空間幾何體的表面積和體積
球、柱、錐、臺的表面積和體積的計算公式及其應(yīng)用
二. 課標要求：
了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式。
三. 命題走向
近些年來在高考中不僅有直接求多面體、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積問題，也有已知面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關(guān)系問題。即使考查空間線面的位置關(guān)系問題，也常以幾何體為依托.因而要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)以及它們的求積公式.同時也要學會運用等價轉(zhuǎn)化思想，會把組合體求積問題轉(zhuǎn)化為基本幾何體的求積問題，會用體積轉(zhuǎn)化求解問題，會把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，會運用“割補法”等求解。
由于本講公式多反映在考題上，預(yù)測2008年高考有以下特色：
（1）用選擇、填空題考查本章的基本性質(zhì)和求積公式；
（2）考題可能為：與多面體和旋轉(zhuǎn)體的面積、體積有關(guān)的計算問題；與多面體和旋轉(zhuǎn)體中某些元素有關(guān)的計算問題；
［教學過程］
（一）基本知識要點回顧
1. 多面體的面積和體積公式
名稱 | 側(cè)面積（S側(cè)） | 全面積（S全） | 體 積（V） | |
棱 柱 | 棱柱 | 直截面周長×l | S側(cè)+2S底 | S底·h=S直截面·h |
直棱柱 | Ch | S底·h | ||
棱 錐 | 棱錐 | 各側(cè)面面積之和 | S側(cè)+S底 |
|
正棱錐 |
| |||
棱 臺 | 棱臺 | 各側(cè)面面積之和 | S側(cè)+S上底+S下底 |
|
正棱臺 |
| |||
表中S表示面積，c′、c分別表示上、下底面周長，h表示高，h′表示斜高，l表示側(cè)棱長。
2. 旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式
名稱 | 圓柱 | 圓錐 | 圓臺 | 球 |
S側(cè) | 2πrl | πrl | π（r1+r2）l |
|
S全 | 2πr（l+r） | Πr（l+r） | π（r1+r2）l+π（r21+r22） | 4πR2 |
V | πr2h（即πr2l） |
|
|
|
表中l、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，r1、r2分別表示圓臺上、下底面半徑，R表示半徑。
【典型例題】
例1. 一個長方體全面積是20cm2，所有棱長的和是24cm，求長方體的對角線長.
解：設(shè)長方體的長、寬、高、對角線長分別為xcm、ycm、zcm、lcm
依題意得：
由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）
由（3）－（1）得x2+y2+z2=16
即l2=16
所以l=4（cm）。
點評：涉及棱柱面積問題的題目多以直棱柱為主，而直棱柱中又以正方體、長方體的表面積多被考查。我們平常的學習中要多建立一些重要的幾何要素（對角線、內(nèi)切）與面積、體積之間的關(guān)系。
例2. 如圖所示，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=。
（1）求證：頂點A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分線上；
（2）求這個平行六面體的體積。
解：（1）如圖，連結(jié)A1O，則A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，連結(jié)A1M，A1N。由線面垂直得A1M⊥AB，A1N⊥AD?！摺?/span>A1AM=∠A1AN，
∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA，∴A1M=A1N，
從而OM=ON。
∴點O在∠BAD的平分線上。
（2）∵AM=AA1cos=3×=
∴AO==。
又在Rt△AOA1中，A1O2=AA12 – AO2=9－=，
∴A1O=，平行六面體的體積為。
點評：垂直問題的證明和柱體的體積公式的應(yīng)用。
例3. （2000全國，3）一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是，這個長方體對角線的長是（ ）
