反函數(shù)、方程根的分布
二. 本周教學(xué)重、難點(diǎn)：
1. 了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)圖象的關(guān)系，會(huì)求一些簡(jiǎn)單的反函數(shù)。
2. 掌握解決有關(guān)方程根的分布的基本方法。
【典型例題】
[例1] 記函數(shù)的反函數(shù)為
，則
等于（ ）
A. 2 B. C. 3 D. 
解：設(shè)，
則，即
[例2] 設(shè)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，2）對(duì)稱，且存在反函數(shù)，，求。
解：∵ 的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，2）對(duì)稱
∴ ∴
∴
兩邊用作用 ∴
[例3] 已知是R上的增函數(shù)，點(diǎn)A（）、B（1，3）在它的圖象上，是它的反函數(shù)，求不等式的解集。
解：由題意知在R上是增函數(shù)，且
又由，得，
即
∴
[例4] 已知函數(shù)，是的反函數(shù)，記
。
（1）求函數(shù)的反函數(shù)；
（2）求的最小值。
解：（1）∵
又 ∵ ∴ ∴
故 由，得，
解得
故
（2）
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，
取得最小值
[例5] 方程兩根在（2，3）內(nèi)，求的取值范圍。
解：設(shè)
∴
∴
∴
[例6] 方程的兩個(gè)根為，且，，求的取值范圍。
解： ∴
∴
[例7] 關(guān)于的方程至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根的充要條件是 。
解：方法一
（1）時(shí)，成立
（2）時(shí)，
設(shè)
① 2個(gè)負(fù)根
∴
∴
② 1正根1負(fù)根
∴
∴
③ 1負(fù)根1零根，不可能 ∴
∴ 由（1）（2）知：
方法二：
（1）時(shí)，成立
（2）時(shí)，設(shè)
① 方程有2個(gè)正根的條件
∴
∴
② 1正根1零根，不可能 ∴
③方程無(wú)實(shí)根的條件 ∴
∴ 方程至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件是
[例8] 若二次函數(shù)在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使，求的取值范圍。
解：設(shè)在內(nèi)不存在這樣的點(diǎn)
∴
∴
∴ ∴ 或
∴ 要使在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使，則
[例9] 已知拋物線上有一點(diǎn)M（）位于軸下方。
（1）求證：拋物線與軸必有2個(gè)交點(diǎn)，A（）B（）（設(shè)）且
（2）若M，求整數(shù)。
證：（1）∵ ∴
∴
∴
∴ ∴ 拋物線與軸必有2個(gè)交點(diǎn)
又 ∵
∴
∴
（2）
∴ 或
∴ 或
【模擬試題】
一. 選擇題：
1. 的反函數(shù)是（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，）對(duì)稱，且存在反函數(shù)，若，則等于（ ）
A. B. 1 C. D. 2
3. 函數(shù)的反函數(shù)的解析式為（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知函數(shù)存在反函數(shù)且，則函數(shù)的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ ）
A.（2，0） B.（0，2） C.（3，） D.（）
5. 設(shè)函數(shù)則的值是（ ）
A. B. C. D.
6. 設(shè)是函數(shù)的反函數(shù)，則使成立的的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知和是定義在上的函數(shù)，對(duì)任意的，存在常數(shù)，使得，，且，則在A上的最大值是（ ）
A. B. C. 5 D.
8. 如果函數(shù)的反函數(shù)是它本身，那么點(diǎn)（）的軌跡是（ ）
A. 定點(diǎn)（1，0）
B. 定點(diǎn)（）
C. 直線
D. 直線和定點(diǎn)（1，0）
二. 解答題：
1. 已知函數(shù)（，且）
（1）求函數(shù)的反函數(shù)；
（2）判定的奇偶性；
（3）解不等式
2. 若方程的兩根，一個(gè)比2大，一個(gè)比2小，求的取值范圍。
3. 關(guān)于的實(shí)系數(shù)二次方程的兩個(gè)實(shí)根為，證明：若且，那么。
【試題答案】
一.
1. B
解析：，，即（）
2. A
解析：由題意分析知點(diǎn)（3，0）關(guān)于點(diǎn)（1，）的對(duì)稱點(diǎn)（）也在上，結(jié)合反函數(shù)的意義分析知，故選A。
3. A
解析：由
∴ ，即
∴ ∴
交換得
4. D
解析：由題意，則
令，則有，故點(diǎn)必在的圖象上
5. D
解析：由題意知時(shí)，
設(shè)，則 即
解之，得或（舍）
6. A
解析：方法一：求得
由，得
∴ ，解得
方法二：∵ ∴ 為增函數(shù)
根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)的定義域、值域之間的關(guān)系，，即在中，在的條件下求的范圍。
∴
7. C
解析：由題設(shè)知和在上的同一點(diǎn)處取得最小值，且
∵ ，即
從而
又 ∴
8. D
解析：由互為反函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，知的圖象與重合成垂直
故或
二.
1. 解：
（1）化簡(jiǎn)，得，設(shè)，則
∴
∴ 所求反函數(shù)為
（2）∵
∴ 是奇函數(shù)
（3）
當(dāng)時(shí)，原不等式
∴ 當(dāng)時(shí)，
解得
∴
綜上，當(dāng)時(shí)，所求不等式的解集為（）；當(dāng)時(shí)，所求不等式的解集為（）
2. 解： ∴
∴
3. 證明：，
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