2019年3月11日，
被譽為中國數(shù)學(xué)教育三座學(xué)術(shù)高峰之一的徐利治教授逝世，享年99歲，
他是我國數(shù)學(xué)方法論研究領(lǐng)域的開拓者，其提出的RMI（關(guān)系-映射-反演）方法、數(shù)學(xué)抽象方法和數(shù)學(xué)抽象度分析方法，以及數(shù)學(xué)美學(xué)方法，都是對中國數(shù)學(xué)方法論研究有著巨大貢獻，
1920年9月他生于江蘇省張家港市，1945年7月畢業(yè)于中國最具傳奇色彩的西南聯(lián)合大學(xué)數(shù)學(xué)系并留校任教，1949年獲英國文化委員會獎學(xué)金并前往英國亞貝丁大學(xué)和劍橋大學(xué)進修訪問一年，回國后，先后在清華大學(xué)、吉林大學(xué)、大連理工大學(xué)任教，他在高維漸近積分定理、Gould-Hsu反演公式與大范圍收斂迭代法的研究受到了國際數(shù)學(xué)界的廣泛認可，在1983年所著的《數(shù)學(xué)方法論選講》宣告了中國數(shù)學(xué)方法論流派的誕生，其書曾成為國內(nèi)多所大學(xué)特別是一大批師范院校開設(shè)數(shù)學(xué)教育與方法論課程的教學(xué)參考書，
他親歷了20世紀30、40年代我國數(shù)學(xué)發(fā)展的一個傳奇時代——華羅庚、陳省身、許寶騄等數(shù)學(xué)大家紛紛亮相國際數(shù)學(xué)大舞臺，他雖然長期在地處偏遠的長春工作，但幾乎沒有錯過任何一次中國數(shù)學(xué)界思想與學(xué)術(shù)之間的碰撞，
在21世紀之初，他曾預(yù)測過中國數(shù)學(xué)未來發(fā)展將會遇到文獻爆炸、分工過細、數(shù)學(xué)教育與教學(xué)方法固步自封三個困難，也揭露了中國現(xiàn)行數(shù)學(xué)教育的一個嚴重弊病，即學(xué)生通過學(xué)校的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并沒有形成正確的數(shù)學(xué)觀，他還指出了在21世紀中國數(shù)學(xué)教育工作者必須重視的幾個概念，
如今回頭看徐利治教授所說的，一切正在慢慢變?yōu)楝F(xiàn)實.
本文節(jié)選自徐利治教授所寫的 《試論展望數(shù)學(xué)的新時代》
與《現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育工作者須重視的幾個概念》
自20世紀50年代以來，數(shù)學(xué)發(fā)展非常迅速，而如今與30年前相比，情況已大不一樣，出現(xiàn)了許多新問題和新現(xiàn)象，引起了數(shù)學(xué)界的關(guān)注，今后數(shù)學(xué)怎么發(fā)展？它將發(fā)展成什么樣子？這些有關(guān)數(shù)學(xué)發(fā)展的前景問題已成為部分數(shù)學(xué)工作感興趣的研究課題，
由于當(dāng)今數(shù)學(xué)處在發(fā)展很快的歷史階段，所以數(shù)學(xué)研究面臨著巨大的困難，分析這些困難就可以預(yù)測數(shù)學(xué)今后發(fā)展的趨勢，研究解決這些困難的方法并付諸實施就推動了數(shù)學(xué)科學(xué)進一步地向前發(fā)展，從而給數(shù)學(xué)帶來新的希望，
我們認為，當(dāng)今數(shù)學(xué)的發(fā)展面臨三方面的困難，
一、文獻爆炸局面所帶來的困難
