兩個人要走到一起，并且能長久地相愛下去并不是一件容易的事情。俗話說“門當(dāng)戶對”、“天造地設(shè)”，戀愛是兩個人的事情，每個人的擇偶標(biāo)準(zhǔn)不同、自身?xiàng)l件不同、三觀也不同。那么，在一生中，我們是否能夠遇到屬于自己最合適的那個人呢？
單身狗注孤生定理：你永遠(yuǎn)遇不到合適的人。
在本推導(dǎo)中，我們將擇偶標(biāo)準(zhǔn)大致分為兩類：客觀自然標(biāo)準(zhǔn)、社會人文標(biāo)準(zhǔn)。
前者即每個人的出廠硬件設(shè)定，比如身高、體重、顏值等等，后者則是像財(cái)富值、職業(yè)、價(jià)值觀、興趣愛好等后天積累和養(yǎng)成的因素。為什么這樣劃分呢？主要是考慮到這兩類標(biāo)準(zhǔn)所服從的概率分布模型不同，這一點(diǎn)之后會有詳細(xì)的說明。
我們先討論客觀自然標(biāo)準(zhǔn)。
高斯分布（亦稱“正態(tài)分布”）是在自然界中廣泛存在的一個概率分布模型，許多自然現(xiàn)象都符合高斯分布，比如人類的身高、學(xué)生的學(xué)習(xí)成績、隨機(jī)誤差等等。
假設(shè)你只有一個滿足高斯分布的擇偶標(biāo)準(zhǔn)A（比如身高、體重等）。一般來說，人們對于這類自然標(biāo)準(zhǔn)的選擇會青睞于中上水平的，即不能低于平均水平太多，也不能太高。例如，身高不能低于170cm，但也不能太高，高于190cm的你可能也會猶豫。
服從高斯分布的擇偶標(biāo)準(zhǔn)A的概率密度函數(shù)如下：
其中，μ是擇偶標(biāo)準(zhǔn)A在人群中的均值，σ是標(biāo)準(zhǔn)差。
將高斯分布的概率密度積分，即可得到隨機(jī)變量X在某一范圍內(nèi)取值的概率，在概率密度圖像上可表現(xiàn)為其所圍的面積。
可見，高斯變量落在(μ-3σ,μ+3σ)范圍外的概率小于千分之三，這就是人們常用的3σ檢驗(yàn)原則。
如果你的擇偶要求（眼光）較高，意味著你對于擇偶條件A的接受范圍大概位于(μ+σ,μ+2σ)的區(qū)間（圖中陰影部分）：
那么你遇到一個標(biāo)準(zhǔn)A滿足要求的人的概率約為13.6%左右。
當(dāng)然，大部分人的擇偶要求沒有那么苛刻。假設(shè)擇偶標(biāo)準(zhǔn)位于(μ-σ,μ+2σ)的區(qū)間（圖中陰影部分）：
那么你遇到一個標(biāo)準(zhǔn)A滿足要求的人的概率約為81.85%左右。
乍一看，是不是感覺這個概率還蠻高的！
事實(shí)上，絕大多數(shù)人的擇偶要求不會這么低，因?yàn)?span>大部分的正常人都能滿足這個條件……
這個擇偶標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間已經(jīng)算是很低的門檻了，一般人的擇偶標(biāo)準(zhǔn)會比這個嚴(yán)苛很多。而且，最關(guān)鍵的是，這只是滿足其中一個擇偶標(biāo)準(zhǔn)的概率！你總不可能看到身高合適的就上吧~
現(xiàn)在我們同時(shí)考慮兩個擇偶標(biāo)準(zhǔn)會如何呢？比如擇偶標(biāo)準(zhǔn)A（體重）、B（顏值）。
假設(shè)A和B都服從高斯分布，此時(shí)我們需要引入二元高斯分布模型。
其中，X~N(μ1,σ12)，Y~N(μ2,σ22)，ρ是X和Y的相關(guān)系數(shù)。
有的朋友可能會問，為啥從1個變量到2個變量就復(fù)雜了這么多呢？不能直接把兩個變量的概率直接相乘嗎？
答案是：大多數(shù)情況下，不能。
在概率統(tǒng)計(jì)中，概率能直接相乘的條件是變量之間互相獨(dú)立。
