函數(shù)對稱性與周期性關系
【典型例題】
1. 定義在R上的函數(shù)，若總有
成立，則函數(shù)
的圖象是關于直線成軸對稱圖形。反之，若函數(shù)
的圖象關于直線
成軸對稱圖形，則必有
推論，對于定義在R上的函數(shù)，若有，則圖象關于直線成軸對稱圖形，反之亦真。
證明：若對，總有，設點，在的圖象上，點關于的對稱點，由
，則點在函數(shù)的圖象上，由的任意性知的圖象關于直線對稱，反之證明略。
推論，由顯然
[例1] 已知，滿足且，當時，比較與的大小。
解：由知關于對稱，故，又由知，則在遞減，在上遞增。
當時， ∴ 即
當時， ∴ ，即
[例2] 函數(shù)的圖象關于直線對稱，且時，則當時，的解析式為 。
解：依條件，設，則，
故
[例3] 若的圖象關于直線對稱，則 。
A. B. C. D.
解：由
得
即
∴
[例4] 設對任意，滿足且方程恰有6個不同的實根，則此六個實根之和為 。
A. 18 B. 12 C. 9 D. 0
解：依條件知圖象關于直線對稱，方程六個根必分布在對稱軸兩側，且兩兩對應以（3，0）點為對稱中心，故，所以，選A。
[例5] 設滿足（1），（2）當時，是增函數(shù)，定義域，則下列不等式成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
解：由條件知圖象關于直線成軸對稱
，
又及時遞增
∴ ，故選C
2. 對稱性與周期性的關系
（1）若函數(shù)在R上的圖象關于兩條直線與對稱，則為R上的周期函數(shù)。
（2）若函數(shù)在R上的圖象關于直線與點對稱，則為R上的周期函數(shù)。
證：（1）因圖象關于及對稱，則，，故得證
（2）由圖象關于對稱，有①
又由圖象關于點對稱，有，
∴ ，，即
以代有②
由①和② ③
以代有
又由③式 得證
特別地，圖象關于直線對稱的偶函數(shù)必是周期函數(shù)
推論，定義在R上的函數(shù)滿足
（1）當為偶函數(shù)時，是以為一個周期的周期函數(shù)。
（2）當為奇函數(shù)時，是以為一個周期的周期函數(shù)。
證：（1）
（2）
[例1] 已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)滿足：（1）；（2）；（3）當時，，求時，的解析式。
解：由（1）（2）知，對任
則，，
[例2] 已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)滿足：（1）；（2）；（3）當時解析式，求上的解析式。
解：設
當時，，則
當時，，則
又為偶函數(shù)，知
從而
另法：當時，，
當時，，
[例3] 函數(shù)定義在R上，且對一切滿足，，設，問方程在區(qū)間中至少有幾個實根。
解：依條件為函數(shù)的周期，，均為的根，因此在區(qū)間上至少有二個根
∵
由周期性可知也為的根
所以方程在區(qū)間中至少有
[例4] 若偶函數(shù)，滿足（1）圖象關于直線對稱，（2）在區(qū)間上是減函數(shù)，求證以為最小正周期。
證：依條件知為函數(shù)的周期，假設函數(shù)還存在比更小的周期2，且
令，則
（1）若，則與在上是減函數(shù)矛盾
（2）若，即時，與在上是減函數(shù)矛盾，所以是的最小正周期。
[例5] 已知是定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)，是R上的奇函數(shù)，又知（1）（是常數(shù)）；（2）試求的值。
分析：條件（2）即，即關于點對稱
又由是偶函數(shù)，故是以為周期的周期函數(shù)
解：由條件（2）知，令，則
，故，即為以4為周期的周期函數(shù)，又由，所以
【模擬試題】
一. 選擇題（每小題5分，共50分）
1. 函數(shù)的定義域為A，函數(shù)的定義域為B，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
2. 函數(shù)在區(qū)間上遞減，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，且，則滿足（ ）
A. B. C. D.
4. 定義在R上的奇函數(shù)為減函數(shù)，設，給出下列不等式：
（1）
（2）
（3）
（4）
其中正確的不等式序號是（ ）
A. （1）（2）（4） B. （1）（4）
C. （2）（4） D. （1）（3）
5. 偶函數(shù)在上單調遞減，則與的大小關系為（ ）
A. B.
C. D. 不能確定
6. 已知定義域為R的函數(shù)滿足有，且，若，則（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
7. 已知定義在R上的偶函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且滿足，當時，，則（ ）
A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D.
