數(shù)學(xué)是科學(xué)的靈魂，而科學(xué)又是技術(shù)的源頭，技術(shù)又是生產(chǎn)力增加、生活條件提升的必要條件。
現(xiàn)代數(shù)學(xué)的起源是集合論。這是非數(shù)學(xué)專業(yè)的同學(xué)基本不會(huì)接觸到的領(lǐng)域，但這也是人類文明最前沿的精華，所以我們?cè)跀?shù)學(xué)模塊中要把這個(gè)留在最后說(shuō)。
從具象化到抽象化
有這么一個(gè)規(guī)律： 一個(gè)領(lǐng)域的知識(shí)如果不斷地深入發(fā)展，都有同一個(gè)趨勢(shì)，那就是從具象化到抽象化。
比如人類祖先出現(xiàn)了語(yǔ)言，語(yǔ)言實(shí)際上就是對(duì)具體事物的抽象化表述。在談?wù)摣C物的時(shí)候，就不必非得眼前有一只水牛，有一只羚羊，我們就可以用水牛這個(gè)詞來(lái)代替獵物。
數(shù)字的出現(xiàn)也反映了事物從具象到抽象化的過(guò)程。
比如說(shuō)人類祖先用弓箭獵取動(dòng)物的時(shí)候，弓箭總是有數(shù)量的，他們?cè)谡務(wù)撌掷镉卸嗌偌臅r(shí)候，也許手中真的是有那么多箭，但也有可能沒有。但他們要表達(dá)的是給我10支箭。那么10這個(gè)數(shù)字就是弓箭數(shù)量的抽象化，作為數(shù)字它可以代表10支弓箭，也可以代表10只水牛。總之，10是一個(gè)可以脫離實(shí)際事物存在的準(zhǔn)確的概念。
藝術(shù)領(lǐng)域也是這樣，曾經(jīng)古人在繪畫上追求的最高極致就是逼真，這就是具象化的追求。大約在1850年之后，繪畫繼續(xù)發(fā)展，逼真這種具象化的檔次，高度就不夠高了。藝術(shù)家希望通過(guò)顏色、線條、光影表達(dá)一種思想理念，也許是一種情緒，或者是一種世界觀，抽象派就這樣誕生了。畫家們就再也不把逼真作為終極目標(biāo)。音樂也一樣有從具象到抽象化的過(guò)程。
不光是各個(gè)領(lǐng)域，就算是單個(gè)的人，他的智力發(fā)育過(guò)程也存在著從具象到抽象的變化，越成熟的人理解的抽象概念就越多。
比如同樣是宇宙跟黑洞，孩子們對(duì)黑洞能吸走多少宇宙飛船感興趣，而成年人對(duì)黑洞到底是什么感興趣。不論是文明的進(jìn)程，還是個(gè)人的智力發(fā)育，都在往更抽象化的方向上發(fā)展。
數(shù)學(xué)領(lǐng)域一樣存在這個(gè)發(fā)展過(guò)程，數(shù)學(xué)的各個(gè)分支是按使用環(huán)境分的，比如：
跟圖形相關(guān)的，丈量土地，剪裁衣服，這些就叫做幾何。
根據(jù)已知數(shù)求未知數(shù)列算式的就被叫做代數(shù)。
往空中拋兩個(gè)銀幣，有多大的可能它們都是正面呢？這個(gè)叫做概率論。
但這些都是具象化的理解?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)之后，構(gòu)建在集合論的基礎(chǔ)之上，從前這些分類就顯得太弱了。之后的分類就是靠集合的結(jié)構(gòu)，所以這些傳統(tǒng)的分類方法雖然對(duì)外行來(lái)說(shuō)依然是顯而易見，好理解的，但實(shí)際最前沿的數(shù)學(xué)已經(jīng)不再把它們當(dāng)作是單獨(dú)的分類了。它們?cè)诩险摰慕嵌瓤炊汲霈F(xiàn)了新的結(jié)構(gòu)。
微積分基礎(chǔ)的建成
之前的文章，我們知道牛頓、萊布尼茨的微積分是以一個(gè)解決問(wèn)題的工具出現(xiàn)的，但是這兩個(gè)人并不能嚴(yán)格地證明在什么情況下可以使用這個(gè)工具，數(shù)學(xué)界對(duì)這個(gè)問(wèn)題也很看重，后來(lái)還引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，這次的危機(jī)簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是質(zhì)疑微積分的基礎(chǔ)不夠堅(jiān)實(shí)。
