專題復(fù)習(xí)——數(shù)列
【高考要求】了解數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列。
二. 基本內(nèi)容：
1. 一般數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關(guān)系：an=
2. 等差數(shù)列的通項公式：an=a1+（n－1）d an=ak+（n－k）d （其中a1為首項、ak為已知的第k項） 當(dāng)d≠0時，an是關(guān)于n的一次式；當(dāng)d=0時，an是一個常數(shù)
3. 等差數(shù)列的前n項和公式：Sn=； Sn=
； Sn=
當(dāng)d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項為0；當(dāng)d=0時（a1≠0），Sn=na1是關(guān)于n的正比例式
4. 等差數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關(guān)系：an=
5. 等差中項公式：A= （有唯一的值）
6. 等比數(shù)列的通項公式： an= a1 qn－1 an= ak qn－k （其中a1為首項、ak為已知的第k項，an≠0）
7. 等比數(shù)列的前n項和公式：當(dāng)q=1時，Sn=n a1 （是關(guān)于n的正比例式）；
當(dāng)q≠1時，Sn= Sn=
8. 等比中項公式：G= （ab>0，有兩個值）
9. 等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m－Sm、S3m－S2m、S4m － S3m、……仍為等差數(shù)列
10. 等差數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，則
11. 等比數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，則
12. 等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m－Sm、S3m－S2m、S4m － S3m、……仍為等比數(shù)列（當(dāng)m為偶數(shù)且公比為－1的情況除外）
13. 兩個等差數(shù)列{an}與{bn}的和差的數(shù)列{an+bn}、{an－bn}仍為等差數(shù)列
14. 兩個等比數(shù)列{an}與{bn}的積、商、倒數(shù)的數(shù)列{anbn}、、仍為等比數(shù)列
15. 等差數(shù)列{an}的任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列
16. 等比數(shù)列{an}的任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列
17. 三個數(shù)成等差的設(shè)法：a－d，a，a+d；四個數(shù)成等差的設(shè)法：a－3d，a－d，，a+d，a+3d
18. 三個數(shù)成等比的設(shè)法：a/q，a，aq；四個數(shù)成等比的錯誤設(shè)法：a/q3，a/q，aq，aq3 （因為其公比為>0，對于公比為負(fù)的情況不能包括）
19. {an}為等差數(shù)列，則（c>0）是等比數(shù)列
20. {bn}（bn>0）是等比數(shù)列，則{logcbn} （c>0且c1） 是等差數(shù)列
【典型例題】
（一）研究等差等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)
1. 研究通項的性質(zhì)
例題1. 已知數(shù)列滿足.
（1）求；
（2）證明：.
解：（1）.
（2）證明：由已知，故
， 所以證得.
例題2. 數(shù)列的前項和記為
（Ⅰ）求的通項公式；
（Ⅱ）等差數(shù)列的各項為正，其前項和為，且，又成等比數(shù)列，求.
解：（Ⅰ）由可得，
兩式相減得：，
又∴ 故是首項為1，公比為3的等比數(shù)列
∴
（Ⅱ）設(shè)的公比為，由得，可得，可得
故可設(shè)，又，
由題意可得，解得
∵等差數(shù)列的各項為正，∴ ∴
∴
例題3. 已知數(shù)列的前三項與數(shù)列的前三項對應(yīng)相同，且
對任意的都成立，數(shù)列是等差數(shù)列.
⑴求數(shù)列與的通項公式；
⑵是否存在，使得，請說明理由.
點撥：（1）左邊相當(dāng)于是數(shù)列前n項和的形式，可以聯(lián)想到已知求的方法，當(dāng)時，.
（2）把看作一個函數(shù)，利用函數(shù)的思想方法來研究的取值情況.
解：（1）已知…）①
時，…）②
①－②得，，求得，
在①中令，可得得，
所以N*）.
由題意，，，所以，，
∴數(shù)列的公差為，
∴，
）.
（2），
當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，
所以時，，
又，
所以，不存在，使得.
