寒假專題——方程與根的判別式、根與系數(shù)的關系有關問題及應用
學習目標：
1. 復習一元二次方程解法，判別式，根系關系，深化提高認識，在此背景下，結合幾何、三角或其他代數(shù)知識解決問題。
2. 掌握方程與生產、生活及市場經濟有關的應用，能正確理解題目意義，建立數(shù)學模型，最終解題。
3. 通過練習一些中考熱點，重點考題，明確考試的范圍及要求程度。
二. 重點、難點
對基礎知識熟練掌握是本節(jié)重點；難點是靈活應用新舊知識，融匯貫通。
【典型例題】
例1. 若方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和是S，求S的取值范圍。
解：設方程的兩個實數(shù)根為，則
，
方程有兩個實數(shù)根
，且
且
由，得
，且
且
例2. 已知是關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，且，求的值（含有m代數(shù)式）
解：已知方程有兩個不等實數(shù)根
由根與系數(shù)關系知
由此可知的符號與m有關
（1）當時，
此時，與同號
又
，
（2）當m＝1時，，此時方程為，它的兩根為，
，
（3）當時，，則與異號
為正，為負
例3. 已知關于x的方程（p為實數(shù)）
（1）求證：此方程必有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）設、是關于x的方程的兩個根，且，若和是方程的兩根，求實數(shù)q的值。
證明：（1）
關于x的方程必有兩個不相等的實數(shù)根
（2）
是方程的兩根
由<2>得：
由<1>，
符合題意
例4. 已知關于x的方程，其中m為實數(shù)，當m為何值時
（1）方程沒有實數(shù)根？
（2）方程恰有三個互不相等的實數(shù)根？求出這三個實數(shù)根。
解：（1）令，則原方程可化為
解得
由此得①或②
對于①由，得
對于②由，得
當時，原方程沒有實數(shù)根
（2）由（1）可得，當時，方程①有兩個相等的實數(shù)根，但此時，方程②沒有實數(shù)根，不合題意；當時，方程②有兩個相等的實數(shù)根，此時方程①有兩個不相等的實數(shù)根
當時，原方程有三個互不相等的實數(shù)根
例5. 關于x的方程①與②，若方程①的兩個實數(shù)根的平方和等于方程②的一個整數(shù)根，求m的值。
解：設方程①的實數(shù)根，
③
， ④
⑤
由方程②解得
若
即，即
，此時（舍）
故應舍去
若，則，即
當時，（舍去）
當時，是整數(shù)根，且滿足不等式③
因此方程①的根是實數(shù)
例6. 已知，關于x的方程①的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于3，關于x的方程②有實數(shù)根，且k為正整數(shù)，求代數(shù)式的值。
解：設方程①的兩個實數(shù)根為，根據題意
即 ③
解得
經檢驗是方程③的解，且使方程有實數(shù)根
將代入方程②，得
當時，一元一次方程有實數(shù)根
，當時，方程②為一元二次方程，且
解得
又k為正整數(shù)，且
，而時代數(shù)式無意義
綜上所述，代數(shù)式的值為0
例7. 某商店從廠家以每件21元價格購進一批商品，該商店可以自行定價，若每件商品售價為a元，則可賣出件，但物價局限定每件商品加價不能超過進價的20％，商店計劃賺400元，需要賣出多少件商品？每件商品應售價多少元？
解：設每件商品應售價x元，才能使商店賺400元
又
而
舍去，
當時，
答：該商店需賣出100件商品，每件商品應售價25元才能使商店賺400元。
例8. 為了參加北京市申辦2008年奧運會活動，（1）某班學生爭取到制作240面彩旗的任務，有10名學生因故沒有參加制作，因此這班的其余學生人均均要比原計劃多做4面彩旗才能完成任務，問這個班有多少名學生？（2）如果有兩邊長分別為1，a（其中a>1）的一塊矩形綢布，要將它剪裁出三面矩形彩旗（面料無剩余），使每面彩旗的長，寬之比與原綢布的長、寬之比相同，畫出兩種不同裁剪方法的示意圖，并寫出相應a的值。
解：（1）設這個班有x名學生，那么實際參加彩旗制作的學生有（x－10）名
經檢驗，都是原方程的根
但不合題意，舍去
答：這個班有30名學生
（2）示意圖
① ② ③ ④
【模擬試題】（答題時間：40分鐘）
一. 選擇題
1. 關于x的方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)，則a＝_________。
A. B. C. D.
2. m為（ ）時，關于x的方程有兩個負實數(shù)根
A. 1，2 B. 1，2，3
C. 2，3 D. 1，3
3. 關于x的方程的兩實數(shù)根都小于1，則m（ ）
A. B. C. D.
4. 已知實數(shù)a、b滿足，，則（ ）
A. 5 B. C. 5或 D. 5或
5. 某商場于第一年初投入50萬元進行商品經營，以后每年年終將當年年初投入資金相加所得的總資金作為下一年年初投入資金繼續(xù)進行經營，如果第一年的年獲利率為P，則第一年年終的總資金可用代數(shù)式表示為（ ）萬元
A. B.
C. D.
二. 填空
6. 商店里有種型號的電視機，每臺售價1200元，可盈利20％，現(xiàn)有一客商以11500元總價購買了若干臺這種型號的電視機，利潤15％，若設客商買了x臺電視，則商店每臺電視機進價為__________，由題列方程_______________，解得_______________。
7. 某商場今年一月份銷售額100萬元，二月份銷售額下降了10％，該商場采取措施，銷量大增，四月達129.6萬元，則三、四月平均月銷售額增長的百分率為_________。
8. 若三個方程，，中至少有一個方程有實數(shù)根，則a___________
9. 已知為的兩實數(shù)根，且，則m________
三. 解答題
10. 已知①只有整數(shù)值，且②有兩個實數(shù)根
（1）當k為整數(shù)時，求k
（2）在（1）條件下，若，用關于m的代數(shù)式表示
11. 制造一種產品，原來每件成本價500元，銷售價625元，經市場預測，該產品銷售價第一個月將降低20％，第二個月將比第一個月提高6％，為使兩月后的原銷售利潤不變，該產品成本價平均每月應降低百分之幾？
【試題答案】
一. 選擇
1. A 2. B 3. C 4. D 5. B
二. 填空
6. ，，
7. 20％
8. 或
9. m＝1或5
三. 解答題
10. 解：（1）當時，方程①可化為，，方程①可化為
方程①的根是整數(shù)，所以k為整數(shù)的倒數(shù)
k是整數(shù)，
但當時，不是一元二次方程
舍去
（2）當時，方程②化為
∵方程②有兩個實數(shù)根，
即，又
當時，
當時，方程②化為，方程有兩個實數(shù)根
，即
，當時，方程②無實根
當時，
11. 該產品的成本價應降低百分之十