A. 2 B. 3 C. 6 D.
解：設(shè)長方體共一頂點的三邊長分別為a=1，b＝，c＝，則對角線l的長為l=；答案D。
點評：解題思路是將三個面的面積轉(zhuǎn)化為解棱柱面積、體積的幾何要素—棱長。
例4. 如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分別為AB、AC 的中點，平面EB1C1將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分，那么V1∶V2= ____ _。
解：設(shè)三棱柱的高為h，上下底的面積為S，體積為V，則V=V1+V2＝Sh。
∵E、F分別為AB、AC的中點，
∴S△AEF=S，
V1=h（S+S+）=Sh
V2=Sh-V1=Sh，
∴V1∶V2=7∶5。
點評：解題的關(guān)鍵是棱柱、棱臺間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立起求解體積的幾何元素之間的對應(yīng)關(guān)系。最后用統(tǒng)一的量建立比值得到結(jié)論即可。
例5. （2002京皖春文，19）在三棱錐S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5。（如圖所示）
（Ⅰ）證明：SC⊥BC；
（Ⅱ）求三棱錐的體積VS－ABC。
解析：（Ⅰ）證明：∵∠SAB=∠SAC=90°，
∴SA⊥AB，SA⊥AC。
又AB∩AC=A，
∴SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC。
由于∠ACB=90°，即BC⊥AC，∴BC⊥平面ASC，得BC⊥SC。
（Ⅱ）解：在Rt△SAC中，
∵SA=，
S△ABC=·AC·BC=×5×5=，
∴VS－ABC=·S△ACB·SA=。
點評：本題比較全面地考查了空間點、線、面的位置關(guān)系。要求對圖形必須具備一定的洞察力，并進行一定的邏輯推理。
例6. ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求點B到平面EFC的距離？
解：如圖，取EF的中點O，連接GB、GO、CD、FB構(gòu)造三棱錐B－EFG。
設(shè)點B到平面EFG的距離為h，BD＝，EF，CO＝。
。
而GC⊥平面ABCD，且GC＝2。
由，得·GC
點評：該問題主要的求解思路是將點面的距離問題轉(zhuǎn)化為體積問題來求解。構(gòu)造以點B為頂點，△EFG為底面的三棱錐是解此題的關(guān)鍵，利用同一個三棱錐的體積的唯一性列方程是解這類題的方法，從而簡化了運算。（等體積法）
例7. （2006江西理，12）如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（與四個面都相切的球）球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐A－BEFD與三棱錐A－EFC的表面積分別是S1，S2，則必有（ ）
A. S1<S2 B. S1>S2 C. S1=S2 D. S1，S2的大小關(guān)系不能確定
解：連OA、OB、OC、OD，
則VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFD+VO-ADF
VA－EFC＝VO－AFC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC，
而每個錐體的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，故SABD＋SABE＋SBEFD+SADF＝SAFC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，故選C
點評：該題通過復(fù)合平面圖形的分割過程，增加了題目處理的難度，求解棱錐的體積、表面積首先要轉(zhuǎn)化好平面圖形與空間幾何體之間元素間的對應(yīng)關(guān)系。
例8. （1）（1998全國，9）如果棱臺的兩底面積分別是S、S′，中截面的面積是S0，那么（ ）
A. B. C. 2S0＝S＋S′ D. S02＝2S′·S
（2）（1994全國，7）已知正六棱臺的上、下底面邊長分別為2和4，高為2，則其體積為（ ）
A. 32 B. 28 C. 24 D. 20
解：（1）設(shè)該棱臺為正棱臺來解即可，答案為A；
（2）正六棱臺上下底面面積分別為：S上＝6··22＝6，S下＝6··42＝24，V臺＝，答案B。
點評：本題考查棱臺的中截面問題。根據(jù)選擇題的特點本題選用“特例法”來解，此種解法在解選擇題時很普遍，如選用特殊值、特殊點、特殊曲線、特殊圖形等等。
例9. （2000全國理，9）一個圓柱的側(cè)面積展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（ ）
A. B. C. D.
解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則由題設(shè)知h=2πr.