據(jù)粗略估計，現(xiàn)在全世界至少有1500種數(shù)學(xué)雜志，它們幾乎遍布于世界的每個角落，例如，我國臺灣省就有數(shù)學(xué)期刊三四種，克里特這個位于地中海的小島也出版、發(fā)行過數(shù)學(xué)雜志，非洲一向被認為比較落后，但南非卻有幾種數(shù)學(xué)刊物，
這些數(shù)學(xué)雜志每年所刊登的數(shù)學(xué)文章數(shù)量很可觀，僅以美國著名雜志《數(shù)學(xué)評論》而言，每年約登載數(shù)學(xué)論文文摘5萬篇，就算現(xiàn)在數(shù)學(xué)有50分支，那么平均每個分支每年發(fā)表論文就有1000篇，事實上，有些分支（如函數(shù)論、計算數(shù)學(xué)、偏微分方程）的文獻數(shù)量遠遠不止這些，有的多達數(shù)千篇，在此情況下，每一位數(shù)學(xué)工作者欲使自己的研究工作不脫離現(xiàn)實，跟上時代前進的步伐，就得每年看約1000篇論文（平均每天三四篇），以及時掌握最新的學(xué)術(shù)動態(tài)，這是很難做到的，
所以常常發(fā)生有些研究成果重復(fù)或部分重復(fù)的現(xiàn)象，
甚至有的數(shù)學(xué)問題早在二三十年前就已被別人解決，而自己竟毫無所知，個人的視聽范圍有限，即使采取討論班或研究集體等形式分工掌握學(xué)術(shù)情報，也要花費相當(dāng)大的力量，這些都是文獻爆炸局面所帶來的困難.
二、分工過細造成的困難
科學(xué)分工原是科學(xué)向前發(fā)展和歷史進步的表現(xiàn)，
各門科學(xué)的發(fā)展的遵循從創(chuàng)始、成長到成熟這一客觀規(guī)律，發(fā)展到后來，科學(xué)知識日益豐富、有很大內(nèi)容需要分門別類地進行研究，所以分工細也是科學(xué)發(fā)展的必然結(jié)果，但是到了20世紀80年代，數(shù)學(xué)發(fā)展成數(shù)十個分支，而且每個分支中還有小的分支，分工越來越細，以致過細，打個比方，數(shù)學(xué)猶如一顆大樹，有樹干，其上有許多樹支、樹杈、枝杈越分越多，
今天數(shù)學(xué)工作者往往只在一顆“樹”的某個“樹杈”上做些研究，
回顧18-19世紀，很多數(shù)學(xué)家都是身兼數(shù)職，他們不僅在數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域里造詣極深，而且精通多種學(xué)科，像歐拉、拉普拉斯、傅里葉、高斯等既是純粹數(shù)學(xué)家，又是物理學(xué)家、哲學(xué)家或天文學(xué)家，
根據(jù)高斯對純數(shù)學(xué)的貢獻，人們誤以為他把主要精力付與純數(shù)學(xué)，其實不然，他對天文學(xué)興趣極濃，致力于行星研究約20年，寫成了不朽的著作《天體運動理論》，進入中年以后，他又與電磁學(xué)家韋伯合作研究電磁學(xué)，建立了著名的高斯計算單位，他對天文學(xué)、電磁學(xué)的研究推動了數(shù)學(xué)與物理學(xué)相結(jié)合的新時代，
又如傅里葉創(chuàng)立了傅里葉變換和傅里葉分析這兩大數(shù)學(xué)分科，他也只是用小部分的時間研究數(shù)學(xué)、大部分時間搞物理，那時的數(shù)學(xué)家往往在數(shù)學(xué)的很多領(lǐng)域（如數(shù)學(xué)分析、幾何、代數(shù)、微分方程等）中同時作出貢獻，有的在數(shù)學(xué)科學(xué)之外也有所建樹，他們是名副其實的科學(xué)家，
19世紀末葉至20世紀初葉，情況發(fā)生了變化，隨著分工變細，產(chǎn)生了純粹數(shù)學(xué)家，
