《小數(shù)的意義》是蘇教版五年級(jí)上冊(cè)第三單元“小數(shù)的意義和性質(zhì)”的第一課時(shí)，學(xué)生在三年級(jí)時(shí)已經(jīng)兩次初步認(rèn)識(shí)了小數(shù)，知道了“十分之幾可以寫(xiě)成零點(diǎn)幾”，在這個(gè)基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)小數(shù)的意義。本學(xué)期，筆者對(duì)這節(jié)課進(jìn)行了兩次執(zhí)教，頗有想法。
初試：形式類比掩蓋了豐富的數(shù)學(xué)思考
考慮到學(xué)生已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了一位小數(shù)，那何不利用學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行教學(xué)。于是教學(xué)中從舊知引入教學(xué)，試圖喚起學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，并引導(dǎo)學(xué)生有效運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行新知的學(xué)習(xí)。
首先，教師讓孩子將3/10、8/10、9/10改寫(xiě)成小數(shù)，并思考這些小數(shù)和分?jǐn)?shù)有什么關(guān)系，學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)十分之幾可以寫(xiě)成零點(diǎn)幾，零點(diǎn)幾就是十分之幾。
接著，教師出示了25/100、4/100、36/100、5/1000這幾個(gè)小數(shù)，讓學(xué)生猜一猜把這些分?jǐn)?shù)改寫(xiě)成小數(shù)，可能是什么小數(shù)，學(xué)生通過(guò)類比說(shuō)出自己的想法，有的想到25/100可以寫(xiě)成0.25、4/100可以寫(xiě)成0.04，36/1000可以寫(xiě)成0.036，5/1000可以改寫(xiě)成0.005；有的由分母是10的分?jǐn)?shù)都可以改寫(xiě)成一位小數(shù)，想到分母為100的可以改寫(xiě)成兩位小數(shù)，那分母是1000的小數(shù)就可以改成三位小數(shù)。還有的甚至想到一萬(wàn)分之幾可以寫(xiě)成零點(diǎn)零零零幾，就是四位小數(shù)。
上課時(shí)，感覺(jué)很順暢，可當(dāng)解決下面問(wèn)題時(shí)，學(xué)生卻出現(xiàn)了以下的錯(cuò)誤。
細(xì)究原因，學(xué)生僅憑借著三年級(jí)時(shí)所初步認(rèn)識(shí)的小數(shù)的經(jīng)驗(yàn)來(lái)研究，用已有經(jīng)驗(yàn)類推新知，“十分之幾可以寫(xiě)成零點(diǎn)幾”，分母是10的分?jǐn)?shù)可以寫(xiě)成一位小數(shù)，那么百分之幾就可以寫(xiě)成兩位小數(shù)，千分之幾寫(xiě)成三位小數(shù)，學(xué)生學(xué)會(huì)了形式上的類比、模仿，表面看學(xué)生自己研究沒(méi)有很大的困難，貌似都會(huì)了，可是學(xué)生缺少豐富的感性認(rèn)識(shí)，沒(méi)有很好地將小數(shù)的意義和分?jǐn)?shù)的意義建立起內(nèi)在聯(lián)系，始終沒(méi)有觸及到小數(shù)的意義的內(nèi)涵，顯然這便是問(wèn)題的癥結(jié)所在。
類比法是數(shù)學(xué)中重要的學(xué)習(xí)方法，學(xué)生可以根據(jù)兩個(gè)對(duì)象之間在某些方面的相同或相似，從而推出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗤蛳嗨疲瑪?shù)學(xué)中的許多定理、公式和法則是通過(guò)類比得到的，在解題中尋找問(wèn)題的線索，往往也借助于類比方法，從而達(dá)到啟發(fā)思路的目的。但是，我們的教學(xué)不能止步于類比，而要在類比的基礎(chǔ)上更著重于意義的建構(gòu)，深入到知識(shí)的本質(zhì)。由此看來(lái)，形式的類比還要上升到意義的建構(gòu)。
重建：多元表征促成了學(xué)生的意義建構(gòu)
有了上述的反思，于是在重新設(shè)計(jì)這節(jié)課時(shí)進(jìn)行了更深刻地思考，小數(shù)的意義相對(duì)來(lái)說(shuō)比較抽象，學(xué)生對(duì)小數(shù)意義的建構(gòu)，要建立在對(duì)十進(jìn)制分?jǐn)?shù)理解之上，需要積累豐富的感性認(rèn)識(shí)，那么在教學(xué)時(shí)給學(xué)生呈現(xiàn)多種直觀載體、模型，來(lái)豐富學(xué)生對(duì)小數(shù)意義的認(rèn)識(shí)，該是教學(xué)的很好策略。出于這樣的認(rèn)識(shí)，就有了以下的設(shè)計(jì)。
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A.情境表征
①實(shí)物情境——借助長(zhǎng)度單位研究。
1厘米、9厘米、47厘米、1毫米、3毫米用分?jǐn)?shù)、小數(shù)表示分別是多少米？在尺子上數(shù)一數(shù)、指一指，并在小組內(nèi)說(shuō)說(shuō)每個(gè)小數(shù)的意義。
小組匯報(bào)：
生1:把1米平均分成100份，1厘米是其中的1份，是1/100米，也就是0.01米。9厘米是其中的9份，是9/100米，也就是0.09米。47厘米是其中的47份，是47/100米，也就是0.47米。
生2：怎么知道是把1米平均分成100份？
生3：因?yàn)?米等于100厘米。
師：0.01米小數(shù)點(diǎn)后面的0可以去掉嗎？