而類似于身高、體重這樣的兩個變量并不是獨(dú)立的，存在著某種相關(guān)性。所以不能簡單地將它們的概率相乘。
由于不能直接相乘，我們可以根據(jù)概率密度函數(shù)的定義，對其求二重積分進(jìn)而算出概率，即：
其中f(x,y)是二元正態(tài)分布函數(shù)。
二重積分示意圖
回想在一元正態(tài)分布下有“3σ原則”，那么推廣到二元的情況呢？
是否在二元正態(tài)分布下，兩個變量同屬1σ的區(qū)間（x∈(μ1-σ1,μ1+σ1) & y∈(μ2-σ2,μ2+σ2)）的概率就是0.6826×0.6826=0.4659呢？
答案是否定的，因?yàn)閮蓚€隨機(jī)變量不一定是獨(dú)立的，即二元正態(tài)分布受到參數(shù)ρ（相關(guān)系數(shù)）的影響。
下面我們觀察不同的相關(guān)系數(shù)ρ對概率的影響。
由于該積分無法直接求出解析解，我們使用matlab求定積分?jǐn)?shù)值解：
得到曲線如下：
圖1
圖1中，橫坐標(biāo)是變量X和Y的相關(guān)系數(shù)ρ，縱坐標(biāo)是概率。2D-1σ（藍(lán)線）表示X和Y都落在各自的1σ區(qū)域，即x∈(μ1-σ1,μ1+σ1)且 y∈(μ2-σ2,μ2+σ2)的概率；1D-1σ（紫虛線）表示一元高斯變量的值落在1σ區(qū)間內(nèi)概率，即上文提到的0.6826。
其中，相關(guān)系數(shù)ρ越大，說明變量X和Y的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)ρ=0說明變量X和Y不相關(guān)。
注意：隨機(jī)變量獨(dú)立和不相關(guān)是兩個概念，獨(dú)立一定不相關(guān)，但不相關(guān)不一定獨(dú)立，不相關(guān)要弱于獨(dú)立。
但是可以證明，對于高斯分布來說，獨(dú)立就等價(jià)于不相關(guān)。所以，當(dāng)ρ=0時(shí)，高斯分布變量X和Y獨(dú)立，于是有P(XY)=P(X)×P(Y)。
從圖1中也可以看出，當(dāng)ρ=0時(shí)，以下結(jié)果成立：
這很好地應(yīng)證了上面所說的高斯分布由變量不相關(guān)可以推導(dǎo)出獨(dú)立的結(jié)論。
從圖1中可以看到，如果我們的擇偶標(biāo)準(zhǔn)A和B相關(guān)性較高，那么你遇到同時(shí)滿足要求的人的概率也就會大一些，但是最高也不會超過你遇到滿足你最嚴(yán)苛的條件的人概率。
也就是說，如果你遇到滿足擇偶條件A的人的概率是60%，遇到滿足擇偶條件B的人的概率是40%，那么你想要遇到同時(shí)滿足這兩個條件的人概率最大不會超過40%（可以算作某種意義上的“短板效應(yīng)”）。
而隨著擇偶標(biāo)準(zhǔn)A和B相關(guān)性的下降（比如A是身高，B是學(xué)習(xí)成績），你遇到那個ta的概率會隨之下降。這一點(diǎn)其實(shí)很顯然，與我們的直觀感受一致。
下面我們再考察三組實(shí)驗(yàn)，看看有什么有趣的結(jié)果：
（1）以嚴(yán)苛的條件同時(shí)限制擇偶標(biāo)準(zhǔn)A和B，即A和B都得落在各自的(μ+σ,μ+2σ)區(qū)間內(nèi)。
（2）以嚴(yán)苛的條件限制擇偶標(biāo)準(zhǔn)A，以寬松的條件限制擇偶標(biāo)準(zhǔn)B，即A得落在(μ+σ,μ+2σ)區(qū)間內(nèi)，B也落在(μ-σ,μ+2σ)區(qū)間內(nèi)。
（3）以寬松的條件同時(shí)限制擇偶標(biāo)準(zhǔn)A和B，即A和B都落在各自的(μ-σ,μ+2σ)區(qū)間內(nèi)。
同樣，我們使用matlab求解。
