二輪復(fù)習(xí)專題講座：集合與簡易邏輯、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分
第1講 集合的基本概念與運算
第2講 簡易邏輯
第3講 函數(shù)的概念與性質(zhì)
【典型例題】
二. 知識分析：
第1講 集合的基本概念與運算
例1. 指出下列幾個集合的異同處
解：集合A是指指數(shù)函數(shù)的定義域，
；
集合B是指指數(shù)函數(shù)的值域，
集合C是指指數(shù)函數(shù)的圖像上所有的點構(gòu)成的集合，是一個點集；
集合D是一個單元素集合，這個元素是一個方程；
集合A、B、C是描述法表示集合，集合D是列舉法表示集合。
例2. 設(shè)集合，，則集合中元素的個數(shù)為（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解：選B．如上圖，在同一坐標系畫出兩個點集所表示的圖象．由圖象可知，兩曲線有兩個交點，即有兩個元素．
例3. 設(shè)、為兩個非空實數(shù)集合，定義集合，若，則中元素的個數(shù)是_______________．
解：因為，所以．當時，分別取1，2，6可得分別為1，2，6；當時，分別取1，2，6可得分別為3，4，8；當時，分別取1，2，6可得分別為6，7，11．綜上：，故中有8個元素．
例4. 已知集合，，若，則實數(shù)的取值構(gòu)成的集合為______________________．
解：方程兩根分別為：，因此．
由得或{2}或{－3}，
所以，實數(shù)的取值構(gòu)成的集合為．
例5. 已知，二次函數(shù)．設(shè)不等式的解集為A，又知集合，若，求的取值范圍．
解：易知，由得：，，
由此可得：．
（1）當時，，的充要條件是，
即，解得；
（2）當時，，的充要條件是，
即，解得．
綜上所述，使成立的的取值范圍為．
例6. 設(shè)集合A中不含有元素－1，0，1，且滿足條件：若，則有，請考慮以下問題：（Ⅰ）已知，求出A中其它所有元素；
（Ⅱ）自己設(shè)計一個實數(shù)屬于A，再求出A中其它所有元素；
（Ⅲ）根據(jù)已知條件和前面（Ⅰ）（Ⅱ）你能悟出什么道理來，并證明你的猜想．
解：（Ⅰ）由，則，
所以集合；
（Ⅱ）任取一常數(shù)，如3，則同理（Ⅰ）可得：；
（Ⅲ）猜想任意的，則集合．
下面作簡要證明：
，則．
這四個元素互不相等，否則．
第2講 簡易邏輯
例1. 直線與平行（不重合）的充要條件是（ ）
A. B. C. D. 或
解：，所以；故選C．
例2. 命題p：若、∈R，則是的充要條件；
命題q：函數(shù)的定義域是則（ ）
A. “p或q”為假 B. “p且q”為真
C. p真q假 D. p假q真
解：由三角形不等式知：是的必要不充分條件，即p為假命題；由可得或，即為真命題．故選D．
例3. 在空間中：①若四點不共面，則這四點中任何三點都不共線；②若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線是異面直線．以上兩個命題中逆命題為真命題的是 ．
解：①的逆命題為：若四點中任何三點都不共線，則這四點不共面．例如：正方形的四個頂點不共線但共面，故其不正確；②的逆命題為：若兩條直線是異面直線，則這兩條直線沒有公共點．由異面直線定義知，異面直線沒有公共點，故②的逆命題為真命題．
例4. 已知；?是?的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.
解：由得，
由，得，
∴?即，或，而?即，或；
由?是?的必要不充分條件，知?，
設(shè)A=，B=，
則有A，故且不等式中的第一、二兩個不等式不能同時取等號，
解得，此即為“?是的必要不充分條件”時實數(shù)的取值范圍。
例5. 已知條件和條件，請選取適當?shù)膶崝?shù)的值，分別利用所給的兩個條件作為A、B構(gòu)造命題：“若A則B”，并使得構(gòu)造的原命題為真命題，而其逆命題為假命題。則這樣的一個原命題可以是什么？并說明為什么這一命題是符合要求的命題。
解：已知條件即，或，∴，或，
已知條件即，∴，或；
令，則即，或，此時必有成立，反之不然.
故可以選取的一個實數(shù)是，A為，B為，對應(yīng)的命題是若則，
由以上過程可知這一命題的原命題為真命題，但它的逆命題為假命題.