生：不可以，那就變成0.1米了，0.1米是1分米，而不是1厘米。
……
②生活情境——借助貨幣單位研究。
給物品的單價(jià)設(shè)計(jì)標(biāo)簽（單位是元）：1元5角、5分、4角8分。
學(xué)生交流想法。
生：1元=10角，把1元平均分成10份，9角是9份，是9/10，也就是0.9元。
生：1元=100分，把1元平均分成100份，5分是其中的5份，是5/100元，也就是0.05元。
生：4角8分=48分，1元平均分成100份，48分是其中的48份，是48/100元，也就是0.48元。
③多種情境——自由靈活表達(dá)。
師：剛才我們借助了長(zhǎng)度單位和貨幣單位認(rèn)識(shí)了小數(shù)，你還能想到利用什么單位來(lái)研究小數(shù)呢？舉例子說(shuō)說(shuō)吧。
生1：我想到了體積單位，5毫升=0.005升。
生2：我想到了質(zhì)量單位，356克=0.356千克，75千克=0.075噸。
生3：我還想到了面積單位，104平方厘米=0.104平方分米。
師：咦，你們?cè)趺礇](méi)有人提到時(shí)間單位？
生：時(shí)間單位不行，時(shí)與分的進(jìn)率是60，分和秒的進(jìn)率也是60，不好直接寫(xiě)成小數(shù)。
多種上單位的自由表達(dá)，一方面幫助學(xué)生積累豐富的感性認(rèn)識(shí)，另一方面，體會(huì)到時(shí)間單位的進(jìn)率是60，所以多少分、多少秒不能直接寫(xiě)成小數(shù)的形式,溝通十進(jìn)制分?jǐn)?shù)與小數(shù)之間的關(guān)系。
B.符號(hào)表征
忽略分?jǐn)?shù)和小數(shù)后面的單位，脫離情境，只留下分?jǐn)?shù)和對(duì)應(yīng)的小數(shù)。
C.語(yǔ)言表征
引導(dǎo)學(xué)生讀一讀分?jǐn)?shù)和對(duì)應(yīng)的小數(shù)，用自己的語(yǔ)言概括出小數(shù)的意義。
師：自己小聲讀一讀黑板上的式子，你有什么發(fā)現(xiàn)？和同桌討論交流一下。
生：分母是10、100、1000……的分?jǐn)?shù)可以用小數(shù)表示。
生：一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……
生：如果是四位小數(shù)，就表示萬(wàn)分之幾。
D.圖形表征
通過(guò)直觀圖形，學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)分?jǐn)?shù)和小數(shù)之間的聯(lián)系，理解小數(shù)的意義。
①正方形、正方體
②數(shù)軸
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“小數(shù)的意義”是節(jié)概念教學(xué)課，研究表明，學(xué)習(xí)者需要通過(guò)內(nèi)化概念的多種表達(dá)形式，并與已有的內(nèi)在表象發(fā)生相互作用，以此促進(jìn)或影響學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)理解[1]。那么在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，往往可以通過(guò)多元的形式來(lái)表征，不同的表征形式是為了對(duì)不同的概念或不同的問(wèn)題進(jìn)行不同的闡述，使學(xué)生獲得更深刻的體驗(yàn)，從而達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的感悟。教學(xué)中我們運(yùn)用圖形、符號(hào)、語(yǔ)言等從多角度來(lái)表征小數(shù)的意義。當(dāng)然，對(duì)于不同的表征形式，教師應(yīng)更重視必要的引導(dǎo)，幫助學(xué)生在表征的不同成分之間建立充分的聯(lián)系，并進(jìn)行靈活的轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生較全面地把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的本質(zhì)與非本質(zhì)屬性，從而進(jìn)行意義的建構(gòu)。
小數(shù)的意義是比較抽象的，需要和十進(jìn)制分?jǐn)?shù)建立起聯(lián)系?？紤]到學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和思維特點(diǎn)，先從形象的、具體的情境表征入手，讓學(xué)生結(jié)合米尺和貨幣單位、面積單位、質(zhì)量單位等，借助單位之間的進(jìn)率來(lái)體會(huì)小數(shù)的意義，當(dāng)學(xué)生建立了表象后，再去情境，擦掉單位名稱，抽象出符號(hào)，分?jǐn)?shù)和對(duì)應(yīng)的小數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生用自己的語(yǔ)言概括出小數(shù)的意義，實(shí)現(xiàn)了由形象的表征到抽象的表征之間的轉(zhuǎn)換。接下來(lái)再由抽象的表征轉(zhuǎn)換到形象的表征，由直觀圖形的演示，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)分?jǐn)?shù)和小數(shù)之間的聯(lián)系，更加深刻地理解小數(shù)的意義，當(dāng)然，這里，也可以讓學(xué)生具體說(shuō)一個(gè)小數(shù)的意義，學(xué)生或是結(jié)合具體情境來(lái)說(shuō)，或是抽象地說(shuō)。種種，都是幫助學(xué)生溝通不同表征之間的聯(lián)系，并經(jīng)歷形象到抽象，再到形象的過(guò)程，建構(gòu)起小數(shù)的意義。
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