實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下圖：
圖2
表1
從圖2不難看出，當(dāng)我們將擇偶標(biāo)準(zhǔn)從1個增加到2個之后，無論你的擇偶條件是嚴(yán)苛還是寬松，你遇到合適的人的概率都大幅下降了。表1中列出了不同擇偶條件組合下遇到合適的人的最大概率和最小概率。
從最好情況的概率來看仿佛一切都還ok，但是，很遺憾地告訴大家，最好情況在這里并沒有什么卵用……因?yàn)樽詈们闆r是當(dāng)相關(guān)系數(shù)ρ接近1時(shí)得到的，這意味著我們選擇的兩個擇偶標(biāo)準(zhǔn)A和B有著很強(qiáng)的線性關(guān)系，比如學(xué)習(xí)成績和努力程度。既然這兩個擇偶標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)有很強(qiáng)的相關(guān)性了，那么我們?yōu)楹芜€要把他們分成兩個指標(biāo)呢？
事實(shí)上，在現(xiàn)實(shí)生活中，我們能夠選為擇偶標(biāo)準(zhǔn)的指標(biāo)之間的相關(guān)性都比較弱，也只有這樣才能夠多維度、全方位地評價(jià)一個人。你會把身高、勤奮度作為兩個不同的擇偶指標(biāo)，但沒必要把科研能力和頂級期刊論文發(fā)表數(shù)這兩個相關(guān)性很強(qiáng)的指標(biāo)單列為兩個擇偶標(biāo)準(zhǔn)。所以，我們要關(guān)注的更多的是當(dāng)ρ比較小時(shí)的情況，也就是最差情況的概率。
這是想說明什么呢？在兩個擇偶標(biāo)準(zhǔn)下，你遇到合適的人的概率已經(jīng)大幅縮水了，尤其是如果你的眼光比較高的話，你現(xiàn)在遇到滿足要求的人的概率已經(jīng)不足2%了，哪怕你只對一個條件比較嚴(yán)苛而對另一個條件抱有寬宏的態(tài)度，你現(xiàn)在遇到合適的人的概率也只剩11%。
更可怕的是……現(xiàn)在還只是討論了兩個擇偶標(biāo)準(zhǔn)的情況。顯然，你挑選戀人不會只在乎兩個標(biāo)準(zhǔn)吧，你不可能對今后要結(jié)婚生子、托付終身的人只有兩個要求吧？
所以，接下來，我們將對自然客觀類的擇偶標(biāo)準(zhǔn)推廣到n維的情況……
結(jié)果是什么我想你已經(jīng)可以預(yù)見了吧……
結(jié)局會是多么的凄涼慘淡、不忍卒讀……
n元高斯分布的概率密度函數(shù)如下：
其中∑是協(xié)方差矩陣，μ是均值向量。
n元高斯分布的累計(jì)概率分布為：
由于高維無法用圖表示，我們示意性地畫一個二維情況下的概率分布圖像：
二元高斯分布累計(jì)概率分布函數(shù)圖像
更高維的情況下大家可以自行想象一下。
下面我們假設(shè)n維高斯變量之間兩兩相互獨(dú)立，以此來估算一個下界。
假設(shè)你有n個服從高斯分布的擇偶標(biāo)準(zhǔn)，他們之間相互獨(dú)立。我們遵循上面的討論，分為嚴(yán)格和寬松兩種條件。我們畫出不同寬松組合下你遇到滿足要求的人的概率圖如下：
上圖橫坐標(biāo)m表示寬松組合中嚴(yán)苛的頻次，縱坐標(biāo)表示遇到滿足要求的人的概率。比如，當(dāng)n=5時(shí)，表示你有5個不同的擇偶標(biāo)準(zhǔn)，橫坐標(biāo)m=1對應(yīng)的點(diǎn)，代表5個不同的擇偶標(biāo)準(zhǔn)中，你有1個標(biāo)準(zhǔn)是以嚴(yán)苛來要求，其余4個是寬松，也即是4寬1嚴(yán)的組合下，你遇到滿足要求的人的概率是0.061（6.1%）。