他們只研究數(shù)學(xué)，不搞其他科學(xué)，那時有些學(xué)者就以純粹數(shù)學(xué)家自居，其中最著名的有哈代，他提倡純粹數(shù)學(xué)，所著分析教程也以純粹數(shù)學(xué)教程命名，又如，羅素對數(shù)理邏輯有貢獻，他也以純粹數(shù)學(xué)家自居，
在20世紀40年代以后，數(shù)學(xué)專家越來越多，這些專家只能研究數(shù)學(xué)的某個分支，諸如，有的積分論專家一輩子只研究積分論，有的函數(shù)論專家?guī)资曛桓愫瘮?shù)論，20世紀60年前后，能被稱得上是數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)權(quán)威的只有兩個人，一位是諾伊曼，他對幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)、分析學(xué)、測度論、算子論、泛函分析、計算機科學(xué)、數(shù)值分析等都做出了重要貢獻，還對量子力學(xué)做出了貢獻，另一位是蘇聯(lián)數(shù)學(xué)界的權(quán)威柯爾莫戈洛夫，他早年對函數(shù)論和傅里葉分析作出過杰出的貢獻，后來又對泛函分析、拓撲學(xué)等分支作出了重要貢獻，尤其是他完成了概率論的公理化工作，不僅如此，他還是信息論、控制論的創(chuàng)始人之一，對應(yīng)用數(shù)學(xué)也有很多貢獻，
而近30年來，人們所說的數(shù)學(xué)家多半是數(shù)學(xué)專家，他們主要是在數(shù)學(xué)的一兩個分支上作出了重大貢獻，這種現(xiàn)象導(dǎo)致了布爾巴基學(xué)派的呼吁，該學(xué)派的口號是：“今后的數(shù)學(xué)教育應(yīng)面對一個偉大的目標，即著重培養(yǎng)綜合性的數(shù)學(xué)家，而不光是數(shù)學(xué)專家”，
綜上所述，分工過細的積極作用是，各專一行，便于攀登學(xué)術(shù)高峰，并較快地達到登峰造極的地步，但分工過細的消極影響卻更大，隔行如隔山，相互間很難協(xié)作，不利于攻克大型問題，有時也要借助于其他分支的方法，
舉一個例子來說明這一點，原來單葉函數(shù)論中有個著名的比伯巴赫猜想，長期以來，各國學(xué)者為證明其正確性做過許多努力，但他們都只能在某種條件下進行論證，這個猜想后被美國數(shù)學(xué)家布朗基利用特殊函數(shù)論的有關(guān)結(jié)果完全證實，由此看出，過分專門的數(shù)學(xué)專家對數(shù)學(xué)理論的推進作用不大，即使在純理論的數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，要想作出出色的貢獻也得精通幾個數(shù)學(xué)分支，解決應(yīng)用數(shù)學(xué)中的問題，更是這樣，
分工過細，各守一隅，還容易文人相輕，各自為政，甚至無限排斥，阻礙數(shù)學(xué)新分支的成長，對數(shù)學(xué)的發(fā)展極為有害，例如，1983年我去訪問美國數(shù)學(xué)界就發(fā)現(xiàn)從事純粹數(shù)學(xué)研究的人對非標準分析、模糊數(shù)學(xué)、組合數(shù)學(xué)就持輕視、貶低的態(tài)度，這個現(xiàn)象是18-19世紀所沒有的，實際上，除傳統(tǒng)的分析外，非標準分析也應(yīng)該加以研究，模糊數(shù)學(xué)應(yīng)用面很廣，組合數(shù)學(xué)在計算機科學(xué)中起著很大的作用，都應(yīng)該加以研究，
這種由于分工過細，知識面窄所形成的不知天外有天、山外有山的狹隘觀念，
給數(shù)學(xué)的進一步發(fā)展帶來了很大的困難.
