面積問題串,算推一線牽(讓勾股定理及其證明自然發(fā)生)
勾股定理的教與學(xué)是數(shù)學(xué)教育改革的“晴雨表”。從面積計算入手，算中寓推，讓趙爽弦圖、勾股定理及其證明自然發(fā)生。勾股定理是數(shù)學(xué)中的明珠。它是貫穿許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個不可缺少的工具。有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法，盡管如此，對于初中生而言，大多數(shù)證法仍難以理解。站在學(xué)生的角度，如何讓定理及其證明自然而然“發(fā)生”呢？自然地，勾股定理的教學(xué)設(shè)計，也成為中外數(shù)學(xué)教育工作者關(guān)注的熱點。今年4月，在北京“2015年全國中學(xué)數(shù)學(xué)特色課堂案例分析研修會”上羅增儒教授、羅新兵博士作了題為《特色、創(chuàng)新與教學(xué)智慧》的報告。文中以較大篇幅，以“勾股定理的‘發(fā)現(xiàn)’設(shè)計”為題進(jìn)行了案例分析。文中列舉了兩種勾股定理的設(shè)計方法：方法1：先畫兩個直角三角形，再分別測量三邊長，試猜想直角三角形的三邊關(guān)系。此設(shè)計，文中被稱為“虛假性的情境發(fā)現(xiàn)”方法2：教師采用“程序教學(xué)法”出示圖1與以下問題：（5）圖中的正方形面積與直角三角形面積之間有什么樣的關(guān)系？對于這一設(shè)計，兩位專家稱之為“淺層次的情境發(fā)現(xiàn)”，并進(jìn)行了這樣的點評：7道小題目一做，解題思路和盤托出，難點化為烏有，這有點像教師提前在小黑板上畫出輔助線，是避開難點，而不是突破難點?！鞍褜W(xué)生塞進(jìn)公共汽車，并美其名曰學(xué)生自己來到了目的地”。其實，學(xué)生的被動接受狀態(tài)和附屬地位一點也未改變。本次研討會也有一節(jié)“勾股定理”的展示課。顯然，勾股定理的教學(xué)設(shè)計激起了眾多數(shù)學(xué)教育工作者的興趣。遺憾的是，翻閱眾多勾股定理的教學(xué)設(shè)計，體現(xiàn)勾股定理證明方法自然生成的教學(xué)設(shè)計還不多。筆者認(rèn)為，勾股定理教學(xué)設(shè)計的關(guān)鍵在于三個“發(fā)現(xiàn)”：發(fā)現(xiàn)基本圖，發(fā)現(xiàn)勾股定理，發(fā)現(xiàn)勾股定理的證明方法。而難點是如何讓這三個發(fā)現(xiàn)自然發(fā)生。其中，發(fā)現(xiàn)基本圖是關(guān)鍵。日常生活中，隨處可見用正方形地板磚鋪成的網(wǎng)格狀地面；翻開中國古代數(shù)學(xué)典籍，勾股定理與面積公式常常采用正方形網(wǎng)格圖來直觀說理。學(xué)生的生活經(jīng)驗與數(shù)學(xué)史啟示我們：讓學(xué)生計算正方形網(wǎng)格斜放正方形的面積，可以讓三個“發(fā)現(xiàn)”自然發(fā)生。下面給出筆者的教學(xué)設(shè)計。以計算斜正方形面積為主線，發(fā)現(xiàn)基本圖與最簡算法以上證明中，我們看到：此處的“證明”，由“計算”演變而來，自然而然。對于計算與推理之間的辯證關(guān)系，張景中先生有過精辟論述：“計算和推理是相通的。數(shù)學(xué)活動中的畫圖和推理，歸根結(jié)底都是計算。推理是抽象的計算，計算是具體的推理，圖形是推理和計算直觀的模型”上述教學(xué)設(shè)計中,通過'如何求斜面積'這一設(shè)問,導(dǎo)出三個基本的發(fā)現(xiàn):首先是從小學(xué)知識出發(fā)，通過面積割補(bǔ)，發(fā)現(xiàn)基本圖；其次，在計算斜正方形面積的幾種方法中，將斜正方形面積轉(zhuǎn)化為兩條直角邊的平方和這一方法最簡便，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)勾股定理；最后，對基本圖進(jìn)行兩種不同的面積表示，得到面積關(guān)系式，整理后就是勾股定理的證明。好的教學(xué)設(shè)計，應(yīng)該“低起點，高觀點”。“算”面積是小學(xué)生最熟悉的知識，我們將它作為教學(xué)的起點，先從具體的數(shù)開始，再過渡到字母運算，讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般，從猜想到證明的過程。個人認(rèn)為這樣的教學(xué)設(shè)計更符合學(xué)生的認(rèn)識，更自然。教學(xué)設(shè)計要重思維訓(xùn)練，不要迷失在'講故事'中圍繞勾股定理，有眾多美麗的數(shù)學(xué)故事。于是，不少教學(xué)設(shè)計便以故事開道。處理不當(dāng)就容易造成這樣的局面：故事一大堆，思維訓(xùn)練“千呼萬喚始出來”所以建議先完成思維訓(xùn)練，再講相關(guān)故事。例如，勾股定理的教學(xué)設(shè)計，其奧妙是對兩個正方形的面積進(jìn)行加、減割補(bǔ)。前面出現(xiàn)的求正方形網(wǎng)格斜放正方形的面積，其實質(zhì)是“一分為二”，將一個正方形的面積（c^2），轉(zhuǎn)化為兩個正方形的面積之和（a^2+b^2）這點講清楚之后,就可以給學(xué)生講一些關(guān)于'勾股定理'的故事.
'問題串“可為算術(shù)平方根的教學(xué)打下'伏筆”勾股定理之后,初中代數(shù)的核心符號-算術(shù)平方根就要'出場'了。殊不知，“求正方形網(wǎng)格斜放正方形的面積”這一問題，又可以導(dǎo)出這一知識。在上面的練習(xí)中，我們得到了面積等于25、29、37的正方形，卻不知道正方形的邊長。
為了解決這一問題，中國古代數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》作注中，有這樣一段話：開方術(shù)曰：‘若開之不盡者，為不可開，當(dāng)以面命之。用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言表述為（圖13）張景中先生強(qiáng)調(diào)“一線串通”，其意是：小學(xué)、初中、高中知識一線串通；計算、推理、畫圖一線串通；代數(shù)、三角、幾何一線串通。張先生提出這樣的設(shè)想：利用小學(xué)生最熟悉的三角形內(nèi)角和定理與三角形面積公式，去推演初等數(shù)學(xué)。要讓教學(xué)自然，可否從“一線串通”中吸取教學(xué)智慧呢？
第一排左起第3位本文作者賴虎強(qiáng)老師
本站僅提供存儲服務(wù)，所有內(nèi)容均由用戶發(fā)布，如發(fā)現(xiàn)有害或侵權(quán)內(nèi)容，請
點擊舉報。