∴S全=2πr2+（2πr）2=2πr2（1+2π）.S側(cè)=h2=4π2r2，
∴。答案為A。
點評：本題考查圓柱的側(cè)面展開圖、側(cè)面積和全面積等知識。
例10. （2003京春理13，文14）如圖，一個底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個半徑為r的實心鐵球，水面高度恰好升高r，則= 。
解：水面高度升高r，則圓柱體積增加πR2·r。恰好是半徑為r的實心鐵球的體積，因此有πr3=πR2r。故。答案為。
點評：本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)知識以及計算能力和分析、解決問題的能力。
例11. （1）（2002京皖春，7）在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如圖所示），若將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是（ ）
A. π B. π C. π D. π
（2）（2001全國文，3）若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個圓錐的全面積是（ ）
A. 3π B. 3π C. 6π D. 9π
解：（1）如圖所示，該旋轉(zhuǎn)體的體積為圓錐C—ADE與圓錐B—ADE體積之差，又∵求得AB=1。
∴，答案D。
（2）∵S＝absinθ，∴a2sin60°＝，
∴a2＝4，a＝2，a=2r，
∴r＝1，S全＝2πr＋πr2＝2π＋π＝3π，答案A。
點評：通過識圖、想圖、畫圖的角度考查了空間想象能力。而對空間圖形的處理能力是空間想象力深化的標志，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向。
例12. 已知過球面上三點的截面和球心的距離為球半徑的一半，且，求球的表面積。
解：設(shè)截面圓心為，連結(jié)，設(shè)球半徑為，
則，
在中，，
∴，
∴，
∴。
點評： 正確應(yīng)用球的表面積公式，建立平面圓與球的半徑之間的關(guān)系。
例13. 如圖所示，球面上有四個點P、A、B、C，如果PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，求這個球的表面積。
解：如圖，設(shè)過A、B、C三點的球的截面圓半徑為r，圓心為O′，球心到該圓面的距離為d。
在三棱錐P—ABC中，∵PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，
∴AB=BC=CA=a，且P在△ABC內(nèi)的射影即△ABC的中心O′。
由正弦定理，得 =2r，∴r=a。
又根據(jù)球的截面的性質(zhì)，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，
∴P、O、O′共線，球的半徑R=。又PO′===a，
∴OO′=R － a=d=，（R－a）2=R2 – （a）2，解得R=a，
∴S球=4πR2=3πa2。
點評：本題也可用補形法求解。將P—ABC補成一個正方體，由對稱性可知，正方體內(nèi)接于球，則球的直徑就是正方體的對角線，易得球半徑R=a，下略。
例14. （1）（2006四川文，10）如圖，正四棱錐底面的四個頂點在球的同一個大圓上，點在球面上，如果，則球的表面積是（ ）
A. B. C. D.
（2）半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體棱長為，求球的表面積和體積。
解：（1）如圖，正四棱錐底面的四個頂點在球的同一個大圓上，點在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，，，所以，R=2，球的表面積是，選D。
（2）作軸截面如圖所示，
，，
設(shè)球半徑為，
則
∴，
∴，。
點評：本題重點考查球截面的性質(zhì)以及球面積公式，解題的關(guān)鍵是將多面體的幾何要素轉(zhuǎn)化成球的幾何要素。
例15. 表面積為的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是，求這個正四棱柱的表面積。
解：設(shè)球半徑為，正四棱柱底面邊長為，
則作軸截面如圖，，，
又∵，∴，
∴，∴，
∴
點評：作軸截面把立體幾何中的問題轉(zhuǎn)化為平面幾何的問題。
例16. （1）我國首都靠近北緯緯線，求北緯緯線的長度等于多少？（地球半徑大約為）
（2）在半徑為的球面上有三點，，求球心到經(jīng)過這三點的截面的距離。
解：（1）如圖，是北緯上一點，是它的半徑，
∴，
設(shè)是北緯的緯線長，
∵，
∴
答：北緯緯線長約等于.
（2）設(shè)經(jīng)過三點的截面為⊙，
設(shè)球心為，連結(jié)，則平面，
∵，
∴，
所以，球心到截面距離為.
點評：了解經(jīng)緯的數(shù)學意義，抓住球中的直角三角形求解。
例17. 在北緯圈上有兩點，設(shè)該緯度圈上兩點的劣弧長為（為地球半徑），求兩點間的球面距離。
解：設(shè)北緯圈的半徑為，則，設(shè)為北緯圈的圓心，，
∴，∴，
∴，∴，
∴中，，
所以，兩點的球面距離等于.