三、數(shù)學(xué)教育與教學(xué)方法固步自封所帶來的困難
現(xiàn)在數(shù)學(xué)教育的教材內(nèi)容陳舊，教學(xué)方法古板，教學(xué)觀點偏于形式主義和機械，
這是從宏觀的觀點說的，國外也如此，許多數(shù)學(xué)工作者認為，總的說來，現(xiàn)在初中、高中教材基本上是16-17世紀的產(chǎn)物，大學(xué)教材是18-19世紀的東西，大學(xué)生直到做畢業(yè)論文時才接觸20世紀的文獻，教材編寫數(shù)十年如一日，沒有什么變化，例如，我國高?，F(xiàn)行微積分等教材基本上沿襲20世紀50年代向蘇聯(lián)學(xué)習(xí)時的那套傳統(tǒng)，雖經(jīng)幾次改寫，還是三十四年前的東西，只是組織得更有條理、更嚴格、更形式化一些而已，
但至今我們都沒有接觸流形的觀點，
美國近20年來都開設(shè)“流形上的微積分”課，國外工程師都會運用這種流形分析工具，其實流形的觀點并不困難，而且用流形觀點講微積分反而簡化某些概念使其便于應(yīng)用，我國近幾年開始注意這個問題，先后翻譯和出版了基本關(guān)于流形上的微積分方面的著作，上述固步自封的局面適應(yīng)不了當(dāng)代數(shù)學(xué)發(fā)展的需要，現(xiàn)在數(shù)學(xué)教育已經(jīng)到了非革新不可的階段，
而在教材編寫的風(fēng)格上，問題更是嚴重，回顧歷史，18-19世紀是數(shù)學(xué)蓬勃發(fā)展的階段，那時的分析和代數(shù)教材演繹、歸納并重，教材編寫遵循從特殊到一般、從具體到抽象的認識規(guī)律，使初學(xué)者首先從直觀上認識數(shù)學(xué)內(nèi)容的背景，然后上升到理性認識，
但是近幾十年來，特別是19世紀末到20世紀初，數(shù)學(xué)發(fā)展到所謂理性主義階段，寫書強調(diào)綜合統(tǒng)一、嚴格化、演繹法在數(shù)學(xué)中取得支配地位，最后，數(shù)學(xué)教材只反映演繹而無歸納了，近半個世紀以來，由于公理化的影響，尤其是現(xiàn)代形式主義的影響，公理化主義、純形式主義反映到數(shù)學(xué)中來，數(shù)學(xué)被逐步描述為公理化系統(tǒng)，應(yīng)該承認，公理化思想是數(shù)學(xué)發(fā)展的一大進步，把數(shù)學(xué)知識整理成公理化系統(tǒng)，使其更有條理、更嚴密，是很有必要的，
但是作為教材，只持形式主義觀點固然可以訓(xùn)練人的邏輯思維能力、卻難以培養(yǎng)學(xué)生靈活的創(chuàng)造、發(fā)明能力，應(yīng)該演繹、歸納并重，
國內(nèi)外數(shù)學(xué)教材所存在的這一通病引起了數(shù)學(xué)界的注意，20世紀60年代前后，國外曾出現(xiàn)“新數(shù)學(xué)運動”，他們提倡用結(jié)構(gòu)主義觀點處理教材和教法，這實際上就是布爾巴基學(xué)派的觀點，從數(shù)學(xué)的發(fā)展來看，這種觀點是無可非議的，在教學(xué)上，他們把數(shù)學(xué)理解成結(jié)構(gòu)，研究數(shù)學(xué)就是研究各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（母結(jié)構(gòu)、有序結(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)和拓撲結(jié)構(gòu)），把數(shù)學(xué)知識歸納為三大基本類中的某一類或由這些基本類所形成的交叉結(jié)構(gòu)，按此觀點改革當(dāng)時的教材，中學(xué)數(shù)學(xué)首先講集合論，還要講形式邏輯，數(shù)理邏輯的一部分及數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)等知識，