例題4. 設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}和{bn}滿足：an、bn、an+1成等差數(shù)列，bn、an+1、bn+1成等比數(shù)列，且a1 = 1， b1 = 2 ， a2 = 3 ，求通項an，bn
解： 依題意得：
2bn+1 = an+1 + an+2 ①
a2n+1 = bnbn+1 ②
∵ an、bn為正數(shù)， 由②得，
代入①并同除以得： ，
∴ 為等差數(shù)列
∵ b1 = 2 ， a2 = 3 ， ，
∴ ，
∴當(dāng)n≥2時，，
又a1 = 1，當(dāng)n = 1時成立， ∴
2. 研究前n項和的性質(zhì)
例題5. 已知等比數(shù)列的前項和為，且.
（1）求、的值及數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.
解：（1）時，.而為等比數(shù)列，得，
又，得，從而.又.
（2），
） ，得，
.
例題6. 數(shù)列是首項為1000，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列滿足
，
（1）求數(shù)列的前項和的最大值；（2）求數(shù)列的前項和.
解：（1）由題意：，∴，∴數(shù)列是首項為3，公差為的等差數(shù)列，
∴，∴
由，得，∴數(shù)列的前項和的最大值為.
（2）由（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，
∴當(dāng)時，
當(dāng)時，
∴.
例題7. 已知遞增的等比數(shù)列{}滿足，且是，的等差中項.
（1）求{}的通項公式；（2）若，求使成立的的最小值.
解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q（q＞1），由
a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2），得：a1=2，q=2或a1=32，q=（舍）
∴an=2·2（n－1）=2n
（2） ∵，∴Sn=－（1·2+2·22+3·23+…+n·2n）
∴2Sn=－（1·22+2·23+…+n·2n+1），∴Sn=2+22+23+…+2n－n·2n+1=－（n－1）·2n+1－2，
若Sn+n ·2n+1＞30成立，則2n+1＞32，故n＞4，∴n的最小值為5.
例題8. 已知數(shù)列的前n項和為Sn，且成等差數(shù)列，. 函數(shù).
（I）求數(shù)列的通項公式；
（II）設(shè)數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項和為Tn，試比較
的大小.
解：（I）成等差數(shù)列，① 當(dāng)時，②.
①－②得：，，
當(dāng)n=1時，由①得， 又
是以1為首項3為公比的等比數(shù)列，
（II）∵，，
，
比較的大小，只需比較與312 的大小即可.
∵∴當(dāng)時，
當(dāng)時，
當(dāng)時，.
3. 研究生成數(shù)列的性質(zhì)
例題9. （I） 已知數(shù)列，其中，且數(shù)列為等比數(shù)列，求常數(shù)；
（II） 設(shè)、是公比不相等的兩個等比數(shù)列，，證明數(shù)列不是等比數(shù)列.
解：（Ⅰ）因為{cn+1－pcn}是等比數(shù)列，故有
（cn+1－pcn）2=（ cn+2－pcn+1）（cn－pcn－1），
將cn=2n＋3n代入上式，得
[2n＋1+3n＋1－p（2n＋3n）]2
=[2n＋2+3n＋2－p（2n+1＋3n+1）]·[2n+3n－p（2n－1＋3n－1）]，
即[（2－p）2n+（3－p）3n]2
=[（2－p）2n+1+（3－p）3n+1][ （2－p）2n－1+（3－p）3n－1]，
整理得（2－p）（3－p）·2n·3n=0，
解得p=2或p=3.
（Ⅱ）設(shè){an}、{bn}的公比分別為p、q，p≠q，cn=an+bn.
為證{cn}不是等比數(shù)列只需證≠c1·c3.
事實上，=（a1p＋b1q）2=p2＋q2＋2a1b1pq，
c1·c3=（a1＋b1）（a1 p2＋b1q2）= p2＋q2＋a1b1（p2＋q2）.
由于p≠q，p2＋q2>2pq，又a1、b1不為零，
因此c1·c3，故{cn}不是等比數(shù)列.
