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名仕論題|李尚志論'線性相關(guān)'與初中數(shù)學(xué)

我心飛揚(yáng)695 >《待分類》

2015.11.26

關(guān)注

問題：問題：設(shè) x,y,z 為整數(shù), 且 16|(3x+y-7z),16|(6x-4y+z). 求證: 16|(4x-2y-17z)

李尚志博士論道

注意16|(6x-4y+z) 必須z為偶數(shù)。

因此z=2t。求整數(shù)m,n,k滿足

m(3x+y-14t)+n(6x-4y+2t)=4x-2y-2t+16k.

比較對應(yīng)系數(shù)知 3m+6n=4+16k1, m-4n=-2+16k2, -14m+2n=-2+16k3 即可。

前兩方程解得m=2,n=5. 代入第三方程檢驗(yàn)合格。

于是得 2(3x+y-7z)+5(6x-4y+z)-(4x-2y-z)=32x+16y-8z當(dāng)x,y為整數(shù)且z為偶數(shù)時(shí)被16整除。

此題不可能也不需要三個(gè)多項(xiàng)式線性相關(guān)，只要它們在模16的同余類中線性相關(guān)。也就是說，不是要求前兩個(gè)多項(xiàng)式的線性組合等于第三個(gè)，而是前兩個(gè)的線性組合與第三個(gè)之差被16整除。

草根注釋

（1）線性相關(guān)

【舉例敘述、也許不嚴(yán)密】

比如有三個(gè)數(shù)a，b，c
如果存在不全為0的三個(gè)數(shù)m，n，k
使得ma+nb+kc=0，就說a，b，c線性相關(guān)

否則若只有當(dāng)m=n=k=0時(shí)成立，則它們線性無關(guān)
其實(shí)a，b，c代表的東西很多，不一定就是數(shù)字，也可以是向量啊，等等；數(shù)量也不一定是三個(gè)，在這只是舉個(gè)例子，也可以是無限多個(gè)

（2）證明“16|(4x-2y-17z)”即證“16|(4x-2y-z)”

線性相關(guān)的概念中學(xué)生比較陌生，但其實(shí)是初中學(xué)生容易學(xué)會的。我的高等代數(shù)教材中收入了羅才忠提供的一道初中賽題作為線性相關(guān)的應(yīng)用：求方程的實(shí)數(shù)解：根號(x^2+x+1)+根號(2x^2+x+5)= 根號(x^2-3x+13). 關(guān)鍵在于三個(gè)多項(xiàng)式線性相關(guān)。判定線性相關(guān)不要用三個(gè)待定系數(shù)，造成不確定性增加學(xué)生理解難度。只要求a,b滿足 a(x^2+x+1)+b(2x^2+x+5)= x^2-3x+13即可。比較對應(yīng)系數(shù)得三個(gè)方程：a+2b=1,a+b=-3,a+5b=13。三個(gè)方程兩個(gè)未知數(shù)不符合中學(xué)生習(xí)慣。一句話就教會了：任取兩個(gè)方程（例如前兩個(gè)）求出唯一解，代入剩下一個(gè)方程檢驗(yàn)合格即可，不合格即無解。中學(xué)生知道的大學(xué)數(shù)學(xué)只有微積分。其實(shí)高等代數(shù)才是他們可以稍加點(diǎn)撥就可以用來攻克中學(xué)難題的利器。

草根注釋

同余類是抽象代數(shù)的內(nèi)容，但也是奧數(shù)培訓(xùn)必講的內(nèi)容。其基本概念和算法如余數(shù)、整除都是小學(xué)教的，再加上初中的字母運(yùn)算功夫，知識也就夠了，因此是奧數(shù)喜歡出題的領(lǐng)域。奧數(shù)喜歡的就是：簡單的概念和算法，很難想到的技巧，既不超綱又有分辨率。這些技巧，很多都是抽象代數(shù)中的定理，一般證明不容易，個(gè)案驗(yàn)證和應(yīng)用卻也不難，中間就只有一層窗戶紙，捅開就很平常，沒捅開就高不可攀。

再舉一個(gè)線性相關(guān)應(yīng)用例（勾股數(shù))：求滿足勾股定理x^2+y^2=z^2的全部正整數(shù)組(x,y,z)

解: 0=z^2-y^2-x^2=(z+y)(z-y)-x^2

(z+y)(z-y)=x^2 <=> (z+y)/x=x/(z-y)=n/m(既約分?jǐn)?shù)), 得z+y=xn/m,z-y=xm/n，m,n是互素整數(shù)，

并解出 z=x(n^2+m^2)/2mn, y=x(n^2-m^2)/2mn. 取x=2kmn,則y=k(n^2-m^2),z=k(n^2+m^2). 只要選k使三者都是整數(shù)即可。當(dāng)n,m同為奇數(shù),k取遍1/2的正整倍數(shù)。當(dāng)n,m一奇一偶,k取遍正整數(shù)

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