9. 函數(shù)是（0，2）上的增函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，則下列結論中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 設、分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當時，，且，則不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
二. 填空題（每小題4分，共24分）
11. 定義在R上的函數(shù)滿足，則
。
12. 已知函數(shù)，則 。
13. 設，，且，那么函數(shù)的最大值是
。
14. 已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，它們的定義域都為，當時，它們的圖象如下圖，則不等式的解集為 。
15. 已知二次函數(shù)，若在區(qū)間內至少存在一個實數(shù)，使，則實數(shù)的取值范圍是 。
16. 設函數(shù)，給出下列命題：
（1）時，為奇函數(shù)
（2），時，方程只有一個實數(shù)根
（3）的圖象關于點對稱
（4）方程至多兩個實數(shù)根
上述四個命題中所有正確的命題序號為 。
三. 解答題（共76分）
17. 已知集合，集合
，
其中，設全集，，求實數(shù)的取值范圍。
18. 求函數(shù)的值域。（滿分12分）
19. 已知兩個函數(shù)，
（1）若都有成立，求的取值范圍；
（2）若都有成立，求的取值范圍。（滿分12分）
20. 已知奇函數(shù)
（1）確定的值，并證明在R上為增函數(shù)；
（2）若方程在上有解，證明。（滿分12分）
21. 已知函數(shù)滿足，其中，且。
（1）對于函數(shù)，當時，，求實數(shù)的取值范圍；
（2）當時，的取值范圍恰為，求的取值范圍。（滿分14分）
【試題答案】
一.
1. A 2. D 3. B 4. B 5. C 6. B 7. C 8. A 9. B 10. D
二.
11. 7 12. 13. 0 14. 15. 16. ①②③
三.
17. 解：A： ∴
B：
設，則 ∴ ，
若，則，
∴ ∵ ∴ ∴
若，則在上
∴
∴ ∵
∴ ∴ 綜上所述：
18. 解： 定義域：R
設，則且
∴ （）
∵ 函數(shù)在上
∴ 當時，
∴ 函數(shù)的值域為
19. 解：∵
∴
令得，
3
+ 0 － 0 +
↑ 極大值 ↓ 極小值 ↑ 111
在上↓，在上↑
（1）∵ 都有成立
∴
（2）∵ 都有成立
∴ ，即 ∴
20. 解：（1）∵ 為R上的奇函數(shù) ∴
∴ ∴
設
∵ 在R上↑且，在上↑
∴ 在R上↑
（2）∵ 在R上↑，且當時有，
∴ 當時，的值域為（）
∵ 方程在上有解 ∴
∴ 即
21. 解：（1）（且）
設，則360docimg_501_ ∴ 360docimg_502_
∴ 360docimg_503_
當360docimg_504_時，∵ 360docimg_505_，360docimg_506_ ∴ 360docimg_507_在其定義域上↑
當360docimg_508_時，∵ 360docimg_509_，360docimg_510_ ∴ 360docimg_511_在其定義域上↑
∴ 360docimg_512_且360docimg_513_都有360docimg_514_為其定義域上的增函數(shù)
又∵ 360docimg_515_ ∴ 360docimg_516_為奇函數(shù)
（1）∵ 當360docimg_517_時，360docimg_518_
∴ 360docimg_519_
∴ 360docimg_520_
（2）當360docimg_521_時
∵ 360docimg_522_在360docimg_523_上↑且值域為360docimg_524_
∴ 360docimg_525_
360docimg_526_ 360docimg_527_ 360docimg_528_ 360docimg_529_