最后的結(jié)果，就是給這個(gè)工具找到了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，整個(gè)過(guò)程經(jīng)歷了130年，也就是在科學(xué)家柯西那里告一段落，因?yàn)榭挛靼咽裁词呛瘮?shù)的極限連續(xù)做了比較精確的定義，這之后，數(shù)學(xué)家們開始對(duì)各種趨于無(wú)窮大，趨于無(wú)窮小，或者是趨于某個(gè)數(shù)值的函數(shù)感興趣，給它們分類。
也因?yàn)榭挛鞯墓ぷ鳎瑪?shù)學(xué)家們認(rèn)識(shí)到很多類型的函數(shù)都可以統(tǒng)一地用 sin 或者 cos 這樣的三角函數(shù)，幾個(gè)疊加或者是無(wú)窮多個(gè)三角函數(shù)疊加之后表示出來(lái)。
這個(gè)道理要完全明白，可能要上完大學(xué)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課才可以。
三角級(jí)數(shù)
12歲以上的同學(xué)們大致都可以感受到為什么說(shuō)幾個(gè)三角函數(shù)疊加在一起就可以把很多函數(shù)圖像都表示出來(lái)了。
在上面的圖里，黑色的橫杠一會(huì)兒維持正1，一會(huì)兒維持負(fù)1，這部分黑色的線段就是我們目標(biāo)需要模擬出來(lái)的這個(gè)函數(shù)，而紅色的曲線你看它是在不斷地變化。為什么變？就是因?yàn)槲覀儾粩嗟匕迅嗟娜呛瘮?shù)疊加在上面。
最初你看，只有一條波浪線，后來(lái)在波浪線上繼續(xù)疊加波浪，隨著波浪不斷變多，紅色的線條越來(lái)越接近黑色橫杠的樣子。這時(shí)候咱們?cè)侔炎⒁饬Ψ旁趫D片下方，那個(gè)幾乎看不清的公式上。那個(gè)公式每一項(xiàng)每一項(xiàng)都是一級(jí)三角函數(shù)，那個(gè)公式就是把這一級(jí)又一級(jí)的三角函數(shù)不斷疊加，圖形也會(huì)變得不斷復(fù)雜，每疊加一項(xiàng)，紅色的曲線就離黑色目標(biāo)形狀靠近一些。
大家可以數(shù)一數(shù)，現(xiàn)在這張圖是疊加了8項(xiàng)之后的效果，其實(shí)理論上它是可以按照特定的規(guī)律無(wú)限疊加，疊加9項(xiàng)，甚至9萬(wàn)項(xiàng)。疊加的三角函數(shù)無(wú)限多之后，紅色的線段就會(huì)無(wú)限地接近紅色的線段了，我們就管疊加了無(wú)限項(xiàng)數(shù)之后的式子叫做這個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)的展開式。這大致就是數(shù)學(xué)家們樂于見到的樣子，因?yàn)閺那案且稽c(diǎn)關(guān)系都沒有的函數(shù)，現(xiàn)在竟然可以用三角函數(shù)無(wú)限趨近了。
但這個(gè)時(shí)候數(shù)學(xué)家們也在擔(dān)心另一個(gè)問(wèn)題，那就是對(duì)于一個(gè)已知的函數(shù)來(lái)說(shuō)，它對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)的展開式是唯一的嗎？還是說(shuō)有多種不同樣式的展開式都可以表示同一種函數(shù)呢？
這個(gè)問(wèn)題最早是1854年黎曼提出來(lái)的。
在1870年，數(shù)學(xué)家海涅推進(jìn)了第一步，但是這一步很有限，他的結(jié)論是：只要展開式是一致收斂的，展開式的樣式就是唯一的。一致收斂這是一個(gè)數(shù)學(xué)專業(yè)的名詞，它是比收斂的約束力更強(qiáng)的一種收斂。
那么收斂是什么呢？
你可以理解成三角函數(shù)一項(xiàng)一項(xiàng)疊加過(guò)程中不會(huì)加到后來(lái)趨于無(wú)限大，那么就可以說(shuō)它是收斂的。
