教學(xué)目標(biāo)：了解第二次數(shù)學(xué)危機(jī)及其發(fā)生與解決。體會(huì)數(shù)學(xué)的發(fā)展不是一帆風(fēng)順的，同時(shí)，數(shù)學(xué)的發(fā)展也要經(jīng)歷從不完善到完善的過程。
教學(xué)過程
一、導(dǎo)入
經(jīng)歷了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，數(shù)學(xué)就一帆風(fēng)順地發(fā)展下來了嗎？不是的?！ ?/p>
二、第二次數(shù)學(xué)危機(jī)
1、芝諾悖論引發(fā)微積分的產(chǎn)生
十七、十八世紀(jì)關(guān)于微積分發(fā)生的激烈的爭(zhēng)論，被稱為第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。從歷史或邏輯的觀點(diǎn)來看，它的發(fā)生也帶有必然性。
這次危機(jī)的萌芽出現(xiàn)在大約公元前450年，芝諾注意到由于對(duì)無限性的理解問題而產(chǎn)生的矛盾，提出了關(guān)于時(shí)空的有限與無限的四個(gè)悖論：
“兩分法”：向著一個(gè)目的地運(yùn)動(dòng)的物體，首先必須經(jīng)過路程的中點(diǎn)，然而要經(jīng)過這點(diǎn)，又必須先經(jīng)過路程的1/4點(diǎn)……，如此類推以至無窮?！Y(jié)論是：無窮是不可窮盡的過程，運(yùn)動(dòng)是不可能的。
“阿基里斯(《荷馬史詩》中的善跑的英雄)追不上烏龜”：阿基里斯總是首先必須到達(dá)烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)，因而烏龜必定總是跑在前頭。這個(gè)論點(diǎn)同兩分法悖論一樣，所不同的是不必把所需通過的路程一再平分。
“飛矢不動(dòng)”：意思是箭在運(yùn)動(dòng)過程中的任一瞬時(shí)間必在一確定位置上，因而是靜止的，所以箭就不能處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。
“操場(chǎng)或游行隊(duì)伍”：A、B兩件物體以等速向相反方向運(yùn)動(dòng)。從靜止的C來看，比如說A、B都在1小時(shí)內(nèi)移動(dòng)了2公里，可是從A看來，則B在1小時(shí)內(nèi)就移動(dòng)了4公里。運(yùn)動(dòng)是矛盾的，所以運(yùn)動(dòng)是不可能的。
芝諾揭示的矛盾是深刻而復(fù)雜的。前兩個(gè)悖論詰難了關(guān)于時(shí)間和空間無限可分，因而運(yùn)動(dòng)是連續(xù)的觀點(diǎn)，后兩個(gè)悖論詰難了時(shí)間和空間不能無限可分，因而運(yùn)動(dòng)是間斷的觀點(diǎn)。芝諾悖論的提出可能有更深刻的背景，不一定是專門針對(duì)數(shù)學(xué)的，但是它們?cè)跀?shù)學(xué)王國(guó)中卻掀起了一場(chǎng)軒然大被。它們說明了希臘人已經(jīng)看到“無窮小”與“很小很小”的矛盾，但他們無法解決這些矛盾。其后果是，希臘幾何證明中從此就排除了無窮小。
經(jīng)過許多人多年的努力，終于在17世紀(jì)晚期，形成了無窮小演算——微積分這門學(xué)科。牛頓和萊布尼茲被公認(rèn)為微積分的奠基者，他們的功績(jī)主要在于：把各種有關(guān)問題的解法統(tǒng)一成微分法和積分法；微分法和積分法有明確的計(jì)算步驟；互為逆運(yùn)算。由于運(yùn)算的完整性和應(yīng)用的廣泛性，微積分成為當(dāng)時(shí)解決問題的重要工具。
說白了，微積分是一種數(shù)學(xué)思想，“無限細(xì)分”就是微分，“無限求和”就是積分，無限就是極限。極限思想是微積分的基礎(chǔ)，它是用一種運(yùn)動(dòng)的思想看待問題。比如,子彈飛出槍膛的瞬間速度就是微分的概念，子彈每個(gè)瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念。
其實(shí)，作為微積分基礎(chǔ)的極限思想，在中國(guó)古老的著作《莊子》中就出現(xiàn)過，《莊子》天下篇中有“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”的無窮思想，魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》作注時(shí)創(chuàng)立的“割圓術(shù)”中也有極限思想：“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割，以至于不可割,則與圓合體而無所失矣?！?/p>
只不過，中國(guó)人沒有覺得這有什么，也就沒有去研究。
微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。它使數(shù)學(xué)從初等數(shù)學(xué)“進(jìn)化”到了高等數(shù)學(xué)。
2、第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生