例題10. n2（ n≥4）個正數(shù)排成n行n列：其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有公比相等已知a24=1，
求S=a11 + a22 + a33 + … + ann
解： 設(shè)數(shù)列{}的公差為d， 數(shù)列{}（i=1，2，3，…，n）的公比為q
則= a11 + （k－1）d ， akk = [a11 + （k－1）d]qk－1
依題意得：，解得：a11 = d = q = ±
又n2個數(shù)都是正數(shù)，
∴a11 = d = q = ， ∴akk =
，
，
兩式相減得：
例題11. 已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，記
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，若，求的最小值；
（3）求使不等式對一切均成立的最大實數(shù).
解：（1）由題意得，解得，
（2）由（1）得， ①
② ①－②得
. ，
設(shè)，則由
得隨的增大而減小
時，又恒成立，
（3）由題意得恒成立
記，則
是隨的增大而增大
的最小值為，，即.
（二）證明等差與等比數(shù)列
1. 轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列.
例題12. 數(shù)列中，且滿足，.
⑴求數(shù)列的通項公式；
⑵設(shè)，求；
⑶設(shè)=，是否存在最大的整數(shù)，使得對任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
解：（1）由題意，，為等差數(shù)列，設(shè)公差為，
由題意得，.
（2）若，
時，
故
（3），
若對任意成立，即對任意成立，
的最小值是，的最大整數(shù)值是7.
即存在最大整數(shù)使對任意，均有
例題13. 已知等比數(shù)列與數(shù)列滿足N*.
（1）判斷是何種數(shù)列，并給出證明；
（2）若.
解：（1）設(shè)的公比為q，∵，∴。
所以是以為公差的等差數(shù)列.
（2）∵所以由等差數(shù)列性質(zhì)可得
…
2. 由簡單遞推關(guān)系證明等差等比數(shù)列
例題14. 已知數(shù)列和滿足：，，，（），
且是以為公比的等比數(shù)列.
（I）證明：；
（II）若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（III）求和：.
解法1：（I）證：由，有，.
（II）證：∵，
，，
.
是首項為5，公比為的等比數(shù)列.
（III）解：由（II）得，，于是
.
當(dāng)時，.
當(dāng)時，
.
故
解法2：（I）同解法1（I）.
（II）證： ，又，
是首項為5，公比為的等比數(shù)列.
（III）由解法1中（II）的類似方法得，
，
，.
∴.
例題15. 設(shè)數(shù)列
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足，bn=f （bn－1）（n∈N*，n≥2），求數(shù)列的通項公式；
（3）設(shè)，，求數(shù)列的前n項和Ｔn.
（1）證明：由
相減得：∴數(shù)列是等比數(shù)列
（2）解：
是首項為，公差為1的等差數(shù)列，∴. .
（3）解：時
①
②
①－②得：
∴
所以：.
例題16. 的各個頂點分別為，設(shè)為線段的中點，為線段OC的中點，為線段的中點. 對每一個正整數(shù)為線段的中點. 令的坐標(biāo)為，.
（1）求及；
（2）證明：
（3）記，證明：是等比數(shù)列.
（1）解：因為y1=y2=y4=1， y3=，y5=，所以 得a1=a2=a3=2.
又由，對任意的正整數(shù)n有
an+1====an
恒成立，且a1=2， 所以{an}為常數(shù)數(shù)列， an=2，（n為正整數(shù)）
（2）證明：根據(jù)， 及=an=2， 易證得yn+4=1－
（3）證明：因為bn+1==（1－）－（1－）=，
又由b1==1－y4=，
所以{bn}是首項為，公比為的等比數(shù)列.
【模擬試題】
一、填空題
1. 在等差數(shù)列｛a｝中，已知a=2，a+a=13，則a+a+a等于= .
2. 已知數(shù)列的通項，則其前項和 .
3. 首項為－24的等差數(shù)列，從第10項開始為正，則公差的取值范圍是 .
4. 在等比數(shù)列中，和 是二次方程 的兩個根，則360docimg_501_
的值為 .
5. 等差數(shù)列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n項和Sn=100，則n= .
6. 等差數(shù)列{an}的前m項和為30，前2m項的和為100，求它的前3m項的和為________360docimg_502_
7. 已知兩個等差數(shù)列360docimg_503_和360docimg_504_的前360docimg_505_項和分別為A360docimg_506_和360docimg_507_，且360docimg_508_，360docimg_509_=
，若360docimg_510_為正整數(shù)，n的取值個數(shù)為___________。
8. 已知數(shù)列360docimg_511_對于任意360docimg_512_，有360docimg_513_，若360docimg_514_，則360docimg_515_ .