從曲線可以看出，隨著n的增大以及m的增大，概率衰減得特別快。
這告訴我們什么呢？想找到男朋友女朋友，就要少提要求、降低門檻，不然你遇到滿足條件的人完全就是一個小概率事件（一般概率低于5%的事件就算得上小概率事件了）。然而，怎么可能對另一半不提要求、放寬限制呢？寧缺毋濫！所以，這成功地說明一個道理：你幾乎不可能遇到合適的人！?。?/strong>
以上就是我們對自然客觀類擇偶標(biāo)準(zhǔn)的討論。
下面我們考慮社會人文類標(biāo)準(zhǔn)。這類標(biāo)準(zhǔn)有一個特點(diǎn)，就是會受到人類社會活動很強(qiáng)的影響。
除了高斯分布，還有一個常見的分布是冪律分布。實(shí)際上，在社會生活中，許多現(xiàn)象并不符合高斯分布，而是更貼近冪律分布，比如人類財(cái)富的分布、國家GDP分布、詞頻分布、社交網(wǎng)絡(luò)分布等等。著名的80/20定律（20%的人擁有80%的社會資源）即是出自冪律分布。
冪律分布的數(shù)學(xué)模型是冪函數(shù)：
其中C，α是常數(shù)。
冪函數(shù)示例（C=1，α=3）
在概率統(tǒng)計(jì)中，概率密度函數(shù)f(x)滿足非負(fù)性和規(guī)范性，即函數(shù)值非負(fù)并且全域積分為1。
所以，在冪律分布中，就要求有C>0，α>0。除此之外，由微積分的知識不難得出，為了讓上述積分收斂，我們一般指定x有一個最小值（下界）xmin。于是，我們就引出了著名的Pareto Distribution，也即人們常說的長尾分布。
由上式即可求出規(guī)范化常數(shù)C的值，進(jìn)而求出Pareto Distribution的概率密度函數(shù)為：
其中，要求α>1。
于是，Pareto Distribution的概率累計(jì)分布函數(shù)為：
其中，xmin和α是模型的參數(shù)。
xmin=1，α不同取值時(shí)的Pareto Distribution概率密度圖像
xmin=1，α不同取值時(shí)的Pareto Distribution概率分布圖像
Pareto Distribution有如下性質(zhì)：
（1）當(dāng)α>2時(shí)才有均值：
（2）當(dāng)α>3時(shí)方差才收斂：
自然界中，冪律分布的參數(shù)α大多落在2~3之間。
為了近似擬合“80/20定律”，我們這里取α=3。
注意：“80/20定律”并不嚴(yán)格說明控制80%資源的關(guān)鍵部分就是20%，而是一個從圖像上得到的直觀籠統(tǒng)的概念。實(shí)際上，在當(dāng)前假設(shè)下，無法求解關(guān)鍵部分的確切占比（如果對冪律分布做截?cái)嗵幚?，?guī)定最大最小值，那么有可能設(shè)計(jì)出恰好的“80/20分布”）。
接下來，我們可以從以下兩個角度對其進(jìn)行觀察分析。
第一個角度將從較為直觀的“80/20定律”出發(fā)，這個角度不存在嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)與證明。
假設(shè)你有一個擇偶條件A服從“80/20定律”，比如財(cái)富值。舉個具體的例子，若現(xiàn)在共有100個人，假設(shè)他們的財(cái)富分布表如下：
這意味著，你有80%的概率，遇到的人都屬于“長尾部分”（沒錢的那部分）。反過來說，如果你的擇偶條件對財(cái)富值有較高的要求，那么你只有20%的概率接觸到率先組成總財(cái)富80%的那個富裕集團(tuán)的成員。
如果你放寬一些條件呢？遇到率先組成總財(cái)富90%的群體的成員的概率是多少呢？由于冪律分布極快的收縮性，這個概率也并不會很高，大約會在30%左右。也就是說，剩下70%的人總共的財(cái)富加起來才只占人類總財(cái)富的10%……
