(xué)概論，最初都是從幾何中來的。所以有人說，幾何是數(shù)學(xué)思想的搖籃?！?br style='box-sizing: border-box;'>傳統(tǒng)幾何教學(xué)，局限于演繹推理與抽象思維的訓(xùn)練。幾何教學(xué)，“既要教證明，又要教猜想”；既要重視公理化思想，也要重視函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合的思想、寓理于算的思想。
人的思維發(fā)展，是整體的。郭思樂教授曾有一段精彩的論述：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中掌握某些知識(shí)的過程有點(diǎn)象胚胎生長。知識(shí)是從一個(gè)胚胎同時(shí)長起來的。數(shù)學(xué)是一個(gè)整體，但教材只能一個(gè)字一個(gè)字地線性地排列起來。”
著名科學(xué)家錢學(xué)森主張從形象思維入手，指出：“人的思維可分成抽象(邏輯)思維、形象(直感)思維和靈感(頓悟)思維三個(gè)部分。人認(rèn)識(shí)客觀世界首先是用形象思維，而不是用抽象思維。形象思維應(yīng)該是我們當(dāng)前研究思維科學(xué)的一項(xiàng)最重要的任務(wù)?！蔽锢韺W(xué)家李政道也主張：科學(xué)與藝術(shù)是一個(gè)整體，需要相互融合。
張景中先生“單位菱形面積定義正弦”，創(chuàng)設(shè)了融形象思維、抽象思維、靈感思維于一體的典范。除了從三角的視角進(jìn)行幾何教改設(shè)計(jì)，張景中先生也從小學(xué)三角形面積公式出發(fā)，推出兩個(gè)重要定理——共邊定理、共角定理，進(jìn)而展開平面幾何。
本文作者：賴虎強(qiáng)老師（成都市特級(jí)校長，成都市學(xué)科帶頭人，中國高等教育學(xué)會(huì)教育數(shù)學(xué)專業(yè)委員會(huì)副秘書長）左邊一位：）
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