多面體部分復習
二. 知識結構：
【典型例題】
[例1] 斜三棱柱的底面是等腰三角形ABC，AB=10，AC=10，BC=12，棱柱頂點A1到A、B、C三點等距離，側棱長是13，求該三棱柱的側面積。
解題：解法1：如圖1，取BC的中點D，連結AD，則BC⊥AD
作A1O⊥底面ABC于O，則由已知，點O在AD上，故
即側面BCC1B1為矩形，
取AB中點E，連結OE、
由，則A1E⊥AB
由已知可求得
則
即側面積為396
圖1
解法2：如圖2，取BC中點D，連結AD、A1D、A1B、A1C
作DE⊥AA1于E，連結BE、CE，則平面BCE，故AA1⊥BE，AA1⊥CE
即為棱柱的直截面
故（的周長）×側棱長
在等腰三角形中，，則故
同理
所以
圖2
小結：斜棱柱的側面積的計算可利用求各側面的面積和，如解法1，也可利用求直截面的周長與側棱之積，如解法2。
[例2] 已知正四棱柱，點E在棱上，平面AEC，且平面AEC與底面ABCD所成的角為，求：三棱錐的體積。
解題：解法1：如圖3所示，連結BD交AC于O
則為面AEC與底面ABCD所成的二面角的平面角，即
易得AC=BD=，，
故四邊形B DD1B1為正方形
連結B1D交BD1于P，交EO于Q
由B1D⊥BD1，EO//BD1，則B1D⊥EO
故B1D⊥面AEC，則B1Q為三棱錐的高
由DO=DQ，則B1Q
又
故
圖3
解法2：連結B1O，則三棱錐可以看成由三棱錐和三棱錐合成的，故
而由E、O分別為正方形BDD1B1、DD1、BD的中點，則
故
小結：解法1直接利用錐體體積公式求解，而解法2利用切割的方法，將所求三棱錐的體積分割成兩個三棱錐體積之和，合理分割或拼補可以簡化體積運算，這需要一定的空間想象能力和邏輯推理能力，應加強這方面的訓練。
[例3] 已知某三棱錐的側棱長均為，側面三角形的頂角中有兩個均為，另一個為，求該三棱錐的體積。
解題：如圖4，設三棱錐P—ABC中，，PA=PB=PC=
作AO⊥平面PBC于O，由∠APB=∠APC則O在∠BPC的平分線上
故∠BPO=∠CPO=
作OE⊥BP于E，OF⊥CP于F，連結AE、AF，則AE⊥BP，AF⊥CP，且AE=AF
在中，，
在中，
在中，
又
則
由，故所求三棱錐的體積為
圖4
小結：本題若直接計算以為底面的三棱錐P—ABC的體積，運算非常繁瑣，但利用體積交換轉化求等體積的另一個三棱錐，問題就非常簡單了，我們在有關體積的計算問題中，經常運用這種體積變換的思想方法。
[例4] 如圖5，平行四邊形ABCD中，，M，N分別是邊CD、AB的中點，沿MN將面ADMN折起
（1）當二面角A—MN—B為時，求三棱柱ABN—DCM的側面積和體積；
（2）當二面角A—MN—B為多大時，這個三棱柱體積有最大值，并求出該最大值。
圖5
解題：（1）折疊前，連結BD，并設
在中，AD=a，AB=2a，，由余弦定理，有
由，則AD⊥BD，又由MN//AD，故BD⊥MN于點O
折疊后，由BO⊥MN，DO⊥MN，則為二面角A—MN—B的平面角，即
由，則
連結BD，正三角形BOD為三棱柱的直截面，故
（2）設，由直截面為，并且
故三棱柱的體積為
當，即時，三棱柱體積有最大值為
小結：棱柱的側面積可用直截面的周長與側棱長乘積求得，棱柱的體積除用底面積與高乘積求得外，還可利用直截面面積與側棱乘積求得，設棱柱高為，側棱為，則體積公式為：或。
[例5] 如圖6，正三棱錐A—BCD中，底面邊長為，側棱長為，過點B作與棱AC，AD相交的截面，在這樣的截面三角形中
（1）求周長的最小值；
（2）求周長最小時截得小三棱錐的側面積；
（3）求用此周長最小的截面所截的小三棱錐與原棱錐體積之比。
圖6
解題：（1）如圖7，將正三棱錐的側面沿側棱AB展開，當B、E、F共線時，BE、EF、FB長度之和即的長，為截面周長的最小值。
在中，，由余弦定理，有
由，則
在中，。由余弦定理有
故截面的最小值為
圖7
（2）小三棱錐A—BEF的側面積即的面積，由
則=
故
故截面周長最小時，截得小三棱錐A—BEF的側面積為
（3）當棱錐截面周長最小時，有EF//CD，過A作AQ⊥CD，交CD于Q，交于P
在中，
在中，
由EF//CD，則
由，則
即截面周長最小時，小三棱錐與原棱錐體積之比為