點評：要求兩點的球面距離，必須先求出兩點的直線距離，再求出這兩點的球心角，進而求出這兩點的球面距離。
［思維總結(jié)］
1. 正四面體的性質(zhì) 設(shè)正四面體的棱長為a，則這個正四面體的
（1）全面積：S全=a2；
（2）體積：V=a3；
（3）對棱中點連線段的長：d=a；
（4）內(nèi)切球半徑：r=a；
（5）外接球半徑：R=a；
（6）正四面體內(nèi)任意一點到四個面的距離之和為定值（等于正四面體的高）。
2. 直角四面體的性質(zhì) 有一個三面角的各個面角都是直角的四面體叫做直角四面體。直角四面體有下列性質(zhì)：
如圖，在直角四面體AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a，OB=b，OC=c。
則：①不含直角的底面ABC是銳角三角形；
②直角頂點O在底面上的射影H是△ABC的垂心；
③體積 V=abc；
④底面S△ABC=；
⑤外切球半徑 R=；
⑥內(nèi)切球半徑 r=
3. 球的截面
用一個平面去截一個球，截面是圓面.
（1）過球心的截面截得的圓叫做球的大圓；不經(jīng)過球心的截面截得的圓叫做球的小圓；
（2）球心與截面圓圓心的連線垂直于截面；
（3）球心和截面距離d，球半徑R，截面半徑r有如下關(guān)系：
r=.
4. 經(jīng)度、緯度：
經(jīng)線：球面上從北極到南極的半個大圓；
緯線：與赤道平面平行的平面截球面所得的小圓；
經(jīng)度：某地的經(jīng)度就是經(jīng)過這點的經(jīng)線與地軸確定的半平面與經(jīng)線及軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)。
緯度：某地的緯度就是指過這點的球半徑與赤道平面所成角的度數(shù)。
5. 兩點的球面距離：
球面上兩點之間的最短距離，就是經(jīng)過兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度，我們把這個弧長叫做兩點的球面距離
兩點的球面距離公式：（其中R為球半徑，為A，B所對應(yīng)的球心角的弧度數(shù)）
【模擬試題】
一、選擇題
1、下圖是由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的（ ）
2、過圓錐的高的三等分點作平行于底面的截面，它們把圓錐側(cè)面分成的三部分的面積之比為（ ）
A、 B、 C、 D、
3、在棱長為的正方體上，分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方形，則截去個三棱錐后 ，剩下的幾何體的體積是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、已知圓柱與圓錐的底面積相等，高也相等，它們的體積分別為和，則（ ）
A、 B、 C、 D、
5、如果兩個球的體積之比為，那么兩個球的表面積之比為（ ）
A、 B、 C、 D、
6、有一個幾何體的三視圖及其尺寸如下（單位），則該幾何體的表面積及體積為：（ ）
A、， B、，12
C、，36 D、以上都不正確
二、填空題
1、若圓錐的表面積是，側(cè)面展開圖的圓心角是60°，則圓錐的體積是_______。
2、一個半球的全面積為，一個圓柱與此半球等底等體積，則這個圓柱的全面積是 。
3、球的半徑擴大為原來的2倍，它的體積擴大為原來的 _________ 倍。
4、一個直徑為32厘米的圓柱形水桶中放入一個鐵球，球全部沒入水中后，水面升高9厘米，則此球的半徑為_________厘米。
5、已知棱臺的上下底面面積分別為4、16，高為，則該棱臺的體積為___________。
三、解答題
1、（如圖）在底半徑為，母線長為的圓錐中內(nèi)接一個高為的圓柱，求圓柱的表面積
2、如圖，在四邊形中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，，，，求四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積
【試題答案】
一、選擇題
1、A 幾何體是圓臺上加了個圓錐，分別由直角梯形和直角三角形旋轉(zhuǎn)而得
2、B 從此圓錐可以看出三個圓錐，
3、D
4、D
5、C
6、A 此幾何體是個圓錐，
二、填空題
1、 設(shè)圓錐的底面半徑為，母線為，則，得，
，得，圓錐的高
2、
3、
4、
5、
三、解答題
1、解：圓錐的高，圓柱的底面半徑，
2、解：