9. 記數(shù)列360docimg_516_所有項的和為360docimg_517_，第二項及以后各項的和為360docimg_518_，第三項及以后各項的和為 360docimg_519_，第360docimg_520_項及以后各項的和為360docimg_521_，若360docimg_522_，360docimg_523_，360docimg_524_，
360docimg_525_，則360docimg_526_等于 .
10. 等差數(shù)列360docimg_527_共有360docimg_528_項，其中奇數(shù)項之和為319，偶數(shù)項之和為290，則其中間項為_____.
11. 等差數(shù)列360docimg_529_中，360docimg_530_，若360docimg_531_且360docimg_532_，360docimg_533_，則360docimg_534_的值為 .
12. 設(shè)360docimg_535_為等差數(shù)列360docimg_536_的前360docimg_537_項和. 已知360docimg_538_，則360docimg_539_等于
.
13. 已知函數(shù)360docimg_540_定義在正整數(shù)集上，且對于任意的正整數(shù)360docimg_541_，都有360docimg_542_
360docimg_543_，且360docimg_544_，則360docimg_545___ __.
14. 三個數(shù)360docimg_546_成等比數(shù)列，且360docimg_547_，則b的取值范圍是 .
15. 等差數(shù)列360docimg_548_中，前360docimg_549_項和為360docimg_550_，首項360docimg_551_.
（1）若360docimg_552_，求360docimg_553_
（2） 設(shè)360docimg_554_，求使不等式360docimg_555_的最小正整數(shù)360docimg_556_的值.
點撥：在等差數(shù)列中360docimg_557_知道其中三個就可以求出另外一個，由已知可以求出首項360docimg_558_與公差360docimg_559_，把360docimg_560_分別用首項360docimg_561_與公差360docimg_562_，表示即可. 對于求和公式360docimg_563_，360docimg_564_采用哪一個都可以，但是很多題目要視具體情況確定采用哪一個可能更簡單一些. 例如：已知360docimg_565_判斷360docimg_566_的正負(fù). 問題2在思考時要注意加了絕對值時負(fù)項變正時，新的數(shù)列首項是多少，一共有多少項.
16. 等差數(shù)列{360docimg_567_}的前360docimg_568_項和為360docimg_569_，360docimg_570_，360docimg_571_.
（I）求數(shù)列{360docimg_572_}的通項360docimg_573_與前360docimg_574_項和為360docimg_575_；
（II）設(shè)360docimg_576_（360docimg_577_），求證：數(shù)列{360docimg_578_}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列.
17. 在直角坐標(biāo)平面上有一點列360docimg_579_，對一切正整數(shù)n，點360docimg_580_位于函數(shù)360docimg_581_的圖象上，且360docimg_582_的橫坐標(biāo)構(gòu)成以360docimg_583_為首項，360docimg_584_為公差的等差數(shù)列360docimg_585_.
⑴求點360docimg_586_的坐標(biāo)；
⑵設(shè)拋物線列360docimg_587_中的每一條的對稱軸都垂直于360docimg_588_軸，第360docimg_589_條拋物線360docimg_590_的頂點為360docimg_591_，且過點360docimg_592_，設(shè)與拋物線360docimg_593_相切于360docimg_594_的直線的斜率為360docimg_595_，求：360docimg_596_.
⑶設(shè)360docimg_597_，等差數(shù)列{360docimg_598_}的任一項360docimg_599_，其中360docimg_600_是360docimg_601_中的最大數(shù)，360docimg_602_，求{360docimg_603_}的通項公式.
18. 已知數(shù)列360docimg_604_滿足360docimg_605_，
（1）求數(shù)列360docimg_606_的通項公式；
（2）若數(shù)列360docimg_607_滿足360docimg_608_（n∈N*），證明：360docimg_609_是等差數(shù)列.
