我回答另一個知乎問題【概率是什么？Sigma algebra, Borel field 是什么意思，意義何在？】剛好也適合這個問題，再補充一部分給你：
測度論是概率論的理論基礎，所以概率中的一些概念抽象化就是對應的測度論中的概念。
概率是要度量“事件發(fā)生的可能性”的大小，事件的抽象化描述就是集合，需要考察“事件的全體”，對應到測度論就是“集合系”?！笔录l(fā)生的可能性“是對事件的一種度量，對應到測度論就是“集合的測度”。
不是每個事件都可以定義其概率（發(fā)生的可能性的大小）的，對應的就是不是每個集合都可以定義測度，可以定義測度集合就是可測集。同時，事件必然要涉及到事件的組合運算（復雜事件是可由基本事件表示出來），對應的就是集合的交、并、差、余、極限的運算到復雜集合，所以又需要保證做可列次這些運算不能超出全體范圍（即可測集的范圍要足夠大，以保證集合的可列次交、并、差、余、極限的運算，之后還在里面）
那么什么樣的集合系，才能保證其中的集合是可測集（可以定義測度，又對那些運算封閉）呢？測度論中講了，只要集合系是σ-代數(shù)（也叫σ-域）就可以了。σ-代數(shù)的基本定義是：1. 全集在里面；2. 里面每個集合的余集在里面；3. 里面任意可列個集合的并集在里面。有了這三條基本定義，就可以推出：空集、可列次交、并、差、上限集、下限集運算之后都能在里面。就滿足需要了。
所以，集合X+該集合上的一個σ-代數(shù)F，（X，F(xiàn)）就是一個可測空間了，即可以定義測度的空間（F中任一集合都可以定義其測度（某種度量））。進一步再定義了測度μ，那么（X, F, μ）就是測度空間。
對應到概率論中，樣本空間Ω，事件域F（是個σ-代數(shù)），概率測度P，放一起（Ω，F(xiàn)，P）就是概率測度空間。概率測度P是滿足特殊要求的一種測度：P(Ω)=1.
Borel Feild就是Borel σ-代數(shù)，表示實數(shù)軸上的σ-代數(shù)，可由實軸上的所有開集生成（的σ-代數(shù)），也可由實數(shù)軸上所有的(-∞,a]這樣的區(qū)間生成（σ-代數(shù)），是相等的。按σ-代數(shù)前面說的，實數(shù)軸上開集、閉集的至多可列次交、并、差(余)、上限集、下限集、極限集的運算，都超不出該Borel σ-代數(shù)的范圍。
Borel σ-代數(shù)（我用Br表示）有什么用？其實概率論中的隨機變量，對應測度論中的可測函數(shù)，而可測函數(shù)就是從可測空間（X，F(xiàn))到（R，Br）的可測映射。
再說說隨機變量，前面說了概率論中要用集合表示事件，但事件五花八門，怎么統(tǒng)一用一種簡單的集合表示呢？這就用到映射的概念，建立一種從樣本空間（基本事件的全體）到實數(shù)軸的映射（一一對應）就可以了，這種映射就是隨機變量。有了它，基本事件映射到實數(shù)軸上就是的基本區(qū)間，基本事件經過運算生成的復雜事件，映射到實數(shù)軸上就是實數(shù)軸上Borel σ-代數(shù)中的集合。
因為有了這個對應關系，要度量“事件發(fā)生的可能性的大小”（即概率測度），只要度量“實數(shù)軸上Borel σ-代數(shù)中的集合” 就可以了（前面說了Br因為是σ-代數(shù)是可以定義測度的，給Br中的集合定義概率測度就行了）。
所以，隨機變量的測度論語言定義是這樣的：設（Ω，F(xiàn)，P）為概率測度空間，若對實數(shù)軸上Borel σ-代數(shù)中的任一集合（稱為Borel集）B，都有 {w∈Ω: X(w) ∈B} ∈F，則稱X(w)為隨機變量。
總之，隨機變量就是建立了“隨機事件”到“實數(shù)軸上Borel σ-代數(shù)”的一種對應，并且保證了建立了這種對應的隨機事件都是可以定義概率測度的。
既然隨機事件{w∈Ω: x(w) ∈B}屬于F，那么可以有概率，即P{w∈Ω: x(w) ∈B}是有意義的，為了簡單，概率中就記P{w∈Ω: X(w)∈B} = P{X ∈B} 了。
特別地，若取B=(-∞,x), 則事件{X∈B}的概率
P{X∈B} = P{X≤x} := F(x)
就定義成隨機變量X的分布函數(shù)。因為對任意的區(qū)間(a,b], 都可表示成
P{X ∈(a,b] } =P{a<X≤b} = P{X≤b} - P{X≤a} = F(b)-F(a)
進而，由這樣的區(qū)間經過至多可列次交、并、差運算的復雜的實數(shù)軸上的Borel集都可以用F(x)給出其概率。
當然，隨機變量也可以定義為從樣本空間到平面R2上的映射，就是二元隨機變量。
