含絕對(duì)值不等式、一元二次不等式、簡(jiǎn)易邏輯、充要條件
二. 本周教學(xué)重、難點(diǎn)：
1. 掌握簡(jiǎn)單的絕對(duì)值不等式的解法；掌握一元二次不等式的解法；學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)方程、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)不等式的問(wèn)題。
2. 理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義，理解四種命題及其相互關(guān)系，掌握充分條件，必要條件，充要條件的意義。
【典型例題】
[例1] 解不等式：
（1）；
（2）。
解：
（1）方法一：原不等式等價(jià)于
即
∴ 
方法二：原不等式等價(jià)于
或 ∴
∴ 或
故原不等式的解集為
（2）方法一：原不等式等價(jià)于
①或②
由①得 ∴
由②得 ∴
∴ 原不等式的解集為
方法二：∵
∴ 原不等式可視為關(guān)于的一元二次不等式0
解得或（舍去） ∴ 或
故原不等式的解集為
[例2] 解不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
解：
（1）∵ ∴ 原不等式化為
∴ 或
（2） ∴ ∴
（3） ∴ ∴ 且
∴
（4）原不等式化為：且
∴ 且
且或
∴ 或且
（5）
方法一：令 ∴
① 時(shí)， ∴
② 時(shí)，
③ 時(shí)， ∴
∴ 由①②③知：
（6）∵ ∴
利用等號(hào)成立的條件得 ∴ ∴
[例3] 解不等式
解：
（1）時(shí)，
① 時(shí)，
的兩根
∴
② 時(shí)， ∴ 且
③ 時(shí)， ∴
（2）時(shí)，
∵ ∴
∴ 或
（3）時(shí)，
[例4] 已知二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為，且不等式的解集為（1，3）
（1）若方程有兩個(gè)相等的根，求的解析式；
（2）若的最大值為正數(shù)，求的取值范圍。
解：
（1）∵ 的解集為（1，3）
設(shè)，且
因而①
由方程，得②
∵ 方程②有兩個(gè)相等的根
∴
即 解得或
由于，舍去
將代入①得的解析式
（2）由
又，可得的最大值為
由
解得或
[例5] 已知關(guān)于的不等式的解集為M。
（1）當(dāng)時(shí)，求集合M；
（2）若且，求實(shí)數(shù)的取值范圍。
解：
（1）當(dāng)時(shí)，不等式化為
所以或
故不等式的解集
（2）因M，得①
因，得或②
由①②解得或
[例6] 判斷命題“若，則有實(shí)根”的逆否命題的真假。
解：方法一：寫出逆否命題，再判斷其真假
原命題：若，則有實(shí)根
逆否命題：若無(wú)實(shí)根，則
判斷如下：
∵ 無(wú)實(shí)根 ∴
∴ ∴“若無(wú)實(shí)根，則”為真命題
方法二：利用命題之間的關(guān)系：原命題與逆否命題同真同假（即等價(jià)關(guān)系）證明。
∵ ∴ ∴
∴ 方程的判別式
∴ 方程有實(shí)根
故原命題“若，則有實(shí)根”為真
又因原命題與其逆否命題等價(jià)，所以“若，則有實(shí)根”的逆否命題為真
方法三：利用充要條件與集合的包含、相等關(guān)系。
命題：，：有實(shí)根
∴ ：
：方程有實(shí)根}=
∵ ∴
∴ 方程的判別式
∴ 方程有實(shí)根，即
∴“若則”為真
∴“若則”的逆否命題“若則”為真
∴ 若，則有實(shí)根的逆否命題為真
方法四：設(shè)：，：有實(shí)根，則無(wú)實(shí)根
∴
∵ ∴“若則”為真，即“若方程無(wú)實(shí)根，則”為真
[例7] 已知，設(shè)P：函數(shù)在R上單調(diào)遞減；Q：函數(shù)的值域?yàn)?/span>R，如果“P且Q”為假命題，“P或Q”為真命題，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
解析：由題意知P，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則。Q：函數(shù)
的值域?yàn)?/span>R，則二次函數(shù)必滿足且，解之，得。由“P且Q”為假命題，“P或Q”為真命題可知，P、Q中有且只有一個(gè)真命題，又由上述可知Q是P的真子集，則只能滿足Q不成立P成立，∴ ，故選A。
[例8] 若是R上的減函數(shù)，且，設(shè)，，若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
解析：由題意知
∵“”是“”的充分而不必要條件
∴ ∴ ，故選C。
【模擬試題】
一. 選擇題：
1. 若，則不等式的解集是（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 已知的解集為R，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
3. 不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
4. 不等式的解集為（ ）
A.
B.
C.
D. 以上答案都不對(duì)
5. 如果函數(shù)在區(qū)間（）上為增函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
6. 命題：若，則是的充分而不必要條件；命題：函數(shù)的定義域是則（ ）
A.“或”為假 B. “且”為真
C. 真假 D. 假真
7. 條件甲：“”是條件乙：“”的（ ）
A. 既不充分也不必要條件
B. 充要條件
C. 充分不必要條件
D. 必要不充分條件
8. 已知：，：，則是的（ ）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分又不必要條件
二. 解答題：
1. 已知函數(shù)（為常數(shù)），且方程有兩個(gè)實(shí)根。
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)，解關(guān)于的不等式：。
2. 已知集合，
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）求使的實(shí)數(shù)的取值范圍。
3. 解關(guān)于的不等式
4. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榧?/span>A，關(guān)于的不等式的解集為B，求使的實(shí)數(shù)的取值范圍。
【試題答案】
一. 1. A
解析：原不等式 ∵ ∴
故解集為
2. C
解析：令
顯然時(shí)，
∴ 欲使的解集為，則
3. A
解析：由，可知與異號(hào)，即，故
4. C
解析：原不等式，由數(shù)軸標(biāo)根法，可知其解集為或
5. B
解析：當(dāng)時(shí)，，顯然在上單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，則有
綜上，選B。
6. D
解析：∵ ，若，不能推出，而，一定有，故命題為假，又由，解得或，故為真。
7. B
解析：∵ ∴ ∴ ，即，即
當(dāng)時(shí)，則 ∴ ，即
8. A
解析：命題為，即：或
為，故是的充分不必要條件
二. 1. 解析：
（1）將分別代入方程，得
解得 所以
（2）不等式即為，可化為
即
① 當(dāng)時(shí)，解集為
② 當(dāng)時(shí)，不等式為，解集為
③ 當(dāng)時(shí)，解集為
2. 解析：
（1）時(shí)，，
∴
（2）① 當(dāng)時(shí)，，
② 當(dāng)時(shí)，，
<1> 當(dāng)，即或1，
欲使，只需得
<2> 當(dāng)，即時(shí)，， ∴ 不可能成立
<3> 當(dāng)，即時(shí)，
欲使，只需為
綜上，可知當(dāng)時(shí)，
3. 解析：由
（1）當(dāng)時(shí)，
（2）當(dāng)時(shí)，
∴ 當(dāng)，原不等式解集為
當(dāng)時(shí)，原不等式解集為
4. 解析：由，即，解得，即
由
由
（1）如果，則顯然成立
故，成立
∴ 符合條件
（2）如果，即時(shí)，
∵ ，必須 ∴ ，得
（3）如果，即
此時(shí)，滿足
∴ 符合條件
綜合（1）（2）（3）可得的取值范圍為（0，）
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