不等式（一）
二. 知識(shí)講解：
有關(guān)《不等式》的中等問(wèn)題（中檔題）主要是考查各類(lèi)不等式的解法。
從涉及題目的類(lèi)型來(lái)看，有整式不等式，分式不等式，含有絕對(duì)值符號(hào)的不等式，對(duì)數(shù)不等式等等。
從解題方法看，主要有因式分解法、換元法等等。
從數(shù)學(xué)思想來(lái)看，主要是轉(zhuǎn)化思想和分類(lèi)討論的思想。
例如對(duì)數(shù)不等式的解法，就是利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，把它轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的代數(shù)不等式，只要我們充分注意轉(zhuǎn)化過(guò)程中的等價(jià)性，完全可以掌握這類(lèi)問(wèn)題的解法。
分類(lèi)討論的思想在不等式的解法中頻頻出現(xiàn)。比如對(duì)數(shù)式的底數(shù)中字母的取值就影響到函數(shù)的增減性，需要分類(lèi)討論；含有絕對(duì)值符號(hào)的不等式在去掉絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，需要對(duì)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的解析式的取值進(jìn)行討論。
有一些應(yīng)用問(wèn)題中間也涉及到一些不等式的解法，在依據(jù)題意建立了數(shù)學(xué)模型之后，主要的任務(wù)就是解一個(gè)不等式，關(guān)于這個(gè)不等式的解，除去上面提到的注意事項(xiàng)之外，特別要注意實(shí)際問(wèn)題對(duì)未知數(shù)取值的限制，把這種限制與不等式的解集取交集得到的才是問(wèn)題的正確解答。
【典型例題】
[例1] 解不等式。
解：令，則
或
（1）當(dāng)或時(shí)，原不等式化為
∴ ∴
（2）當(dāng)時(shí)，原不等式化為
∴ 或 ∴
綜合（1）、（2）知，原不等式的解集為
[例2] 解關(guān)于的不等式：（）
解：原不等式等價(jià)于：
（1）若，或，不等式的解集為空集
（2）若，即時(shí)，不等式解集為
（3）若，即或時(shí)，不等式的解集為
綜上知：或時(shí)，解集為空集；時(shí)，解集為｛｝；或時(shí)，解集為｛｝。
[例3] 解關(guān)于的不等式：
解：原不等式變形為： ∴
∴ 等價(jià)于
（1）若， ∴
（2）若，原不等式化為
（3）若，原不等式化為
∴ 或 綜上，時(shí)，
時(shí)，；時(shí)，或
[例4] 已知關(guān)于的不等式的解集為M；
（1）當(dāng)時(shí)，求集合M；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍。
解：（1）當(dāng)時(shí)，原不等式可化為：
即
∴ M為
（2）由于 即
∴ 或 ∴ 的取值范圍是
[例5] 解關(guān)于的不等式：。
解：原不等式變形為：
（1）時(shí)，
（2）時(shí)，不等式變形為
當(dāng)時(shí)，或 當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
綜上，時(shí)，時(shí)，或
時(shí)，時(shí)，
時(shí)，
[例6] 解關(guān)于的不等式：
解：原不等式化為
即 當(dāng)時(shí)，
此時(shí)不等式的解集為
當(dāng)時(shí)，不等式無(wú)解
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等式的解集為
綜上，時(shí)，
時(shí)，無(wú)解；時(shí)，
[例7] 已知函數(shù)
（1）試判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）解不等式：。
解：
（1）∵
∴ 是奇函數(shù)
（2）∵
∴
由<1>、<2>解出 <4>
由<3>得，，
∴ 或 <5>
取<4>、<5>的交集，不等式的解集為
[例8] 已知，設(shè)P：函數(shù)在R上單調(diào)遞減，Q：不等式的解集為R。如果P和Q有且僅有一個(gè)正確，求的取值范圍。
解：函數(shù)在R上單調(diào)遞減
不等式的解集為在R上恒大于1
∵
∴ 函數(shù)在R上的最小值為
∴ 不等式的解集為R
如果P正確，且Q不正確，則
如果P不正確，且Q正確，則
∴ 的取值范圍為
[例9] 解關(guān)于的不等式：（且）
解：令
原不等式化為 *
等價(jià)于
由（3）得 即10
解得或（4）
由（1）、（2）得（5）
∴ *的解為 ∴
① 當(dāng)時(shí)，
② 當(dāng)時(shí)，
綜上，原不等式的解為時(shí)，
時(shí)，
[例10] 解關(guān)于的不等式：
解：由，得①
設(shè)，則①式變?yōu)?/span>
解得或 即或
∵ ∴ ∴ 原不等式等價(jià)于或
∵ ∴ ∴ 或
∴ 當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為：
【模擬試題】
1. 已知，不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立}，那么下列關(guān)系中成立的是（ ）
A. B. C. D.
2. 不等式的解集為，則的值為 。
3. 不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，則的取值范圍是（ ）
A. 或 B. 或
C. D.
4. 若不等式的解集為，求不等式的解集。
5. 若不等式組的整數(shù)解只有，試求的取值范圍。
6. 解關(guān)于的不等式。
7. 解關(guān)于的不等式。
【試題答案】
1. A 2. 或 3. C
4. 提示：的二根為2，3 ∴
∴ 化為 ∴
5. 解：由（1）得或 由（2）得
① 當(dāng)，
② 當(dāng)，
③ 當(dāng)時(shí)，無(wú)解
因?yàn)椴坏仁浇M的整數(shù)解只有，則
只有②這種情況即 不等式組只有整數(shù)解
則 ∴
6. 解：
① 當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為
② 當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為
③ 當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為
④ 當(dāng)時(shí)，不等式無(wú)意義
⑤ 當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為
7. 解：（1）當(dāng)時(shí)，原不等式化為 ∴
（2）當(dāng)時(shí)，原不等式化為（*）
① 當(dāng)時(shí)，（*）化為
<1> 當(dāng)時(shí)， ∴
<2> 當(dāng)時(shí)，無(wú)解
<3> 當(dāng)時(shí)， ∴
② 當(dāng)時(shí)，（*）化為 ∴ 或
綜上以上，得當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為
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