整數(shù)，有理數(shù)，實(shí)數(shù)都是有無窮多個(gè)。哪個(gè)更“多”?這個(gè)問題困擾著相當(dāng)多的一些人。
筆者在以前的文章里說過，整數(shù)，有理數(shù)，都是無窮多個(gè)，從包含的角度看整數(shù)集還是有理數(shù)集的子集呢，但因?yàn)榭梢越⒃亻g的一一對應(yīng)，因此可以說通俗地說：它們一樣“多”。而且，盡管都是無窮多個(gè)元素，但它們都可以排成一列，并可以一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)出來，因此都是可數(shù)的。（要知道不是所有的有無窮多個(gè)元素的集合的元素都可以排成一列，并一個(gè)一個(gè)數(shù)出來的，如介于0到1之間所有實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，就沒有辦法將它的元素排成一列，并一個(gè)一個(gè)數(shù)出來。）
但是整數(shù)集和有理數(shù)集畢竟有差別。我們說整數(shù)集是離散的，說有理數(shù)集是稠密的。
什么是離散？通俗說就是孤立的，相鄰兩個(gè)整數(shù)之間都有1個(gè)單位的距離。另外，任意兩個(gè)整數(shù)間可能再也沒有整數(shù)了（如整數(shù)1和整數(shù)2之間再?zèng)]有整數(shù)了），也可能有有限個(gè)整數(shù)（整數(shù)2和整數(shù)5之間，可以有2個(gè)整數(shù)：3和4），總之不可能會有無限多個(gè)整數(shù)的。如果結(jié)合今后要引進(jìn)的有理數(shù)來看，整數(shù)是跳躍的（從整數(shù)1跳到整數(shù)2，跳過了許多分?jǐn)?shù)，如1.2；；。。。。。）。
有理數(shù)集則是稠密的，通俗地說，有理數(shù)排在數(shù)軸上是非常密的，不像整數(shù)排在數(shù)軸上是稀稀拉拉的。談不上相鄰的兩個(gè)有理數(shù)了，你說有理數(shù)1.2和1.3相鄰吧，不對，1.2和1.3之間隔著1.21，1.25等有理數(shù)吶！最重要的，任意兩個(gè)有理點(diǎn)之間有無窮多個(gè)有理點(diǎn)。
譬如有理數(shù)1與有理數(shù)2之間的有理數(shù)是密密麻麻的，有無窮多個(gè)有理數(shù)，根本找不到一段空白。為什么這么說？
有理數(shù)1和有理數(shù)2之間，先找到一個(gè)數(shù)，是它們的算術(shù)平均數(shù)1.5，它當(dāng)然是有理數(shù)。在1和1.5之間再找一個(gè)，作它們的算術(shù)平均數(shù)1.25，它也是有理數(shù)，并且在1，1.5之間（當(dāng)然在1，2之間）。重復(fù)這個(gè)方法，于是就可以說1，2之間有無窮多個(gè)有理數(shù)。
不但是有理數(shù)1和2之間如此，任意兩個(gè)有理數(shù)a和b之間，也是有無窮多個(gè)有理數(shù)。只要先求出a,b的算術(shù)平均數(shù)(a+b)/2 ,它肯定也是有理數(shù)，并介于a,b之間。然后求出a,(a+b)/2的算術(shù)平均數(shù)(3a+b)/4,它肯定也是有理數(shù)，并介于a,(a+b)/2之間（當(dāng)然也在a,b之間）。。。。。。因此a,b之間有無窮多和有理數(shù)。
可見，任意兩個(gè)有理數(shù)之間有無窮多個(gè)、密密麻麻的有理數(shù)，就是說有理數(shù)集是稠密的。整數(shù)集做不到這一點(diǎn)的。
這一點(diǎn)或許不難懂，但下面一句話，可能就有點(diǎn)費(fèi)解了。
有理數(shù)雖然是稠密的，但有理數(shù)之間還有空隙。這么密密麻麻，還有空隙？
有理數(shù)的稠密性是說，任意兩個(gè)有理數(shù)之間有無窮多個(gè)有理數(shù)，沒有說兩個(gè)有理數(shù)之間只有有理數(shù)，除了有理數(shù)之外再?zèng)]有別的數(shù)了。學(xué)了無理數(shù)之后，我們就可以知道了。
譬如有理數(shù)1.4和1.5之間固然有無窮多個(gè)有理數(shù)，但是還包含了√2，（√2=1.414.。。）它可不是有理數(shù)，是無理數(shù)。同樣的，有理數(shù)3.14和3.15之間包含了π（π=3.1415926.。。）。所以說，密密麻麻的有理數(shù)之間存在空隙，這個(gè)空隙里上數(shù)實(shí)際上就是無理數(shù)。
而且這些空隙很多很多，比有理數(shù)本身還“多”。用無理數(shù)把這些空隙填滿之后，數(shù)軸上就再也沒有空隙了。這時(shí)候，我們說：有理數(shù)集和無理數(shù)集合起來的實(shí)數(shù)集是連續(xù)的。
打個(gè)比喻，如果數(shù)軸上只有有理點(diǎn)，設(shè)想用一把鋒利的刀猛砍數(shù)軸，把數(shù)軸砍成兩截．這一刀有時(shí)候砍在某個(gè)有理點(diǎn)上，有時(shí)候可能砍在某個(gè)有理數(shù)的空隙處。如果數(shù)軸上的點(diǎn)表示全體實(shí)數(shù)，這一刀一定會砍在某個(gè)點(diǎn)上，即砍中某一個(gè)實(shí)數(shù)（可能是有理數(shù)，可能是無理數(shù)）．因?yàn)楸硎境蓪?shí)數(shù)的數(shù)軸是沒有縫隙的。
稠密不等于連續(xù)，大致明白了嗎？
還要說一句，實(shí)數(shù)集的元素沒有辦法排成一列并一個(gè)一個(gè)數(shù)出來，因此實(shí)數(shù)集不是可數(shù)集，通俗說，它的元素比有理數(shù)“多”得多。別說整個(gè)實(shí)數(shù)集，就是一小段實(shí)數(shù)區(qū)間，譬如（0，1），它的元素也沒有辦法排成一列，并一個(gè)一個(gè)數(shù)出來，通俗說，它的元素也比全體有理數(shù)“多”得多。
小結(jié)一下：
整數(shù)集是離散的。兩個(gè)整數(shù)之間只能有有限個(gè)整數(shù)，或者沒有。
有理數(shù)是稠密的。兩個(gè)有理數(shù)之間有無窮多個(gè)有理數(shù)，但它們之間還有空隙。
實(shí)數(shù)集是連續(xù)的。兩個(gè)實(shí)數(shù)之間有無窮多個(gè)實(shí)數(shù)，而且再?zèng)]有空隙，或者說再?zèng)]有其他任何數(shù)。
整數(shù)集，有理數(shù)集是可數(shù)集，即它們的元素都可以排列成一列，并一個(gè)一個(gè)數(shù)出來，因此可以建立一一對應(yīng)，所以通俗說它們的元素一樣“多”。而實(shí)數(shù)全體沒有辦法排列成一列，并一個(gè)一個(gè)數(shù)出來，實(shí)數(shù)和有理數(shù)集不能建立一一對應(yīng)，通俗說，實(shí)數(shù)集的元素比有理數(shù)集的元素“多”得多。