這種思潮遍及美、英、法等國，歷時10年而已失敗告終，其原因在于，這種作法既違反數(shù)學(xué)具有歸納、演繹二重性這一本質(zhì)，也違反人的認識規(guī)律，更可笑的是，這樣教出來的學(xué)生只會夸夸其談，不會計算，譬如，叫他們計算3×7，他們首先考慮3×7是否等于7×3，“新數(shù)學(xué)運動”后又被稱為教改的試驗時期，它雖是革舊布新，但其實質(zhì)是變直觀為形式，失敗也就在所難免，
20世紀70年代初期，教改進入反省時期，
此時美國杰出的數(shù)學(xué)家兼教育家波利亞的觀點重新受到人們重視，他的基本思想是：“數(shù)學(xué)體系具有歸納、演繹二重性，數(shù)學(xué)教材也要體現(xiàn)這種二重性，教改和教學(xué)都要符合人的認識規(guī)律”，
20世紀80年代以來，數(shù)學(xué)發(fā)展的趨勢朝著離散數(shù)學(xué)方向有力地增長著，離散分析得到進一步的發(fā)展，離散分析包括數(shù)論、布爾代數(shù)、線性代數(shù)、抽象代數(shù)、編碼與譯碼理論、數(shù)理邏輯、組合數(shù)學(xué)、圖論、離散概率論等數(shù)學(xué)分支，這樣說并不意味著微積分與經(jīng)典分析將不再享有盛譽，而只是說，它在數(shù)學(xué)中的支配地位及其應(yīng)用面臨一場挑戰(zhàn)，
例如，A.Ralston就寫過一篇論“微積分的衰落，離散數(shù)學(xué)興起”的文章，誠然，“微積分是人類才智的最大業(yè)績之一”，盡管國內(nèi)外目前還是連續(xù)數(shù)學(xué)占統(tǒng)治地位，但是今后，離散分析卻完全有可能與經(jīng)典分析平等地設(shè)置于某類學(xué)科的學(xué)習(xí)計劃中，認識未來數(shù)學(xué)發(fā)展的這一特點，就應(yīng)該組織一定力量研究離散數(shù)學(xué)，
在這之后，數(shù)學(xué)的發(fā)展處于醞釀階段并走向新的變革時期，
我們現(xiàn)在正面臨這個新的歷史時期，時代要求數(shù)學(xué)工作者是保守思想最少的激進派.
四、“數(shù)學(xué)學(xué)”必然興起
近幾年，國內(nèi)外不少學(xué)者提出了“數(shù)學(xué)學(xué)”的概念，
“數(shù)學(xué)學(xué)”是以數(shù)學(xué)本身為研究對象的科學(xué)，它不是數(shù)學(xué)分支，也不是數(shù)學(xué)哲學(xué)，而是統(tǒng)率全部數(shù)學(xué)的一門學(xué)問，數(shù)學(xué)學(xué)正處于萌芽狀態(tài)，但仍可以預(yù)見其內(nèi)容至少應(yīng)包括文獻學(xué)、評析學(xué)、方法學(xué)三個方面，
數(shù)學(xué)文獻學(xué)：現(xiàn)今數(shù)學(xué)文獻浩瀚如海，數(shù)學(xué)文獻學(xué)旨在研究如何使用電子計算機儲存文獻，繼之對其進行整理，分析、分類、以備數(shù)學(xué)研究工作者查閱、引用，為此，必須解決如何分析，如何分類等原則問題，將來還需要通過智能機進行文獻檢索和管理，
數(shù)學(xué)評析學(xué)：國內(nèi)外都有文學(xué)評論學(xué)，并有專門雜志發(fā)表評論文章，我國也提倡文學(xué)評論，魯迅就提倡過評析，數(shù)學(xué)也應(yīng)該提倡評論，評論就要分析，所以叫“評析學(xué)”，通過評析，對大量數(shù)學(xué)文獻、資料和數(shù)學(xué)成果去粗取精，沙里淘金，這門科學(xué)需要數(shù)學(xué)發(fā)展史、辯證唯物主義和數(shù)學(xué)哲學(xué)作為其基礎(chǔ)，已提供評析數(shù)學(xué)成果的觀點和標準，由此可見，創(chuàng)建這門學(xué)問是一項重要而艱巨的任務(wù)，
