學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1. 掌握一元一次、一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用；能解二元一次、二元二次、三元一次方程組，會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用。
2. 類比方程（組）的知識(shí)點(diǎn)，掌握不等式（組）的知識(shí)點(diǎn)。
二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)
1. 方程的有關(guān)概念，同解原理①②
2. 方程的分類
3. 一元一次方程
①，a一次項(xiàng)系數(shù)，b常數(shù)項(xiàng)
②求根公式：唯一實(shí)根
4. 一元二次方程
①
a二次項(xiàng)系數(shù)；b一次項(xiàng)系數(shù)；c常數(shù)項(xiàng)
②根的判別式：
③當(dāng)時(shí)，求根公式
④解法：
直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法
⑤當(dāng)時(shí)，根與系數(shù)a、b、c關(guān)系
，
⑥構(gòu)造以為根的方程
有無(wú)數(shù)個(gè)，構(gòu)造以1為二次項(xiàng)系數(shù)的
5. 分式方程
①定義；②解法：分式化整式，注意驗(yàn)根；③解的個(gè)數(shù)
6. 方程組的有關(guān)概念
7. 二元一次方程組，二元二次方程組，三元一次方程組
①解法思路：消元、降次
②方法：代入法、加減法
8. 解的情況：個(gè)數(shù)
9. 不等式的概念：，或，
10. 不等式的基本性質(zhì)①②③及同解原理
11. 不等式的解集及解法，解的個(gè)數(shù)
12. 利用數(shù)軸確定一元一次不等式組的解集
13. 注意類比的方法
14. 絕對(duì)值不等式、分式不等式要轉(zhuǎn)化成不等式組來(lái)解，可看作不等式組的應(yīng)用。
【典型例題】
例1. 已知關(guān)于x的方程與的解相同，求m的值。
解：的解為
的解為
兩個(gè)方程的解相同，
說(shuō)明：若要求x的值是多少，不必將m＝2代入原方程，只需代入或，得
例2. 解下列方程
（1）
（2）
解：（1）方程兩邊同乘12，得
去括號(hào)，得
移項(xiàng)，得
合并同類項(xiàng)，得
說(shuō)明：解一元一次方程是解其它方程的基礎(chǔ)，基本思路是把方程變形為最簡(jiǎn)方程，再求解。
（2）利用公式的基本性質(zhì)，原方程化為：
去分母，得
說(shuō)明：注意不要將分式的性質(zhì)和等式的性質(zhì)相混淆。
例3. 解下列方程
（1）
（2）
解：（1）設(shè)，則
原方程可化為
則有
整理，得
解得
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
，此方程無(wú)實(shí)根
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根。
（2）設(shè)，則
原方程化為
整理得
解得
當(dāng)時(shí)，
整理得
解得
當(dāng)時(shí)，
整理得
解得
經(jīng)檢驗(yàn)，都是原方程的根。
例4. 不解方程，判斷關(guān)于x的方程的根的情況。
解：原方程整理為
即，故原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。
例5. m為何值時(shí)，方程（1）無(wú)實(shí)根；（2）有實(shí)根；（3）只有一個(gè)實(shí)根；（4）有兩個(gè)實(shí)根；（5）有兩個(gè)不等實(shí)根；（6）有兩個(gè)相等實(shí)根。
解：（1）分兩種情況：
①當(dāng)m＝1時(shí)，方程為，它有一個(gè)實(shí)根，不符合題意，舍去；
②當(dāng)時(shí)，
只需，即時(shí)無(wú)實(shí)根
（2）分兩種情況，當(dāng)時(shí)，即
且時(shí)方程有兩個(gè)實(shí)根
當(dāng)m＝1時(shí)，方程為有一個(gè)實(shí)根
綜上所述，即時(shí)，方程有實(shí)根
（3）當(dāng)m＝1時(shí)，方程為一元一次方程，只有一個(gè)實(shí)根
（4）當(dāng)，即且時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根
（5）當(dāng)，即且時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根
（6）當(dāng)，即時(shí)方程有兩個(gè)相等實(shí)根
說(shuō)明：一定要注意審題，區(qū)別題目的不同問(wèn)法。
例6. 已知關(guān)于x的一元二次方程（m為實(shí)數(shù)）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和大于零，求m的取值范圍。
解：由題意知，應(yīng)滿足
解由<1>知：
由<2>得：
把<3>、<4>代入<5>，得：
綜上所述，且
說(shuō)明：解決這類題目，常常需要列出五個(gè)條件。在本題中，<1>式因?yàn)槭且辉畏匠蹋识雾?xiàng)系數(shù)；<2>式因?yàn)橛袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，故；<3>、<4>為一元二次方程根與系數(shù)的兩個(gè)關(guān)系式；<5>是本題關(guān)于一元二次方程兩實(shí)根的特殊條件。這五個(gè)條件綜合起來(lái)，此題方可解出。所以同學(xué)在審題時(shí)一定要認(rèn)真分析題目中的每個(gè)詞語(yǔ)，不要遺漏條件，特別要注意挖掘隱含條件。
例7. （1）設(shè)是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，求證：；
（2）如果關(guān)于x的方程及方程均有實(shí)數(shù)根，問(wèn)方程與方程是否有相同的根？若有，請(qǐng)求出這個(gè)相同的根；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由。
證明：（1）由題意，得
即原等式成立。
（2）解：設(shè)方程與方程有相同的實(shí)數(shù)根a，則可得：
，變形為
即
若，則，代入方程及
兩方程均為，，無(wú)實(shí)根
，即
則，即
兩個(gè)方程有相同的實(shí)數(shù)根。
說(shuō)明：第（2）問(wèn)的解法是有關(guān)“兩個(gè)一元二次方程有相同根”問(wèn)題的一個(gè)常見(jiàn)解法，注意分類討論。
例8. 已知：是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)根，且，求m的值。
解：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，有：
均不為零
，即異號(hào)
取
設(shè)，則
整理得
將和分別代入中，符合
反思：
通過(guò)此題的分析及解題過(guò)程，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
（1）由去掉絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，一定要考慮的正、負(fù)；
（2）求m的過(guò)程中，通過(guò)設(shè)參數(shù)較為簡(jiǎn)便，也可利用的關(guān)系代入去求；
（3）求出m的值后，還應(yīng)代入去檢驗(yàn)是否符合。
例9. 解方程組：
解法一：（用代入法）
由<2>得：
把<3>代入<1>得：
整理，得
把代入<3>，得
把代入<3>，得
原方程組的解為，
解法二：（用因式分解法）
方程<1>可化為
即
或
原方程組可化為：
和
分別解得，
說(shuō)明：此題為I型二元二次方程組，一般可用代入法求解，當(dāng)求出一個(gè)未知數(shù)的值后，一定要代入到二元一次方程中去求另一個(gè)未知數(shù)的值。
例10. 解方程組
解：由<1>得：
或
由<2>，得
或
原方程組化為以下四個(gè)方程組：
，，，
原方程組的解為：
說(shuō)明：此題為II型二元二次方程組，要注意根據(jù)方程的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄈソ狻?/span>
例11. 解下列方程組：
（1）
（2）
（3）
（1）分析：此題是I型二元二次方程組，可以用代入法來(lái)解，再介紹另外一種解法。
解：方程<1>是x與2y的和，方程<2>是x與2y的積
x與2y是方程的兩個(gè)根
解此方程得
或
即原方程組的解是，
（2）解：得：
，
得：
可化為以下四個(gè)方程組：
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