［學(xué)習(xí)目標(biāo)］
1. 形如的函數(shù)叫一次函數(shù)，它的定義域是全體實(shí)數(shù)，如果
，一次函數(shù)
就叫正比例函數(shù)
。
掌握一次函數(shù)及正比例函數(shù)的意義，弄清兩者之間的關(guān)系。
2. 了解一次函數(shù)及正比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)。
（1）正比例函數(shù)圖象
①過(guò)（0，0），（a，ka）a≠0兩點(diǎn)的直線
②圖象過(guò)兩個(gè)象限，若，則過(guò)一、三象限。
若，則過(guò)二、四象限。
③增減性：若，則y隨x的增大而增大，減小而減小。
若，則y隨x的增大而減小，減小而增大。
④k，斜率，衡量直線傾斜程度，是決定解析式的唯一待定系數(shù)。
⑤與坐標(biāo)軸交于一點(diǎn)原點(diǎn)（0，0）。
（2）一次函數(shù)圖象
①過(guò)（0，b），（a，ka+b）a≠0兩點(diǎn)的直線。
也是過(guò)（0，b），（，0）兩點(diǎn)的直線。
②圖象過(guò)三個(gè)象限：
a. 若，則過(guò)一，二，三象限；
b. 若，則過(guò)一，三，四象限；
c. 若，則過(guò)一，二，四象限；
d. 若，則過(guò)二，三，四象限。
③增減性
（同正比例函數(shù)）
④k 斜率 k，b是待定系數(shù)
⑤與坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn)（0，b），（，0）。
b叫在y軸上的截距，叫在x軸上的截距。
⑥與兩軸圍成直角三角形，周長(zhǎng)，面積。
3. 圖象作法
兩點(diǎn)法（兩點(diǎn)確定一條直線）。
［學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)］
一次函數(shù)概念、圖象、性質(zhì)是重點(diǎn)，其中性質(zhì)的掌握與應(yīng)用是難點(diǎn)。
【典型例題】
例1. 在中，當(dāng)常數(shù)n為何值時(shí)，y是x的正比例函數(shù)。
解：由正比例函數(shù)的定義知：
由②
由①
當(dāng)時(shí)y是x的正比例函數(shù)。
例2. 已知，這里p是一個(gè)常數(shù)，z與x成正比例，且時(shí)，時(shí)，。
（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如果x的取值范圍是，求y的取值范圍。
解：（1）∵z與x成正比例
∴設(shè)z=kx（k≠0為常數(shù)）
∴
將分別代入
∴之間的函數(shù)關(guān)系是。
（2）根據(jù)，分別把
代入中，得
∴當(dāng)時(shí)，有。
例3. 已知正比例函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)A（），B（），當(dāng)時(shí)，有，那么m的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
解：∵
∴，
又∵
∴
∴，故選A。
例4. 關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)，求y與t的函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍。
解：由方程有兩實(shí)根知
∴所求函數(shù)解析式為。
例5. 一次函數(shù)的圖象是（ ）
解：選C，用矛盾排除法。
例6. 對(duì)于一次函數(shù)，如果y隨x的增大而增大，且它的圖象與y軸交點(diǎn)在x軸下方，試求m的取值范圍。
解：∵一次函數(shù)y隨x的增大而增大，
∴，
又∵一次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，
∴
故所求m的取值范圍是。
例7. 已知一次函數(shù)，
（1）求其圖象與坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積；
（2）求其圖象與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度；
（3）求原點(diǎn)到該圖象的垂線段OC的長(zhǎng)度。
解：（1）設(shè)一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為A，B
當(dāng)
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）
同理，B（0，4）
（2）由勾股定理
（3）設(shè)原點(diǎn)到該圖象的垂線段長(zhǎng)度|OC|，則
即
∴。
例8. 在一次函數(shù)中，當(dāng)常數(shù)a為何值時(shí)，y隨x增大而減小，且與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－1？
解：由題意，
∴
∴當(dāng)時(shí)，y隨x增大而減小，且與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－1。
例9. 已知點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)P（x，y）在第一象限，且，設(shè)△OPA的面積為S。
（1）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求x的取值范圍；
（3）求S=12時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）作函數(shù)圖象。
解：（1）過(guò)P作PB⊥x軸，垂足為B，由點(diǎn)P在第一象限可知PB=y，（如圖1）
圖1
∴
又
代入有
即：為所求。
（2）其中由在第一象限可知
（3）當(dāng)S=12時(shí)，，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)（4，4）