數(shù)學(xué)方法學(xué)：數(shù)學(xué)方法學(xué)是探索數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律、思想方法以及數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明和創(chuàng)新等法則的一門學(xué)問，開展數(shù)學(xué)方法學(xué)的研究將為造就我國新一代的數(shù)學(xué)家作出很大貢獻，
當(dāng)然，“數(shù)學(xué)學(xué)”可能遠不止這些內(nèi)容，總之，不論進行數(shù)學(xué)創(chuàng)作或評析都必須有歷史眼光和自己的見解，眾所周知，我國唐朝文學(xué)發(fā)達，提倡作詩，但能傳誦至今者并不多，熟知的《唐詩三百首》就是經(jīng)過歷史多次篩選所留存的精華，我們從事數(shù)學(xué)研究也需要有歷史眼光，抓住那些推動數(shù)學(xué)發(fā)展的關(guān)鍵性問題進行研究，爭取作出開拓性工作，舉一個小例子，有個數(shù)學(xué)家名叫佐恩，他曾寫過一篇只有兩頁長的短文，證明了“凡所含諸鏈皆有上界的偏序集必有極大元素”這個命題，即所謂Zom引理，該引理被后人在文獻中千百次地引用，他雖非杰出數(shù)學(xué)家，但他所證明的Zom引理簡便引用，生命力強，這個成果勢必流傳千古，
而集體研究，分工協(xié)作，聯(lián)名發(fā)表文章，撰寫著作也將是一個十分普遍的現(xiàn)象，
像現(xiàn)在物理科學(xué)已經(jīng)很明顯，多為集體研究、分工協(xié)作，像核物理研究所為了探索新的粒子，常組織數(shù)十人的隊伍合作攻關(guān)，有的文章發(fā)表時作者名字排了長達一頁，這趨勢一定會進一步加強，這種行為也應(yīng)該大力提倡，因為可以集思廣益，提高研究質(zhì)量，有利于解決大型問題，作出開辟性工作，歷史上，布爾巴基學(xué)派這個研究組織已經(jīng)為我們樹立了良好的典范，
17世紀到19世紀，數(shù)學(xué)發(fā)展的直觀源泉主要是物理學(xué)，1951年，馮諾依曼曾說過，分析是技術(shù)上的最大成功和數(shù)學(xué)中最精彩部分，近幾十年來，人們研究運籌學(xué)、生命科學(xué)等，數(shù)學(xué)的直觀源泉已遠遠超出物理學(xué)的范圍，
我們進行數(shù)學(xué)研究應(yīng)該到更廣闊的天地（自然、社會、人文、管理、行為和計算機等領(lǐng)域）中去尋找新思想、新觀點和新方法，有人預(yù)言，今后數(shù)學(xué)創(chuàng)造思想的豐富源泉簡史“事理學(xué)”，此外，還有許多邊緣科學(xué)要大加發(fā)展，諸如生物數(shù)學(xué)等，對此，羅馬尼亞、法國已有專門雜志，數(shù)學(xué)心理學(xué)也已形成，它主要運用拓撲學(xué)、統(tǒng)計學(xué)方法來進行研究，數(shù)學(xué)語言學(xué)，這是一門新學(xué)科，波蘭有一個學(xué)派已做了很重要的貢獻，還有數(shù)理經(jīng)濟學(xué)以及正在醞釀的數(shù)學(xué)社會學(xué)、環(huán)境數(shù)學(xué)等，數(shù)學(xué)與其他科學(xué)的結(jié)合會得到進一步的發(fā)展，離散數(shù)學(xué)將進入全盛時代，
有人預(yù)言，在未來數(shù)學(xué)發(fā)展史上會有這么一天，離散數(shù)學(xué)將代替連續(xù)數(shù)學(xué)占統(tǒng)治地位，目前，某些離散問題通過分析學(xué)解決得很好，例如，解析數(shù)論就是用分析學(xué)處理一些離散的對象，離散分析的發(fā)展將成為未來數(shù)學(xué)發(fā)展的重要內(nèi)容，它雖亦具有本身的研究思想方法、內(nèi)容和問題，但與連續(xù)數(shù)學(xué)存在著思想和方法的相互影響，二者在未來必是緊密相聯(lián)的，
我們認為，分析數(shù)學(xué)和離散數(shù)學(xué)的交互為用、滲透和發(fā)展將成為未來新興數(shù)學(xué)的特色.
