集合的概念與運算
二. 本周教學(xué)重、難點：
理解集合、子集、補集、交集、并集的概念；了解空集與全集的意義；了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義，掌握有關(guān)的術(shù)語和符號，并會用它們正確表示一些簡單的集合，強化對集合與集合關(guān)系題目的訓(xùn)練，理解集合中代表元素的真正意義，加強利用幾何直觀性研究問題的訓(xùn)練，注意用文氏圖解題。
【典型例題】
[例1] 設(shè)，
之間的關(guān)系是（ ）
A. B. 
C. 
D. 
解：
∴
答案：D
[例2] 已知，，若
，求實數(shù)的取值范圍是什么?
解：集合A可看成圓上所有的點構(gòu)成的點集。
集合B則為線段上所有的點構(gòu)成的點集。
，即圓與直線無公共點
由圖易知，只需線段兩端點（）和（1，）都在圓內(nèi)或都在圓外即可，故
即
解得或或
[例3] 已知，，，，求
解：∵ ∴ 又
∴ 或
① 若 ∴ 則
不成立
② 若
∴ ，則，成立
∴
[例4] 已知：，，若，求的取值范圍。
解：
① 若， ∴
② 若，則 ∴
由①②知：
[例5] 已知，，若，求的取值范圍。
解： ∵ ∴ ，
① 時， ∴ 或
② 時， ∴
③ 時， 無解
④ 時， ∴
∴ 由①~④知：或或
[例6] 已知，若是單元素集，求的取值范圍。
解：由是單元素集，得有且只有一個實數(shù)解
消得，
設(shè) 則，
由出發(fā)
① 得
② 得此時方程有另一解 ∴ 舍去
③ 拋物線與軸相切 即
解得（時，舍）這時綜上或
[例7] 設(shè)M、N是兩個非空集合，定義M與N的差集為且，則等于（ ）
A. N B. C. D. M
解：為：
答案：B
[例8] 設(shè)數(shù)集，且M、N都是集合
的子集，如果把叫做集合的“長度”，那么集合的“長度”的最小值是什么?
解：集合M的“長度”為，集合N的“長度”為，而集合的“長度”為1，故的“長度”的最小值為
[例9] 集合A是由具備下列性質(zhì)的函數(shù)組成的：
① 函數(shù)的定義域是；② 函數(shù)的值域是；③ 函數(shù)在上是增函數(shù)，試分別探究下列兩小題：
（1）判斷及是否屬于集合A？并簡要說明理由。
（2）對于（1）中你認為屬于集合A的函數(shù)，不等式是否對任意的總成立？若不成立，為什么？若成立，請證明你的結(jié)論。
解析：（1）函數(shù)不屬于集合A，因為的值域是，所以不屬于集合A（或因為時，，不滿足條件）
（）在集合A中
（2）
∴ 不等式對任意的總成立。
【模擬試題】
一. 選擇題：
1. 下面表示同一集合的是（ ）
A.
B.
C. ，
D. ，
2. 已知集合A={0，2，3}，，則集合B的子集的個數(shù)是（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 15
3. 設(shè)P、Q為兩個非空實數(shù)集合，定義集合P+Q=，若，，則P+Q中元素的個數(shù)是（ ）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
4. 設(shè)全集U=R，，，則等于（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知集合，，則有（ ）
A. Q B. C. D.
6. 已知集合，
則等于（ ）
A. B. C. D.
二. 解答題：
1. 已知
（1）設(shè)，試判斷與A之間的關(guān)系；
（2）任取，試判斷與A之間的關(guān)系；
（3）能否找到使且？
2. 已知，，若，則實數(shù)的取值范圍是 。
3. 記函數(shù)的定義域為A，（）的定義域為B。
（1）求；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍。
【試題答案】
一.
1. D
解析：A中的M、N表示點集，而（1，2）和（2，1）不是同一點，A錯誤；B中的M是數(shù)集，N為點集，故B錯誤；C中的M是空集，而N中含有元素，故C也錯誤。
2. C
解析：如果中有一個為0，則；如果，則；如果，則；如果或，則，于是B={0，4，6，9}，∴ B有個子集。
3. B
解析：由題意P+Q={1，2，6，3，4，8，7，11}
4. C
解析：或，∴ ，選C。
5. D
解析：集合P由圓上的點所組成，集合Q由橢圓上的點所組成，其短半軸，畫出大致圖象，知兩曲線沒有公共點，故選D
6. C
解析：由題意即兩向量集合中的公共向量構(gòu)成的集合，故令
∴
解得故
二.
1. 解析：
（1）由于，則
由于，則
由于，則
（2）由，設(shè)
則（其中），則
由于
（其中），則
（3）假定能找到（其中）符合題意
則
則，于是可以取，則能找到且能滿足，符合題意。
2. 解析：方法一：由，可知由方程和方程構(gòu)成的方程組無解，即方程無解，整理得，由解得或
方法二：集合A可看成圓上所有的點構(gòu)成的點集，集合B則為直線上所有的點構(gòu)成的點集。，即圓與直線無公共點，由圖易知或。
3. 解析：
（1）由，得
∴ 或，即
（2）由，得
∵ ∴
∴
∵ ∴ 或即或
而 ∴ 或
故當時，實數(shù)的取值范圍是