（4）函數(shù)圖象為一條不包括兩端點(diǎn)的線段，其中端點(diǎn)（0，24），（8，0）。（如圖2）
圖2
例10. 已知直線在y軸上截距－2，且y隨x的增大而減小，求m的值。
解：由題
【模擬試題】（答題時(shí)間：100分鐘）
一、選擇題
1. 已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)一、二、三象限，則（ ）
A. B.
C. D.
2. 當(dāng)一次函數(shù)取不同k值時(shí)可以得到不同的直線，這些直線必（ ）
A. 相交于一個(gè)定點(diǎn)
B. 互相平行
C. 有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)
D. 以上答案均不對(duì)
3. 如圖，已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)一、三、四象限，則有（ ）
A. B.
C. D.
4. 直角坐標(biāo)系中，若直線與直線相交于x軸，則直線不經(jīng)過(guò)的象限為（ ）
A. 第四象限 B. 第二象限
C. 第一象限 D. 第三象限
二、填空
5. 當(dāng)m=____________時(shí)，函數(shù)是正比例函數(shù)，且圖象在一、三象限。
6. 若正比例函數(shù)的函數(shù)值隨x的增大而減小，則相應(yīng)的一次函數(shù)經(jīng)過(guò)____________象限。
7. 某商店進(jìn)了一批貨，每件2元，出售時(shí)每件加利潤(rùn)5角，如果售出x件，應(yīng)收入貨款y元，那么y與x的函數(shù)關(guān)系是____________。
三、解答題：
8. 如果正比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)M（3，4），如圖，并且正比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象與y軸圍成三角形的面積等于，求這兩個(gè)函數(shù)的解析式。
9. 直線沿y軸平移后通過(guò)點(diǎn)（－1，3）
（1）求平移后直線在y軸上的截距；
（2）直線沿y軸平移了幾個(gè)單位；
[期中模擬試題]
一、選擇題（共32分，1—10題每小題2分，11—14題每小題3分）
下列各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的。
1. 方程化為一元二次方程的一般形式后，它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（ ）
A. B.
C. 5、2、3 D.
2. 方程的根是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知一元二次方程的兩根為等于（ ）
4. 分式方程的解是（ ）
A. B.
C. D.
5. 點(diǎn)P（1，－2）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)是（ ）
A. （1，2） B. （－1，2）
C. （－2，1） D. （－1，－2）
6. 函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
7. 一次函數(shù)的圖象如圖1所示，則（ ）
圖1
A. B.
C. D.
8. 在△ABC中，∠C=90°，AB＝7，BC＝5，則（ ）
A. B.
C. D.
9. 在△ABC中，∠C是直角，如果，那么cosB值是（ ）
A. B. C. D.
10. 若，則下面各式正確的表達(dá)式是（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么（ ）
A. B.
C. D.
12. 小明沿坡度是1：2.4的斜坡前進(jìn)26米，則他升高（ ）
A. 10米 B. 5米 C. 13米 D. 2.4米
13. 如果時(shí)，下列不等式成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
14. 已知等于（ ）
A. B.
C. D.
二、填空題（共18分，每小題3分）
1. 用換元法解方程：若設(shè)，則所得關(guān)于y的一元二次方程為______________________。
2. 函數(shù)的自變量的取值范圍是______________________。
3. 在△ABC中，則∠B＝___________。
4. 方程的解是______________________。
5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若a：b＝2：3，則sinB＝___________。
6. 如圖，兩人在一次賽跑中，路程s與時(shí)間t的關(guān)系如圖2所示：
圖2
則在這次賽跑中甲、乙的平均速度分別為______________________米/秒。
三、（本題共24分，每小題6分）
1. 解方程：
2. 解方程組：
3. 計(jì)算：
4. 已知：在△ABC中，∠C=45°，∠B=120°，AB=4，求AC長(zhǎng)。
四、（本題6分）
已知一次函數(shù)與正比例函數(shù)交于點(diǎn)P（），求m及b。
五、（本題共10分，每小題5分）
1. 如圖3，某直升飛機(jī)于空中A處觀測(cè)到地面控制點(diǎn)C的俯角是30°；若飛機(jī)航向不變繼續(xù)向前飛行2千米至B處，觀測(cè)到控制點(diǎn)C的俯角是45°，問(wèn)飛機(jī)沿此方向再向前飛行多少千米與地面控制點(diǎn)C的距離最近？（結(jié)果保留根號(hào)）
圖3
2. 列方程或方程組解應(yīng)用題：
某商場(chǎng)今年一月份銷售額是80萬(wàn)元，二月份銷售額下降20%，后改進(jìn)經(jīng)營(yíng)管理，月銷售額大幅度上升，四月份銷售額已達(dá)100萬(wàn)元，求三、四月份平均每月銷售額增長(zhǎng)的百分率是多少？
六、（本題6分）
已知一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于A（m，0）和B（0，n）兩點(diǎn)且m，n是方程的兩根，
（1）求一次函數(shù)的解析式。
（2）求直線與x軸正向夾角的正切。并判斷此值與一次函數(shù)的解析式是否有關(guān)，若有關(guān)，試說(shuō)出得到的結(jié)論。
七、
已知：△ABC中，∠C=90°，關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的值。
【試題答案】
一、選擇題：
1. B 2. A 3. C 4. D
二、填空題：
5. 3 6. 二、三、四 7.