五、現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育工作者必須重視的幾個概念
數(shù)學(xué)教育的時代性與“科學(xué)文化人”：數(shù)學(xué)教育目標不應(yīng)被看成某種絕對、一成不變的東西，恰恰相反，我們應(yīng)當(dāng)明確地肯定數(shù)學(xué)教育的時代性，而后者的一個基本內(nèi)涵是指數(shù)學(xué)教育目標應(yīng)當(dāng)充分反映時代的要求，從而培養(yǎng)出現(xiàn)代社會所需要的人才，
自20世紀80年代以來，在世界各國，特別是歐美各國掀起了一場新的數(shù)學(xué)教育改革運動，而其共同的指導(dǎo)思想就在于以下認識：人類社會由工業(yè)社會向信息社會的轉(zhuǎn)變對數(shù)學(xué)教育提出了新的更高要求，我們應(yīng)當(dāng)以“普遍的高標準”去取代傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育目標，
具體地說，“數(shù)學(xué)上的高標準”是指不僅要掌握一定的數(shù)學(xué)知識和技能，而更重要的是指具有數(shù)學(xué)地思維的習(xí)慣和能力，即能數(shù)學(xué)地去觀察世界、處理和解決問題，在20世紀80年代開始，“問題解決”一直是美國數(shù)學(xué)界的主要口號，然而，盡管這一口號具有一定的歷史必然性和內(nèi)在合理性，但它有具有一定的局限性，單純的問題解決的思想是過于狹窄了，
我所希望的并非僅僅是教會我的學(xué)生解決問題，而是幫助他們學(xué)會數(shù)學(xué)地思維.
數(shù)學(xué)的社會性與“數(shù)學(xué)共同體”：許多人對于數(shù)學(xué)家的想象就是他們總是一個人坐在書桌間冥思苦想，即使取得了成功他們也只有孤芳自賞，但更多的卻是“花幾天或幾周時間完全糾纏一個問題，幾乎排除一切活動，而不感到孤寂，
然而現(xiàn)代的數(shù)學(xué)哲學(xué)研究卻已表明這并非是數(shù)學(xué)活動的真實寫照，
因為在現(xiàn)代社會中，每個數(shù)學(xué)家并非離群索居，無論其自覺與否，他總是作為“數(shù)學(xué)共同體”的一員從事自己的研究活動，從而其活動不應(yīng)該被看成是完全孤立的，例如，以下的事實是數(shù)學(xué)活動具有社會性質(zhì)的最明顯論據(jù)，數(shù)學(xué)家總需要在一定的學(xué)術(shù)刊物或?qū)W術(shù)會議上發(fā)表或闡述自己的研究成果，以期取得其它人的了解和評價，而這事實上也就是一個審定的過程，這就是說，一個數(shù)學(xué)家的研究成果只有獲得了共同體的接受才能真正成為數(shù)學(xué)的組成部分，
也正因為如此，“數(shù)學(xué)共同體”對于各個數(shù)學(xué)家的具體工作就有著重要的規(guī)范作用，而這就是所謂的“數(shù)學(xué)傳統(tǒng)”的主要內(nèi)容，具體地說，“數(shù)學(xué)傳統(tǒng)”主要圍繞以下兩個問題展開的：什么是數(shù)學(xué)？應(yīng)當(dāng)如何去從事數(shù)學(xué)研究？例如，在最廣泛的意義上，以下可認為是“數(shù)學(xué)傳統(tǒng)”最為基本的組成部分：數(shù)學(xué)家的工作目標是要獲得這樣的成果，他們是借助于為數(shù)學(xué)共同體所一致接受的語言得到表述的，是對于為共同體所公認為有意義的問題的解答，并建立在為共同體所一致接受的論證之上，
應(yīng)當(dāng)指出的是，對于大多數(shù)數(shù)學(xué)工作者來說，其對于數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)和繼承常常是一種不自覺的行為，即是通過早年的學(xué)習(xí)和研究活動不知不覺地形成的，
另外，在很多數(shù)學(xué)教育家看來，這同時也就暴露了現(xiàn)行教育的一個嚴重弊病，即學(xué)生通過學(xué)校的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并沒有形成正確的數(shù)學(xué)觀，
其“學(xué)校的數(shù)學(xué)”不等于“真正的數(shù)學(xué)”，
這當(dāng)然會造成非常嚴重的消極后果，例如，在我看來，以下就是一個應(yīng)當(dāng)引起我們高度警戒的錯誤觀念：問題中所已知的條件對于這一問題的求解一定是“恰好的”，即為了解決這一問題，你必須用到每一個已知條件，而如果真正用到了每一個條件，也就一定可以解決這一問題，顯然，就數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用而言，情況遠非如此簡單.
