此文為數(shù)年前由我草根本人撰寫，楊向宜老師修改的“課例”，曾發(fā)表在徐匯教育雜志上，供大家參考并提出寶貴建議
數(shù)學(xué)課改的核心是“改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式”，即倡導(dǎo)對于新知識、新技能，讓每一位學(xué)生能夠親身經(jīng)歷“觀察→探究→猜想→論證”的學(xué)習(xí)過程，在實(shí)踐體驗(yàn)、合作交流中獲得數(shù)學(xué)思想，為此，我以新教材第九章第4節(jié)三個(gè)乘法公式作為教學(xué)載體，展開實(shí)踐。
一、設(shè)立必要的伏筆
探究的主體是學(xué)生，他們對于未知世界的了解，同樣需要一個(gè)觀察和積累的過程。現(xiàn)實(shí)情況是課堂時(shí)間也只有40分鐘，這顯然不能滿足學(xué)生對于素材的原始積累。就這節(jié)課而言，同學(xué)對于乘法公式的認(rèn)識也將經(jīng)歷“觀察→探究→猜想→論證”的學(xué)習(xí)過程。而經(jīng)歷這一學(xué)習(xí)過程，光利用課堂的時(shí)間是不夠的，它需要我們在平時(shí)教學(xué)中潤物細(xì)無聲地滲透。
為了上好這節(jié)課，在“多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式”一節(jié)的教學(xué)和回家練習(xí)的過程中，我就有意滲透涉及乘法公式的例題，并制成卡片，讓同學(xué)體會(huì)這些例題最后的形式，但對于結(jié)果卻“猶抱琵琶半遮面”給他們以充分想象和思考的空間。
二、兩個(gè)值得反思的教學(xué)環(huán)節(jié)
這是一個(gè)以為學(xué)生主體、自主探究的課堂；這是一個(gè)充盈著活力和朝氣的課堂；同時(shí)也是一個(gè)值得回味的課堂，雖然不少情節(jié)已變得模糊，但有兩個(gè)環(huán)節(jié)卻記憶猶新。
1、在觀察中發(fā)現(xiàn)
<教學(xué)思路>
（1）具體實(shí)例入手。在課堂上當(dāng)堂練習(xí)、并展示大量的已做過的“二項(xiàng)式和二項(xiàng)式相乘”的習(xí)題，引導(dǎo)同學(xué)按結(jié)果的項(xiàng)數(shù)分類，分為“兩項(xiàng)”、“三項(xiàng)”和“四項(xiàng)”三類。
（2）觀察表象特征。教師在此設(shè)疑：“‘四項(xiàng)’是普遍的情況，那能得到較簡潔的“二項(xiàng)”或“三項(xiàng)”結(jié)果的兩個(gè)二項(xiàng)式兩項(xiàng)又具有怎樣的特征呢？”
通過學(xué)生的自我探索和小范圍討論，教師可從中總結(jié)：
若結(jié)果為“兩項(xiàng)”一定具有(a+b)(a-b)的表象特征；若結(jié)果為“三項(xiàng)”則兩括號內(nèi)各有一項(xiàng)對應(yīng)成同類項(xiàng)，其中有些具有了更特殊的表象特征：(a+b)2或(a-b)2。
（3）抽象數(shù)學(xué)符號。從大量實(shí)例中抽象出乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2、(a±b)2=a2±2ab+b2
<教學(xué)實(shí)錄>
師：怎樣的兩個(gè)二項(xiàng)式相乘結(jié)果是二項(xiàng)式？
學(xué)生杜：我覺得這兩個(gè)二項(xiàng)式前一項(xiàng)都是一樣的，后一個(gè)項(xiàng)數(shù)都是互為相反數(shù)。