這說明了什么呢？說明這個世界上，絕大部分的人都挺窮……（啊，終于找到了安慰自己的理由）
也就是說，直觀上，“80/20定律”告訴了我們這么一個道理：真正的有錢人是真正的少，但他們是真真正正的有錢！你想遇到真正的有錢人的概率是真正的低，因?yàn)槟闵磉叾际钦嬲嬲母F人！（當(dāng)然，也包括我和你）
第二個角度我們將從概率密度函數(shù)的數(shù)學(xué)意義入手，詮釋冪律分布的準(zhǔn)確意義。
讓我們回顧一下這張圖。
在數(shù)學(xué)上，概率密度f(x)是指隨機(jī)變量X落在某一點(diǎn)處“單位寬度”內(nèi)的概率。概率密度函數(shù)在某個區(qū)域上的積分，就表示了隨機(jī)變量X的取值落在該區(qū)域之內(nèi)的概率。
于是，上圖在概率統(tǒng)計(jì)上的意義即是，對于服從xmin=1，α=3的長尾分布的隨機(jī)變量X，X的取值落在[1,2.236]范圍之內(nèi)的概率是80%。
弄清楚這個之后，我們就可以將其和擇偶概率聯(lián)系起來了。
同前文所述的高斯分布一樣，這里的橫坐標(biāo)表示某一個擇偶標(biāo)準(zhǔn)的度量，比如在這里我們假設(shè)擇偶標(biāo)準(zhǔn)A是財(cái)富值，橫坐標(biāo)就表示財(cái)富等級，等級越高說明財(cái)富值越大，最小值1是當(dāng)前系統(tǒng)內(nèi)的最小財(cái)富值等級。
我們先來算一下這個系統(tǒng)內(nèi)的財(cái)富值均值。根據(jù)前文的公式，有：
于是，均值μ=2。
假設(shè)你的擇偶條件是該系統(tǒng)內(nèi)財(cái)富值大于均值μ的人，那么概率為：
也就是說，你的要求僅僅是能夠達(dá)到平均水平就行，但是遇到滿足條件的人的概率也只有25%！
倘若你的要求稍微高一些呢？比如你想找到該系統(tǒng)內(nèi)該指標(biāo)大于兩倍均值μ的人，概率為：
天吶！概率已經(jīng)驟降為6.25%了?。?！
（這個要求很高么？不高啊?。?/span>
可見，對于社會人文類的擇偶標(biāo)準(zhǔn)，哪怕你的要求看上去算是很寬松了，你遇到合適的人的概率也還是很低很低！這還只是一個擇偶標(biāo)準(zhǔn)的情況，現(xiàn)實(shí)中我們的擇偶標(biāo)準(zhǔn)肯定不止一個吧……
下面，我們將自然客觀擇偶標(biāo)準(zhǔn)和社會人文擇偶標(biāo)準(zhǔn)結(jié)合起來。我們之前討論過變量之間不獨(dú)立的問題，但是鑒于計(jì)算的可行性以及針對該問題我們可以近似認(rèn)為擇偶標(biāo)準(zhǔn)之間相關(guān)性很低，這里我們假設(shè)變量兩兩獨(dú)立，以此來估算一個下界。
我們假設(shè)在兩類標(biāo)準(zhǔn)中各選兩個擇偶標(biāo)準(zhǔn)，則共有9種不同的寬松組合。
雖然這個概率只是一個下界（最差情況），但是相信大家還是能從中感受到一股寒意……并且我們這里只討論了四個擇偶標(biāo)準(zhǔn)，實(shí)際情況肯定還要比這個復(fù)雜多變，意味著真實(shí)概率可能比這個還要低……
還有一個更關(guān)鍵的問題，就算你很幸運(yùn)地遇到了滿足你要求的人，但是你滿足對方的要求了嗎？
你喜歡別人，別人喜歡你嗎？你覺得對方是你的最佳選擇，對方或許都沒把你寫入備胎名單?。ㄟ@些問題需要大家每日三省?。?/span>
沒錯，這就是你找不到合適的人的原因——因?yàn)樵诟怕噬?，你已?jīng)涼了！
好了，一首涼涼先送給大家！
轉(zhuǎn)載自：中科院物理所，轉(zhuǎn)載請注明出處。