數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律與“數(shù)學(xué)文化”：數(shù)學(xué)文化一個很重要的含義，那就是應(yīng)該是整個人類文化中一個重要組成部分，我們不僅要注意研究數(shù)學(xué)作為一種“子文化”與整個人類文化的關(guān)系，也要從文化的角度去從事關(guān)于數(shù)學(xué)的動態(tài)研究，如研究數(shù)學(xué)發(fā)展的動力和規(guī)律，
東西方文化的一個重要差異就在于，數(shù)學(xué)在西方文化，特別是理性精神的歷史發(fā)展中始終占有一個特別重要的地位，而在東方（特別是古代中國），“數(shù)學(xué)”卻被列入“實用技藝”之中，未能得到足夠的重視，
我們應(yīng)當(dāng)高度重視數(shù)學(xué)教育與各個特定文化環(huán)境的關(guān)系，
這是國際數(shù)學(xué)教育研究中十分熱門的一個研究課題，例如，正是出于這樣的考慮，人們提出了“民族數(shù)學(xué)”的概念，其核心思想就是指學(xué)生不應(yīng)被看成生活在“真空”之中除去從學(xué)校所學(xué)到的就是一片空白，恰恰相反，學(xué)生在入學(xué)以前已通過在一定社會環(huán)境中的生活獲得了一定的數(shù)學(xué)知識，并形成了一定的思維習(xí)慣，而這些會對其在學(xué)校中的學(xué)習(xí)產(chǎn)生重要的影響，而且，即使在入學(xué)以后，這些因素也可能通過與社會的接觸得到進一步的發(fā)展和強化，所以，應(yīng)當(dāng)如何去看待“民族數(shù)學(xué)”以及如何作好由“民族數(shù)學(xué)”向“正規(guī)數(shù)學(xué)”的轉(zhuǎn)化，便是數(shù)學(xué)教育工作者所必須正視的一個問題.
在經(jīng)過近70年的發(fā)展，
在徐利治、張奠宙、張景中三位教授的帶領(lǐng)下，當(dāng)代的中國數(shù)學(xué)教育逐漸的走出了自己的道路，初步形成了自己的理論體系，他們作為數(shù)學(xué)家，卻毅然投身于數(shù)學(xué)教育之中，不僅創(chuàng)造了豐富的數(shù)學(xué)教育理論成果，而且影響了一批又一批數(shù)學(xué)教育工作者，
可是去年和今年，在張奠宙和徐利治教授逝世之后，很少見到有主流的媒體報道，在“好玩的數(shù)學(xué)”公眾號緬懷徐利治教授的文章有一個留言顯得格外的刺眼：“先是張奠宙先生，現(xiàn)在是徐利治先生，那一個不比文藝戰(zhàn)線的人強千萬倍，媒體卻沒有報道，國之不幸，嗚呼哀哉”，
雖然他們不在乎這些，雖然他們在投身于中國數(shù)學(xué)教育的那一刻起或許就已經(jīng)知道，
但是，對不起，我在乎，
就像家里的父母長輩一樣，我可想可想讓全中國的人都知道我的家里，在中國數(shù)學(xué)界、中國數(shù)學(xué)教育界里有這樣一個值得所有人敬佩和記住的名字.
