四維閔可夫斯基時(shí)空
我們?cè)诒究齐A段接觸的經(jīng)典力學(xué)和經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)里的物理規(guī)律，都是以三維矢量方程的形式描述的。
無論是牛頓運(yùn)動(dòng)定律，還是麥克斯韋方程組，其基本的物理對(duì)象都是三維歐式空間的矢量（例如：位置矢量 ，電場(chǎng) ，磁場(chǎng) 等等）。
我們通過求解動(dòng)力學(xué)方程，來研究它們隨著時(shí)間坐標(biāo)的演化和隨著空間坐標(biāo)的分布。這種描述貌似沒有什么問題，既然如此，我們?yōu)槭裁催€要引入四維時(shí)空呢？愛因斯坦在1905年建立的狹義相對(duì)論最深遠(yuǎn)的意義，就在于揭示了時(shí)間和空間的內(nèi)在聯(lián)系：時(shí)間和空間并不像牛頓力學(xué)所宣稱的那樣是獨(dú)立的、正交的、沒有聯(lián)系的；而是緊密相關(guān)的、可以互相轉(zhuǎn)化的。
牛頓力學(xué)描述的時(shí)空對(duì)象是三維歐氏空間和一維時(shí)間的直和，它們之間通過所謂的伽利略變換（伽利略變換是三維歐氏群 E3 群的群元，包含了三維平移，三維轉(zhuǎn)動(dòng)，三維反射等保持三維空間距離不變的變換）來聯(lián)系，伽利略變換中，時(shí)間和空間是獨(dú)立變化的。而狹義相對(duì)論所描述的時(shí)空是 3+1 維的閔氏時(shí)空，它們之間通過洛倫茲變換（洛倫茲變換是洛倫茲群的群元，包含了保持四維閔氏時(shí)空距離不變的變換: 三維轉(zhuǎn)動(dòng)，三維反射和boost變換）來聯(lián)系，洛倫茲變換中，時(shí)間和空間是相互耦合的。無數(shù)的高能物理實(shí)驗(yàn)告訴我們，我們的時(shí)空確實(shí)是通過洛倫茲變換而不是通過伽利略變換來聯(lián)系的，這意味著時(shí)間和空間是互相關(guān)聯(lián)而非互相獨(dú)立的——牛頓錯(cuò)了，愛因斯坦對(duì)了。下面我們先介紹洛倫茲變換。
洛倫茲變換
為了簡單起見，我們只介紹最簡單的洛倫茲boost變換。假設(shè)有兩個(gè)坐標(biāo)系S:(t,x,y,z) 和S1:(t1,x1,y1,z1) ，其中 S1 系相對(duì)S 系沿著 x 軸以速度 v 運(yùn)動(dòng)，并且在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持y1 軸與y 軸平行，z1 軸與 z 軸平行x1， 軸與x 軸重合。我們把初始條件設(shè)為t=t1=0 時(shí)兩個(gè)系的原點(diǎn)重合?，F(xiàn)在我們要問的是：對(duì)于同一個(gè)事件，(t1,x1,y1,z1) 和(t,x,y,z) 的定量關(guān)系是什么？ 我們知道任何理論都有基本的假設(shè)。牛頓力學(xué)的時(shí)空背景是三維歐氏空間，在這個(gè)空間中，一切的坐標(biāo)變換必須滿足三維空間距離不變：
從這個(gè)基本假設(shè)出發(fā)，我們可以導(dǎo)出伽利略變換，也就是牛頓力學(xué)中，聯(lián)系(t1,x1,y1,z1) 和(t,x,y,z) 的定量關(guān)系： 同理，狹義相對(duì)論的時(shí)空背景是四維閔氏時(shí)空，在這個(gè)時(shí)空中，一切坐標(biāo)變換必須滿足 四維時(shí)空距離不變：
其中c 為光速。從這個(gè)基本假設(shè)出發(fā)，我們就可以導(dǎo)出洛倫茲變換（推導(dǎo)留作練習(xí)）：
為了簡化記號(hào)，我們定義
上述洛倫茲變換可以寫為 或者用矩陣的語言，可以寫為
我們將矩陣
標(biāo)量，矢量和張量
以上我們介紹了四維閔氏時(shí)空中的洛倫茲變換和標(biāo)量，矢量，張量的定義，這些都是四維語言的基礎(chǔ)。用四維語言描述的物理量和物理定律，相比我們熟悉的三維形式，要簡潔優(yōu)美得多，并且用四維語言我們一眼就能看出物理量的變換性質(zhì)和體系的對(duì)稱性用術(shù)語來說：四維形式是“協(xié)變的”，三維形式是“非協(xié)變的”。
這一點(diǎn)其實(shí)很好理解，因?yàn)閷?shí)驗(yàn)已經(jīng)證明了我們所處的世界是 3+1 維的時(shí)空，時(shí)間維度和空間維度是耦合在一起的而非割裂的，那么我們用把時(shí)空一并處理的四維語言來描寫世界當(dāng)然要比用人為地把時(shí)間割裂出去的三維語言自然得多。
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從這個(gè)基本假設(shè)出發(fā)，我們可以導(dǎo)出伽利略變換，也就是牛頓力學(xué)中，聯(lián)系(t1,x1,y1,z1) 和(t,x,y,z) 的定量關(guān)系：