小結：在空間圖形中，若求某幾何體兩個面內兩點的最短距離時，常把幾何體沿棱或母線展開成平面圖形，從而把空間折線或曲線轉化成平面圖形的直線來處理。
[例6] 如圖8，已知四棱柱，ABCD為菱形，AB=2，AA1=1，
（1）求直線與平面所成的角；
（2）求二面角的大小；
（3）求四棱柱的體積。
圖8
解：（1）由與平面所成角即與平面所成的角，菱形ABCD中BC=AB=2，
中，
同理平面與平面成直角
（2）在菱形中，取的中點，連則
連CE ∵ CC1⊥平面B1CD1是二面角的平面角
菱形中，，得為正三角形
為中線 ∴ 中，
∴ ∴ 即為所求
（3），菱形
∴ ∴
∵ （）
∴
[例7] 如圖9所示，已知平行六面體的底面ABCD是菱形，且
（1）證明：；
（2）假定CD=2，，記面C1BD為，面CBD為，求二面角的平面角的余弦值；
（3）當的值為多少時，能使平面？請給出證明。
圖9
解題：（1）連結，設AC與BD相交于O，連結
∵ 四邊形ABCD是菱形 ∴ AC⊥BD，BC=CD
又 ∵ ∴
∴ ∵ DO=OB ∴ 但AC⊥BD，
∴ BD⊥平面AC1 ∴ 平面 ∴ C1C⊥BD
（2）由（1）知AC⊥BD，C1O⊥BD
∴ 是二面角的平面角
在中，BC=2，
∴ ∵
∴ ∴
∴ ，即 作，垂足為H
∴ 點H是OC的中點，是 ∴
（3），能使A1C⊥平面C1BD
證法1：∵ ∴ BC=CD=C1C 又 ∵
∴ BD=C1B=C1D ∴ 三棱錐是正三棱錐
設與C1O相交于G ∵ ，且
∴ 又 C1O是正的BD邊上的高和中線
∴ 點G是正的中心 ∴ CG⊥平面C1BD 即A1C⊥平面C1BD
證明2：由（1）知BD⊥平面AC1 又由平面
∴ BD⊥A1C 當時，平行六面體六個面全等
同BD⊥A1C的證法，可得BC1⊥A1C 又由
∴ A1C⊥平面C1BD
小結：本題為2000年高考試題，以多面體或旋轉體為背景，綜合考查空間線線、線面和面面的位置關系以及空間想象能力和邏輯推理能力，是高考試題中的常見題型。
【模擬試題】
一. 選擇題：
1. 棱柱成為直棱柱的一個必要但不充分的條件是（ ）
A. 棱柱有一條側棱與底面垂直
B. 棱柱有一條側棱與底面的兩條邊垂直
C. 棱柱有一個側面是矩形且它與底面垂直
D. 棱柱有兩個相鄰的側面互相垂直
2. 下列棱柱中為長方體的是（ ）
A. 直平行六面體
B. 對角面是全等矩形的四棱柱
C. 側面都是矩形的直四棱柱
D. 底面是矩形的直棱柱
3. 下面說法中正確的是（ ）
（1）若棱錐的側棱都相等，則頂點在底面上的射影是底面三角形的外心
（2）側面與底面所成的二面角都相等，側棱與底面所成的角也相等的棱錐是正棱錐
（3）若棱錐的頂點在底面的射影是底面三角形的垂心，則棱錐的對棱必互相垂直
（4）側面都是等腰三角形的棱錐一定是正棱錐
A.（1）（2）（3）（4） B.（1）（2）（4）
C.（1）（3）（4） D.（1）（2）（3）
4. 兩個對角面都是矩形的平行六面體（ ）
A. 正方體 B. 長方體
C. 直平行六面體 D. 正四棱柱
5. 三棱柱的底面是邊長為4的正三角形，側棱長為8，一條側棱與底面相鄰兩邊均成角，則這三棱柱的側面積為（ ）
A. B. C. D.
二. 填空題：
1. 長方體的一條對角線長為，且有兩個側面的對角線長分別為5和，則該長方體的全面積等于 。
2. 若正三棱錐的全面積是底面積的4倍，則此正三棱錐側面與底面所成的二面角等于
。
三. 解答題：
1. 在平行六面體中，已知AB=AD=，，=
（1）求證：AA1平面B1D1C；
（2）求平行六面體的體積。
【試題答案】
一.
1. B
提示：A、C、D均為充要條件。
2. D
提示：利用長方體的定義。
3. D
提示：（4）是不正確的。
4. C
提示：由對角面都是矩形可得側棱與底面垂直，故選C。
5. D
提示：側面有兩個全等的平行四邊形，一個矩形，故
二.
1. 52
提示：設長方體三度分別為。由已知有，，，則，，即，故全面積為
2.
提示：設側面與底面所成的二面角為，則，故
三.
1.（1）證明：由，，
根據余弦定理，求得
由勾股定理逆定理知，即
又 ∵ ∴ ，同理，即
又，故面
（2）由CC1//AA1，則面，即為棱錐的高
而 故