如果用減肥來(lái)作比喻，收斂就相當(dāng)于要求這個(gè)大胖子，你不論怎么長(zhǎng)，體重都不要超過(guò)300斤。但是一致收斂比這個(gè)要求要強(qiáng)得多，它可能是要求這個(gè)大胖子不但不能超過(guò)300斤，而且還要在一個(gè)月內(nèi)降到200斤以內(nèi)。
但其實(shí)要求整個(gè)函數(shù)都一致收斂，這是一個(gè)限制性太高的要求了，如果只能證明到這種強(qiáng)度的話，那么這個(gè)世界上沒有多少函數(shù)可以平安無(wú)事地轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的展開式。而實(shí)際上去觀察，貌似是不用這么強(qiáng)的標(biāo)準(zhǔn)就可以，所以數(shù)學(xué)家們就得想方設(shè)法在更加寬松的條件下繼續(xù)證明這么展開是可以做的。
一年后，海涅自己又推進(jìn)了一小步，他證明了除了間斷點(diǎn)以外，其他部分如果是一致收斂的，那么展開式的樣式就是唯一的。
這次確實(shí)是寬松了一點(diǎn)點(diǎn)，但也只是扣去了那幾個(gè)固定點(diǎn)。
間斷點(diǎn)是什么呢？
大家還可以看我上面那張動(dòng)圖，你發(fā)現(xiàn)沒有，黑色的線條它的高度一會(huì)兒是正1維持一段，然后又跳變成負(fù)1，又維持一段。由正1跳變到負(fù)1，或者是從負(fù)1再跳變到正1，這些點(diǎn)都是間斷點(diǎn)。
海涅的證明就是可以把這些點(diǎn)不作考慮，只要求剩余的部分是一致收斂的，那展開式它的形式就是唯一的。
但這仍然也夠苛刻的，因?yàn)榭廴ニ哪切c(diǎn)，它占比原有函數(shù)，那相當(dāng)于是趨近于0%。而且黑色這個(gè)函數(shù)如果按照現(xiàn)在這個(gè)規(guī)律無(wú)限地延伸下去。
這種間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)將是無(wú)限多個(gè)的，那么存在無(wú)限多個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)，它的三角函數(shù)的展開式形式還是唯一的嗎？
所以海涅也沒法證明了。這個(gè)問(wèn)題本來(lái)從黎曼提出之后16年好不容易有了一點(diǎn)進(jìn)展，但這下又卡住了。
不過(guò)，卡住只有一年，馬上就有一位大神級(jí)的人物橫空出世，他叫做格奧爾格·康托。他完成了兩步跳躍：
第一步是證明了即使在有限個(gè)間斷點(diǎn)上不收斂，展開式還是唯一的；
第二步進(jìn)一步證明了間斷點(diǎn)上假如是都不收斂，哪怕間斷是無(wú)窮多的，但只要這種無(wú)窮多符合某種特別的規(guī)律，展開式也仍然是唯一的。
你發(fā)現(xiàn)沒有，康托分析的對(duì)象已經(jīng)跟過(guò)往的數(shù)學(xué)家完全不同了，因?yàn)樗谠噲D給一類數(shù)量無(wú)窮無(wú)盡的對(duì)象作分類討論。你看，他說(shuō)只要這種間斷點(diǎn)無(wú)窮多，符合某種特別的規(guī)律，展開式還是唯一的。所以，他現(xiàn)在要給無(wú)窮多找規(guī)律了，絕大部分普通人肯定是理解不了的。
都是無(wú)窮多，有什么區(qū)別嗎？
我們?nèi)匀豢梢杂蒙厦婺莻€(gè)圖來(lái)舉例，你看到黑色線段的這個(gè)函數(shù)沒有？假如它是可以無(wú)限地向左向右延伸，那么黑色線段的數(shù)量就是無(wú)窮多段，間斷點(diǎn)跟連續(xù)點(diǎn)也都是無(wú)窮多的。
那么這三種無(wú)窮多里，誰(shuí)比誰(shuí)更多呢？
因?yàn)樗鼈冎g起碼有差別，你可以看到。康托給對(duì)象無(wú)窮多的東西來(lái)分類，就是這種感覺，這個(gè)也是人類第一次在嚴(yán)格的邏輯跟數(shù)學(xué)思維下深入思考無(wú)窮多這種東西。這個(gè)往大了說(shuō)，是一種人類文明的升級(jí)，那康托具體是怎么分類跟研究集合的呢？我們接下來(lái)再說(shuō)。
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