發(fā)表日期：2012年3月18日 【編輯錄入：
費衛(wèi)臻】
吳正憲（ 北京教科院中心小學(xué)數(shù)學(xué)室主任，特級教師 ）
武維民（ 北京市房山區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校，高級教師 ）
鄭衛(wèi)紅（ 北京教育學(xué)院宣武分院教研員，高級教師 ）
專題 1 ：數(shù)的認(rèn)識、數(shù)的運算、常見的量的內(nèi)容分析與建議
在這個模塊中 我們主要和大家交流數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中的數(shù)的認(rèn)識、數(shù)的運算和常見的量的內(nèi)容，關(guān)于這部分內(nèi)容，我們一線教師作了交流，主要集中在以下四個問題。
1. 如何建立“數(shù)”的概念？
2. 如何處理運算教學(xué)中的算理與算法的關(guān)系？
3. 如何落實新課標(biāo)對估算的要求？
4. 如何依托現(xiàn)實情境幫助學(xué)生體現(xiàn)和理解常見的量。
問題一： 如何建立“數(shù)”的概念
一、《課標(biāo)》中“數(shù)的認(rèn)識”有何變化
數(shù)的概念是學(xué)生認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)的開始，理解數(shù)的意義伴隨著學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的整個過程，從自然數(shù)逐步擴(kuò)展到有理數(shù)、實數(shù)，學(xué)生將不斷增加對數(shù)的理解和運用。在小學(xué)階段數(shù)的認(rèn)識 包括 整數(shù)的認(rèn)識、分?jǐn)?shù)、小數(shù)和百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識、負(fù)數(shù)的認(rèn)識、數(shù)的整除性相關(guān)的內(nèi)容、數(shù)的簡單應(yīng)用等。在教材的安排中， 整數(shù)的認(rèn)識中分為 10 以內(nèi)認(rèn)識、 20 以內(nèi)的認(rèn)識、 100 以內(nèi)的認(rèn)識、萬以內(nèi)的認(rèn)識、大數(shù)的認(rèn)識等；分?jǐn)?shù)和小數(shù)的認(rèn)識都為兩個階段、一個是初步的認(rèn)識，另一個分?jǐn)?shù)和小數(shù)的意義。整體來說新課標(biāo)中對數(shù)的認(rèn)識的要求變化和調(diào)整不大，主要有以下幾點，在教學(xué)中我們要加以注意。
內(nèi)容
學(xué)段
《標(biāo)準(zhǔn)》要求的調(diào)整和變化
數(shù)的認(rèn)識
第
一
學(xué)
段
“ 知道用算盤可以表示多位數(shù) ” 。
“ 能結(jié)合具體情境比較兩個一位小數(shù)的大小，能比較兩個同分母分?jǐn)?shù)的大小。 ”
第
二
學(xué)
段
不再要求 “ 比較百分?jǐn)?shù)的大小 ” 和 “ 探索小數(shù)、分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系 ”
在數(shù)的認(rèn)識中要關(guān)注數(shù)的意義、數(shù)的表示、數(shù)與數(shù)的關(guān)系、數(shù)的應(yīng)用。其中我們要特別關(guān)注數(shù)的意義，也就是數(shù)的概念的建立。在教學(xué)中如何建立數(shù)的概念是教學(xué)的重點， 面對數(shù)的認(rèn)識這一重要內(nèi)容，我們又該怎樣幫助學(xué)生建立清晰的數(shù)概念，理解數(shù)的意義呢？
二、在建立數(shù)概念中要注意的問題
（一） 在整數(shù)的認(rèn)識中要注意的問題
建立正確的數(shù)的概念是認(rèn)數(shù)教學(xué)的任務(wù)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的起點 。 理解數(shù)的意義一般有兩個角度 ， 一是從數(shù)的組成去理解，通過組成理解數(shù)的大小和多少，加強(qiáng)對數(shù)的感知。二是聯(lián)系生活實際來體會 ，通過在具體的現(xiàn)實情境中，理解數(shù)在生活實際中的意義，使抽象的數(shù)和具體的量有機(jī)的結(jié)合，進(jìn)一步理解數(shù)的意義。在實際教學(xué)中 我們要把這兩種方式有機(jī)地結(jié)合起來 ，這樣 更有利于學(xué)生體會數(shù)的意義，建立數(shù)的概念。在整數(shù)數(shù)概念的建立過程中要注意以下幾點：
1. 依托多種形式建立整數(shù)數(shù)概念
（ 1 ）在具體情境中理解數(shù)的意義
學(xué)生對數(shù)并不陌生，在入學(xué)之前，學(xué)生已對具體的數(shù)有了比較豐富的感知，他們會讀、會寫，會說一些具體的數(shù)。我們在教學(xué)中就要關(guān)注從現(xiàn)實情景抽象出數(shù)的過程，例 如從具體的 2 匹馬， 2 棵樹， 2 頭牛， 2 個人，抽象為 2 這個數(shù)。這時用一個數(shù)字也是一個特殊的符號來表示數(shù)量，已經(jīng)把具體的單位和這個數(shù)量的具體含義去掉，抽象為數(shù)“ 2 ”。反過來， 2 可以表示任何具有 2 這樣數(shù)量特征的事物，例如 2 只鉛筆， 2 個人、 2 只小動物……，隨著教學(xué)的深入，還要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到數(shù)的豐富含義，比如 計數(shù)的數(shù)、數(shù)量的數(shù)、度量的數(shù)和計算的數(shù)。