運(yùn)用微積分雖然可解決無限細(xì)分和無限求和這樣的問題，但微積分的主要?jiǎng)?chuàng)始人牛頓在一些典型的推導(dǎo)過程中，運(yùn)用了自相矛盾的思想：一方面，他用了無窮小量作分母進(jìn)行除法，這時(shí)候的無窮小量不能為零；另一方面，他把無窮小量看作零，去掉那些包含它的項(xiàng)，從而得到所要的公式。雖然力學(xué)和幾何學(xué)的應(yīng)用證明了這些公式是正確的，但它的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程卻在邏輯上自相矛盾。焦點(diǎn)是：無窮小量是零還是非零？如果是零，怎么能用它做除數(shù)？如果不是零，又怎么能把包含著無窮小量的那些項(xiàng)去掉呢？
無窮小量究竟是不是零？?jī)煞N答案都會(huì)導(dǎo)致矛盾。牛頓對(duì)它曾作過三種不同解釋：1669年說它是一種常量；1671年又說它是一個(gè)趨于零的變量；1676年它被“兩個(gè)正在消逝的量的最終比”所代替。但是，他始終無法解決上述矛盾。萊布尼茲曾試圖用和無窮小量成比例的有限量的差分來代替無窮小量，但是他也沒有找到從有限量過渡到無窮小量的橋梁。
雖在牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立微積分之后的大約一百年中，很少有人注意到從邏輯上加強(qiáng)這門學(xué)科的基礎(chǔ)，但絕不是對(duì)薄弱的基礎(chǔ)沒有人批評(píng)。對(duì)有缺陷的基礎(chǔ)強(qiáng)有力的批評(píng)來自一位非數(shù)學(xué)家，這就是著名的英國(guó)唯心主義哲學(xué)家、大主教貝克萊。1734年，貝克萊發(fā)表《分析學(xué)家或者向一個(gè)不信正教數(shù)學(xué)家的進(jìn)言》，矛頭指向微積分的基礎(chǔ)----無窮小的問題，提出了所謂貝克萊悖論。由此圍繞微積分基礎(chǔ)的大論戰(zhàn)便開始了。數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家和神學(xué)家都紛紛卷入其中，被稱為第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。
３、第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決
18世紀(jì)的數(shù)學(xué)思想的確是不嚴(yán)密的、直觀的，強(qiáng)調(diào)形式的計(jì)算而不管基礎(chǔ)的可靠。其中特別是沒有清楚的無窮小概念，從而導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念不清楚；無窮大概念不清楚；發(fā)散級(jí)數(shù)求和具有任意性等等；符號(hào)的不嚴(yán)格使用；不考慮連續(xù)性就進(jìn)行微分，不考慮導(dǎo)數(shù)及積分的存在性以及函數(shù)可否展成冪級(jí)數(shù)等等。
歷史要求給微積分以嚴(yán)格的基礎(chǔ)。
第一個(gè)為補(bǔ)救第二次數(shù)學(xué)危機(jī)提出真正有見地的意見的是達(dá)朗貝爾。他在1754年指出，必須用可靠的理論去代替當(dāng)時(shí)使用的粗糙的極限理論。但是他本人未能提供這樣的理論。最早想象使微積分嚴(yán)謹(jǐn)化的是拉格朗日，為了避免使用無窮小推斷和當(dāng)時(shí)還不明確的極限概念，拉格朗日曾試圖把整個(gè)微積分建立在泰勒式的基礎(chǔ)上。但是，這樣一來，考慮的函數(shù)范圍太窄了，而且不用極限概念也無法討論無窮級(jí)數(shù)的收斂問題。所以，拉格朗日的以冪級(jí)數(shù)為工具的代數(shù)方法也未能解決微積分的奠基問題。
到了十九世紀(jì)，出現(xiàn)了一批杰出的數(shù)學(xué)家，他們積極地為微積分學(xué)的奠基工作而努力。首先要提到的是捷克的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家波爾查諾。他開始將嚴(yán)格的論證引入導(dǎo)數(shù)學(xué)分析中。1816年他在二項(xiàng)展開公式的證明中，明確地提出了級(jí)數(shù)收斂的概念。同時(shí)對(duì)極限、連續(xù)、變量有了較深入的理解。特別是他曾寫出《無窮的悖論》一書，書中包含許多真知灼見?？上?，在他去世兩年后該書才得以出版。
分析學(xué)的奠基人，公認(rèn)為法國(guó)多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家柯西。柯西在數(shù)學(xué)分析和置換群理論方面做了開拓性的工作，是最偉大的近代數(shù)學(xué)家之一。他在1821年——1823年間出版的《分析教程》和《無窮小計(jì)算講義》是數(shù)學(xué)史上劃時(shí)代的著作。在那里他給出了數(shù)學(xué)分析一系列基礎(chǔ)概念的精確定義，例如，他給出了精確的極限定義，然后用極限定義連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分、無窮級(jí)數(shù)的收斂性。這些定義基本上就是我們今天微積分課本中使用的定義，不過現(xiàn)在寫的更加嚴(yán)格一點(diǎn)。
經(jīng)歷了半個(gè)多世紀(jì)，基本上解決了矛盾，為數(shù)學(xué)分析奠定了嚴(yán)格的基礎(chǔ)。
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