例6. 已知p：是的反函數(shù)，且；
q：集合，B = { x | x >0}，且AB=．
求實數(shù)a的取值范圍，使“p或q”為真命題，“p且q”為假命題．
解：先考慮：∵是f （x ）=1－3x的反函數(shù)，∴，由，可得，解得：；
再考慮：①當△＜0時，，，此時：由得；
②當△≥0時，由可得：，解得．
由①②可知．
要使p真q假，則；要使p假q真，則，綜上所述，當的范圍是時，p、q中有且只有一個為真命題．
第3講 函數(shù)的概念與性質(zhì)
例1. 設(shè)，則的定義域為（ ）
A. B.
C. D.
解：∵在中，由，得， ∴，
∴的定義域滿足，．
故選B．
例2. 已知是上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是（ ）
A. （0，1） B. C. D.
解：∵是上的減函數(shù)，
當時，，∴；
又當時，，∴，∴，
且，解得：．
∴綜上，，故選C．
例3. 函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件，若，則 ．
解：∵函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件，
∴，即的周期為4，
∴，
∴．
例4. 設(shè)的反函數(shù)為，若，則 ．
解：∵，∴．
例5. 已知是關(guān)于的方程的兩個實根，則實數(shù)為何值時，大于3且小于3？
解：令，
則方程的兩個實根可以看成是
拋物線與軸的兩個交點（如圖所示），故有：，
所以：，解之得：．
例6. 定義在上的奇函數(shù)滿足，且當時，有
（1）求證：是上的增函數(shù)；
（2）證明：當時，
解：（1）任取，且，
則
因為，所以
所以，是上的增函數(shù)。
（2）由（1）可知：當時，，
所以，當時，
【模擬試題】
1、已知，則（ ）
A. B.
C. D.
2、設(shè)集合，，
，那么滿足點P（2，3）條件是（ ）
A. m＞—1，n＜5 B. m＜—1，n＜5
C. m＞—1，n＞5 D. m＜—1 ，n＞5
3、不等式的解集為Q，，若，則（ ）
4、“”是“直線與圓相切”的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分又不必要條件
5、不等式成立的一個必要而不充分條件是（ ）
A. B. C. D.
6、給出下列三個命題：
①若，則；
②若正整數(shù)m和n滿足，則；
③設(shè)為圓上任一點，圓O2以為圓心且半徑為1．當時，圓O1與圓O2相切．
其中假命題的個數(shù)為 （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7、函數(shù)的反函數(shù)是（ ）
A. B.
C. D.
8、是定義在R上的偶函數(shù)，是奇函數(shù)，又知，且，則的值是 （ ）
A. 150 B. －150 C. 2008 D. －2008
9、若函數(shù)，則該函數(shù)在上是（ ）
A. 單調(diào)遞減無最小值 B. 單調(diào)遞減有最小值
C. 單調(diào)遞增無最大值 D. 單調(diào)遞增有最大值
10、函數(shù)，若，則的所有可能值為（ ）
A. 1 B. C. 1， D. 1，
11、已知集合，若AB =，則實數(shù)P的取值范圍是______________________．
12、定義運算： 則函數(shù)的值域為 ．
13、已知在其定義域上為增函數(shù)，，則不等式的解集是_________________
14、以下同個關(guān)于圓錐曲線的命題中：
①設(shè)A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，，則動點P的軌跡為雙曲線；
②設(shè)定圓C上一定點A作圓的動點弦AB，O為坐標原點，若則動點P的軌跡為橢圓；
③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④雙曲線與橢圓有相同的焦點.
其中真命題的序號為 （寫出所有真命題的序號）
15、集合，，且，求實數(shù)a的取值范圍．
16、設(shè)集合，，問是否存在非零整數(shù)，使？若存在，請求出的值及；若不存在，請說明理由．
17、已知設(shè)：函數(shù)在R上單調(diào)遞減；：不等式的解集為R．如果p或q為真，p且q為假，求的取值范圍．
18、定義在R上的奇函數(shù)有最小正周期2，且時，．
（1）求在[－1，1]上的解析式；
（2）判斷在（0，1）上的單調(diào)性，并給予證明．
【試題答案】
1、A 2、A 3、B 4、A 5、D 6、B 7、A 8、B 9、C 10、C
11、 12、 13、 14、③④
15、解：
（1）當時，，滿足；
（2）當時，是二次函數(shù)，
若，，則；
若，；
由得，
綜合（1）（2）得．
16、由知，a是否存在，取決于方程組是否有x的正整數(shù)解，
消去y得：①，
由，即，解得．
因為a為非零整數(shù)，所以a可能取的值為．
當時，代入①解得，這與矛盾，故；
當時，代入①解得，符合題意．
所以存在，使得，此時．
17、對于命題p:函數(shù)在R上單調(diào)遞減；對于命題q：不等式的解集為R函數(shù)，所以函數(shù)在R上最小值為，故不等式的解集R．
由“p或q為真，p且q為假”p、q中一真一假．如果p 真q假，即，
解得；如果p假q真，即，解得，綜上的取值范圍為．
18、（1）當時，，
∵為奇函數(shù)，∴，
又，，，
∴．∴
（2）在（0，1）上是減函數(shù)。
下面證明：任取且，
因為。
由于，則，則，
由知，即，
所以，即，所以在（0，1）上為減函數(shù)．