360docimg_610_
【試題答案】
1. 42
2. 360docimg_611_
3. 360docimg_612_
4. 360docimg_613_
5. 10
6. 210
7. 8.5；5個
解法一：點撥 利用等差數(shù)列的求和公式360docimg_614_及等差數(shù)列的性質(zhì)
“若360docimg_615_，則360docimg_616_”
解析：360docimg_617_=360docimg_618_
解法2： 點撥 利用“若{360docimg_619_}為等差數(shù)列，那么360docimg_620_”這個結(jié)論，根據(jù)條件
找出360docimg_621_和360docimg_622_的通項.
解析：可設(shè)360docimg_623_，360docimg_624_，則360docimg_625_，
360docimg_626_，則360docimg_627_=360docimg_628_
由上面的解法2可知360docimg_629_=360docimg_630_，顯然只需使360docimg_631_為正整數(shù)即可，
故360docimg_632_，共5個.
點評：對等差數(shù)列的求和公式的幾種形式要熟練掌握，根據(jù)具體的情況能夠靈活應(yīng)用.
反思：解法2中，若是填空題，比例常數(shù)k可以直接設(shè)為1.
8. 4
9. 解：360docimg_633_.
10. 解：依題意，中間項為360docimg_634_，于是有360docimg_635_解得360docimg_636_.
11. 解：由題設(shè)得360docimg_637_，而360docimg_638_，360docimg_639_，又360docimg_640_，360docimg_641_，360docimg_642_.
12. 解：360docimg_643_， 360docimg_644_，
360docimg_645_. ∴360docimg_646_。
13. 解：由360docimg_647_知函數(shù)360docimg_648_當(dāng)360docimg_649_從小到大依次取值時對應(yīng)的一系列函數(shù)值組成一個等差數(shù)列，360docimg_650_形成一個首項為2，公差為4的等差數(shù)列，360docimg_651_.
14. 解：設(shè)360docimg_652_，則有360docimg_653_.
當(dāng)360docimg_654_時，360docimg_655_，而360docimg_656_，360docimg_657_；
當(dāng)360docimg_658_時，360docimg_659_，即360docimg_660_，而360docimg_661_，360docimg_662_，則360docimg_663_，
故360docimg_664_.
15. 解：（1）由360docimg_665_，得：360docimg_666_，
又由360docimg_667_.
即360docimg_668_，得到360docimg_669_.
（2）由360docimg_670_
若360docimg_671_≤5，則360docimg_672_≤360docimg_673_，不合題意
故360docimg_674_>5，360docimg_675_
即360docimg_676_，所以360docimg_677_≥15，使不等式成立的最小正整數(shù)360docimg_678_的值為15
16. 解答：（I）由已知得360docimg_679_，360docimg_680_，
故360docimg_681_.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得360docimg_682_.
假設(shè)數(shù)列360docimg_683_中存在三項360docimg_684_（360docimg_685_互不相等）成等比數(shù)列，則360docimg_686_.
即360docimg_687_.
360docimg_688_
360docimg_689_，
360docimg_690_ 360docimg_691_.
與360docimg_692_矛盾.
17. 解：（1）360docimg_693_
360docimg_694_
（2）360docimg_695_的對稱軸垂直于360docimg_696_軸，且頂點為360docimg_697_. 360docimg_698_設(shè)360docimg_699_的方程為：360docimg_700_
把360docimg_701_代入上式，得360docimg_702_，360docimg_703_的方程為：360docimg_704_.
360docimg_705_，360docimg_706_
360docimg_707_360docimg_708_
=360docimg_709_.
（3）360docimg_710_，
360docimg_711_360docimg_712_
360docimg_713_T 中最大數(shù)360docimg_714_.
設(shè)360docimg_715_公差為360docimg_716_，則360docimg_717_，由此得
360docimg_718_
360docimg_719_
18. （1）解：360docimg_720_ 360docimg_721_
360docimg_722_是以360docimg_723_為首項，2為公比的等比數(shù)列.
360docimg_724_ 即 360docimg_725_.
（2）證：360docimg_726_ 360docimg_727_
360docimg_728_ ①
360docimg_729_ ②
②－①，得360docimg_730_
即360docimg_731_③
360docimg_732_④
③－④，得 360docimg_733_
即 360docimg_734_ 360docimg_735_
360docimg_736_是等差數(shù)列.