（見學(xué)生通過觀察，自己發(fā)現(xiàn)了乘積結(jié)果是二項(xiàng)式的兩個(gè)兩項(xiàng)式的特征，我心中竊喜。于是在實(shí)際教學(xué)過程中，對于學(xué)生的具體用詞就有所忽略，錯(cuò)失了一個(gè)教學(xué)契機(jī)。課后想來，這時(shí)如果我能立即舉出實(shí)例：(x+y)(-x+y)說明不一定是“前一項(xiàng)相等，后一項(xiàng)互為相反數(shù)”而是“有一項(xiàng)相等，有一項(xiàng)互為相反數(shù)”，則效果更佳。）
師（故作疑惑）：你怎么解釋第二個(gè)（注：指的是(2x+2y)(x-y)＝2x2-2y2）呢？
學(xué)生杜（很自信）：可以把2拿出來，2(x+y)(x-y)
師：哦……也就是說可以把第二個(gè)轉(zhuǎn)化為“有一項(xiàng)相等，有一項(xiàng)互為相反數(shù)的形式”
師：很好，請坐。哪位同學(xué)可以用字母將這個(gè)規(guī)律表示出來？
學(xué)生葉逐字逐句地說：(a＋b)(c＋d)
（焦急，學(xué)生應(yīng)該回答的是(a+b)(a-b)啊，怎么他又回答成(a＋b)(c＋d)？怎么辦？我告誡自己：不要輕易打斷學(xué)生，先把學(xué)生說的板書在黑板上，也給自己留點(diǎn)時(shí)間思考對策?。?/span>
學(xué)生葉（師板書）：當(dāng)a等于c,b與d是互為相反數(shù)。
師：那怎么表示“b與d是互為相反數(shù)”
學(xué)生葉：b＝－d
師點(diǎn)頭：非常好，請坐
（喜，你早說不得了嘛。轉(zhuǎn)念一想，他說得很好?。《疫M(jìn)一步我可以將其與完全平方時(shí)二項(xiàng)式的形式進(jìn)行板書比對。）
……
師：怎樣的兩個(gè)二項(xiàng)式相乘結(jié)果是三項(xiàng)式？
（只有兩位學(xué)生舉手，心中有點(diǎn)失望）
師：只有這兩位同學(xué)舉手？這兩位同學(xué)是代表個(gè)人還是小組？
學(xué)生呂（急切）：當(dāng)然代表我們小組
師（微笑）：既然你是代表小組，那么你能回答，她也能回答。
（我做了一個(gè)手勢，邀請與其同組的學(xué)生孫回答。）
學(xué)生孫怯怯地起立
師：你們討論過嗎？
（看來，學(xué)生小組討論參與程度有問題，有人未能參與只聽結(jié)果，甚至無所事事，這個(gè)問題值得注意。）
學(xué)生孫：一個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)都是同類項(xiàng)。
師反問：每一項(xiàng)？
學(xué)生孫：對應(yīng)項(xiàng)。
師（點(diǎn)頭肯定）：對應(yīng)有同類項(xiàng)是不是？
學(xué)生孫：對。
師：非常好，請坐。
……
師：在乘積為三項(xiàng)式的兩個(gè)兩項(xiàng)式中，有沒有哪些和別的又有不同且形式更漂亮的呢？
（學(xué)生黃始終沒有放下他的手，我無奈，只能請他回答）
學(xué)生黃慢悠悠地起立（其他學(xué)生竊笑），很鄭重的說：我認(rèn)為哦！就是呢，就是前面那個(gè)式子，如果a＝c且b＝d的話得出的一定是三項(xiàng)式項(xiàng)式（師板書）
師：那上述題目有哪些題目兩項(xiàng)完全一樣的呢？大家報(bào)題號，老師寫。
學(xué)生齊聲報(bào)數(shù)
……
現(xiàn)在回想，本教學(xué)環(huán)節(jié)中有兩點(diǎn)感覺比較深
1、 重視學(xué)生在課堂中“游離”于標(biāo)準(zhǔn)或預(yù)設(shè)的表現(xiàn)，對于有紕漏及時(shí)點(diǎn)出反例；對于亮點(diǎn)，要及時(shí)肯定并板書；對于出乎自己意料的回答，不要急于表態(tài)，想明白后再給予明確的解釋；