三、解答題：
8. 設(shè)正比例函數(shù)為，一次函數(shù)
∵兩函數(shù)都經(jīng)過(guò)M（3，4）
∴
又∵
故這兩個(gè)函數(shù)解析式為
或
9. （1）設(shè)平移后直線的函數(shù)的解析式為：
∵它與平行
∴，又直線過(guò)點(diǎn)（－1，3），
于是
，
所以所求直線為，截距為6。
（2）由，得直線沿y軸向上平移了8個(gè)單位。
[期中模擬試題答案]
一、選擇題（共32分，1—10題每小題2分，11—14題每小題3分）
1. B 2. D 3. A 4. B 5. A
6. D 7. D 8. A 9. A 10. C
11. D 12. A 13. D 14. D
二、填空題（共18分，每小題3分）
1.
2.
3. 60°
4.
5.
6. 米/秒 8米/秒
三、（本題共24分，每小題6分）
1. 解：設(shè)則
即
當(dāng)
即：
當(dāng)
即：
經(jīng)檢驗(yàn)：均為原方程的根。
所以原方程的根是：
2. 解：
由①得 ③，把③代入②
把
把
所以原方程組的根是
3. 解：原式
4. 解：延長(zhǎng)CB到D，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CD交CB延長(zhǎng)線于D，在Rt△ABD中
∵∠ABC=120°，∠CBD=180°，
∴
在Rt△ACD中
四、（本題6分）
解：（1）由題意
五、（本題共10分，每小題5分）
解：過(guò)C作CD⊥AB交AB延長(zhǎng)線于D，
在Rt△CBD中
在Rt△ADC中
答：飛機(jī)再飛行（）千米離控制點(diǎn)C最近。
2. 解：設(shè)三、四月平均月增長(zhǎng)率為x
答：三、四月平均月增長(zhǎng)率為25%
六、（本題6分）
解：（1）令x=0，則y=b
綜①②所述，一次函數(shù)的解析式
（2）①若一次函數(shù)為，則A（2，0），B（0，－4）
設(shè)所求角為α
②
所以一次函數(shù)與x軸正向所交銳角的正切值為該一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)k。
七、解：由題意
【勵(lì)志故事】
永遠(yuǎn)做一個(gè)勤奮的人
在美國(guó)，有一個(gè)人在一年之中的每一天里，幾乎都做著同一件事：天剛放亮，就伏在打字機(jī)前開(kāi)始一天的寫作。這個(gè)男人名叫斯蒂芬·金，是國(guó)際上著名的小說(shuō)大師。
斯蒂芬·金的經(jīng)歷十分坎坷，他曾經(jīng)潦倒得連電話費(fèi)都交不出，電話公司因此而掐斷了他的電話線。后來(lái)，他成了世界上著名的恐怖小說(shuō)大師，整天稿約不斷，常常是一部小說(shuō)還在他的大腦中儲(chǔ)存著，出版社高額的定金就支付給了他。如今，他算是世界大富翁了，可他仍然是在勤奮的創(chuàng)作中度過(guò)的。
斯蒂芬·金的秘訣很簡(jiǎn)單，只有兩個(gè)字：勤奮。一年之中，他只有三天時(shí)間是例外的，不寫作。這三天是：生日，圣誕節(jié)，美國(guó)獨(dú)立日（國(guó)慶節(jié)）。勤奮給他帶來(lái)的好處是，永不枯竭的靈感。學(xué)術(shù)大師季羨林老先生曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“勤奮出靈感?！?/span>
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