2、 關(guān)注小組討論中每一位同學(xué)，通過巡視、提問、競賽等多種形式，隨時(shí)把握學(xué)生的參與和思考狀況。通過第一環(huán)節(jié)，學(xué)生已經(jīng)猜測出了“乘法公式”，這僅僅是探究的第一步，如何引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證這系列的乘法公式呢？于是，便有了下面第二個(gè)關(guān)鍵教學(xué)環(huán)節(jié)。
2、在操作中驗(yàn)證
<教學(xué)思路>
（1）設(shè)置問題情境。教師提問：一塊邊長為a米的正方形試驗(yàn)田，因需要將其邊長增加b米，形成四塊試驗(yàn)田，以種植不同的新品種，用不同形式表示試驗(yàn)田的總面積，并進(jìn)行比較。
（2）總結(jié)思想方法。首先從這個(gè)問題中抽象出“和的平方”的幾何證明方式，然后要求同學(xué)通過自我探索和小范圍討論嘗試同樣運(yùn)用面積割補(bǔ)、轉(zhuǎn)化的方法證明另外兩個(gè)公式，
（3）自主操作驗(yàn)證。提供學(xué)生供剪拼的用紙，讓他們通過動(dòng)手，獲得“乘法公式”的驗(yàn)證
<教學(xué)實(shí)錄>
當(dāng)剪紙（如圖）一發(fā)下，同學(xué)立即踴躍地?fù)屩簟⑵磮D形，我則穿插其中觀察同學(xué)剪拼的情況和表現(xiàn)：
（1）學(xué)生陸決定拼(a-b)2=a2-2ab+b2。她先剪下邊長為a的正方形紙片和兩個(gè)邊長分別為a、b的矩形紙片，并將這兩張矩形紙片試探性地與邊長為a的正方形紙片沿其中一邊疊合（如圖）
她盯著看許久后，立即拿起邊長為b的正方形紙片再疊入上圖中，會(huì)心一笑，慢慢抬起了一直低垂的頭，這時(shí)才詫異地發(fā)現(xiàn)我已經(jīng)觀察她許久……
（2）學(xué)生張決定拼a2-b2=(a+b)(a-b)。他先剪下兩個(gè)邊長為a和b的正方形，并嘗試把邊長為b的正方形疊入另一個(gè)正方形，舉著剪刀，凝視半天，沮喪地將它放在一邊。（如圖）
轉(zhuǎn)而剪下了一個(gè)邊長分別為(a+b)、(a-b)的矩形，想了想，在(a+b)一邊測量出a的長度，拿起剪刀，把它剪開（如圖）
他拿著剪下的紙片東拼拼，西拼拼，眼光正掃到前面放置一邊的那個(gè)圖形，突然似乎茅塞頓開，將剪下的紙片拼成如圖所示狀，對前方有力地做了個(gè)勝利手勢：V！
不少教師在上這節(jié)課之前對學(xué)生能否通過自主探究獲得“乘法公式”的幾何證明有過擔(dān)心，為了減少教學(xué)風(fēng)險(xiǎn)，本環(huán)節(jié)我嘗試為學(xué)生提供如下支撐：
（1）借助之前用面積法證明相關(guān)“代數(shù)運(yùn)算法則”的實(shí)例，總結(jié)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；
（2）用實(shí)際剪紙的方法引發(fā)學(xué)生興趣，同時(shí)隱含解決問題的導(dǎo)向。
實(shí)踐證明，在恰當(dāng)?shù)摹爸Ъ堋币I(lǐng)下，多數(shù)學(xué)生都能夠獲得“乘法公式”幾何證明的方法，進(jìn)一步體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。
三、反思與分析
縱觀本節(jié)課，有這么幾個(gè)問題始終縈繞在我心頭，促使我不斷的思考……
（1）探究的內(nèi)容有多少才合適？
在去年本區(qū)就開設(shè)了一節(jié)將扇形弧長和面積相融合的一節(jié)探究型課，我也在現(xiàn)場進(jìn)行了觀摩，事后也嘗試上了一節(jié)。然而課后讓學(xué)生做回家作業(yè)，卻感覺不對，學(xué)生對于習(xí)題冊的題目感到困難，無從落筆。我想這樣的上法并不是把原來的兩節(jié)課的內(nèi)容簡單相加，而是進(jìn)行了不同的內(nèi)在組合和安排，一節(jié)課學(xué)生當(dāng)然掌握不了這么多公式，它需要第二節(jié)課對其進(jìn)行補(bǔ)充、梳理和強(qiáng)化。那第一節(jié)課的作用又在何處呢？就在于學(xué)生經(jīng)歷了自我摸索和自我探究的過程，他們在這樣的日積月累下才會(huì)真正學(xué)會(huì)自己研究問題、學(xué)會(huì)創(chuàng)新。所以對這節(jié)課而言，我想對于雙基的目標(biāo)還是定在了解公式，而進(jìn)一步地展開、比較、操練可能應(yīng)放在下節(jié)課繼續(xù)進(jìn)行，不要在一節(jié)課內(nèi)讓學(xué)生獨(dú)立思考、探索的內(nèi)容太多，探究負(fù)荷過重，可能適得其反。
（2）面對“生成”，是“跟”還是“導(dǎo)”？
學(xué)生在課堂教學(xué)中，總會(huì)冒出很多火花，其中或是精彩的、或是繁瑣的；或是正確的，或是錯(cuò)誤的，這都是最新鮮的“臨場教學(xué)資源”，是否能夠用好這些教學(xué)資源，很大程度上決定了一節(jié)課地深刻程度。那怎樣把握這稍縱即逝的教學(xué)資源呢？我個(gè)人認(rèn)為，還是應(yīng)在“跟”的過程中捕捉結(jié)合點(diǎn)。以下幾點(diǎn)可作參考。
（1）學(xué)生回答正確，但不夠嚴(yán)密的。學(xué)生并不是教師，他對于數(shù)學(xué)的理解還是朦朧的，所以對于學(xué)生回答中的不嚴(yán)密不要過于苛責(zé)，而是應(yīng)該先肯定，再將其原話板書，并提出自己的質(zhì)疑，幫助其自己修正自己的回答。
（2）學(xué)生回答不正確的，反映普遍錯(cuò)誤的。應(yīng)先肯定該學(xué)生的勇氣，然后將他的回答用質(zhì)疑的口氣重復(fù)一遍，讓其他學(xué)生發(fā)表意見。當(dāng)其他學(xué)生也不置可否是，教師提出反例，啟發(fā)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題、改正問題。
（3）學(xué)生回答不在教師預(yù)案內(nèi)，一時(shí)沒有反應(yīng)的。也不要回避，可以將學(xué)生的回答重復(fù)一遍或?qū)懺诤诎迳希o自己一些思考的時(shí)間，有時(shí)自己沒有預(yù)設(shè)的答案卻隱藏著學(xué)生的智慧。
（3）數(shù)學(xué)思想的滲透夠了嗎？
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，知識技能是載體，數(shù)學(xué)思想才是靈魂，就本節(jié)課而言，主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面。其一：觀察數(shù)和式的規(guī)律。主要體現(xiàn)在本課例的第一環(huán)節(jié)，讓同學(xué)觀察“什么特征的兩個(gè)二項(xiàng)式相乘結(jié)果是二項(xiàng)式？”，“什么特征的兩個(gè)二項(xiàng)式相乘結(jié)果是三項(xiàng)式？”；其二，數(shù)形轉(zhuǎn)化思想。主要體現(xiàn)在第二環(huán)節(jié)，讓同學(xué)用剪紙拼圖的方法，證明平方差和完全平方公式，這里的關(guān)鍵是尋找恰當(dāng)?shù)牟僮鬏d體。關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法的滲透，本節(jié)課似乎基本達(dá)到效果，但畢竟還是隨著教學(xué)的進(jìn)程才漸漸體會(huì)和強(qiáng)化的，尚缺少事前系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與思考，今后必須作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿，因?yàn)楦拍睢⒐奖澈蟮臇|西可能更為重要……