（ 2 ）用操作幫助學(xué)生具體感知
自然數(shù)的認(rèn)識的教學(xué)重點在于使學(xué)生從數(shù)量抽象到數(shù)， 抽象離不開直觀的支撐和 操作，例如：計數(shù)器、小棒、圖形等等，讓學(xué)生親自的數(shù)一數(shù)，擺一擺，圈一圈、畫一畫，學(xué)生數(shù)的過程也是一一對應(yīng)的過程，同時感受具體的數(shù)量。
（ 3 ）多種模型的表征
在數(shù)的認(rèn)識過程中，我們要注意運用多種模型幫助學(xué)生理解數(shù)的意義建立數(shù)的概念，比如說：計數(shù)器、數(shù)位桶，方格圖、數(shù)位順序表等，這樣逐漸 建立起抽象的數(shù)和現(xiàn)實中的數(shù)量之間的關(guān)系，并且能夠知道這個大小和現(xiàn)實中的多少之間的關(guān)系，這也是數(shù)感很重要的本質(zhì)問題。例如，一位老師在教學(xué)《萬以內(nèi)的數(shù)的認(rèn)識》時，就運用方塊模型幫助學(xué)生建立一萬的概念，理解數(shù)的意義。
通過方格模型的演示，讓學(xué)生體會 10 個一是十， 10 個十是一百， 10 個一百是一千， 10 個一千是一萬……，通過幾何圖形的點、線、面、體，使學(xué)生在頭腦中建立“一、十、百、千”的映像，同時建立十個千就是一個萬，在學(xué)生的頭腦中建立一個清晰的模型“滿十進(jìn)一”，對于學(xué)生理解基數(shù)單位和位值制是有很大好處的。
2. 把握核心概念， 重視數(shù)位和位置值的理解
為了表示更大的數(shù)，數(shù)位概念的建立是十分重要的。數(shù)位的含意是不同位置上的數(shù)字表示不同大小的數(shù)，沒有數(shù)位的規(guī)定就沒有辦法表示更大的數(shù)。認(rèn)識個、十、百、千、萬等不同的數(shù)位，理解不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同大小的數(shù)，是理解整數(shù)概念所必須的。學(xué)生必須清楚地了解，同樣一個數(shù)字“ 3 ” ，在個位上表示 3 個一；在十位上表示 30 ，即 3 個十；在百位上表示 300 ，即 3 個百。第一學(xué)段完成整數(shù)萬級的認(rèn)識，第二學(xué)段認(rèn)識萬以上的數(shù)，進(jìn)而整理十進(jìn)制計數(shù)法。我國的計數(shù)單位是每四位一級，萬以內(nèi)數(shù)的個位、十位、百位、千位為個級，學(xué)生理解各級上的每個數(shù)字的意義，這是理解多位數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字意義的前提條件。我國計數(shù)單位是四位一級，在國際上普遍使用的是三位一級，在學(xué)習(xí)時可以讓學(xué)生了解。 在歷史上，曾經(jīng)出現(xiàn)過以 2 、 3 、 4 為原始的數(shù)基，比較多的是以 5 、 20 、 60 為數(shù)基，即五進(jìn)制、二十進(jìn)制、六十進(jìn)制。當(dāng)然，最多的是以 10 為數(shù)基，即現(xiàn)在世界各國通用的十進(jìn)制，即 重要的“滿十進(jìn)一”的方法。
在古代文明中，世界各國大多數(shù)都是采用十進(jìn)制，例如中國、古羅馬。但十進(jìn)位記數(shù)法，離十進(jìn)位值制還有關(guān)鍵的一步“位置值制要走。所謂“位值制”，是指相同的計數(shù)符號由于所處的位置不同可以表示大小不同的數(shù)目。有了位值制，就可以用有限的數(shù)字表示出無限的自然數(shù)，這是記數(shù)歷史上的一個創(chuàng)造，一個奇跡。因此馬克思在他的《數(shù)學(xué)手稿》一書中稱十進(jìn)位值制記數(shù)法為“最妙的發(fā)明之一”。
（ 1 ）重視 10 的概念的建立
一個 十 和幾個 一 是十幾 ， 這就是位值制的基礎(chǔ) ， 這樣 10 個數(shù)字就可以表示出生活中無限多的物。教學(xué)中建立好概念非常重要。在教學(xué) 10 的認(rèn)識時要讓學(xué)生親自感受到由 9 再加 1 變成 10 的過程，可以通過數(shù)、擺、捆、撥、說等活動，讓學(xué)生感受 10 個一是 1 個十。在 11-20 各數(shù)的認(rèn)識中仍然要關(guān)注 10 的概念的建立，讓學(xué)生體會滿十進(jìn)一的過程。
（ 2 ）重視數(shù)計數(shù)單位：
為幫助學(xué)生了解十進(jìn)制計數(shù)法 和位值制。要重視數(shù)計數(shù)單位 逐步建立新的計數(shù)單位，10 個一是 1 個十，10 個十是一百，10 個百是一千，10 個千是一萬，10 個萬是十萬，10 個十萬是一百萬，10 個百萬是一千萬，從而引出新的計數(shù)單位十萬，在一個單位、一個單位地數(shù)的活動中，學(xué)生充分體會每數(shù)滿 10 個單位就產(chǎn)生一個新的計數(shù)單位，感受了兩個相鄰計數(shù)單位間的進(jìn)率是十。
（ 3 ）重視數(shù)位順序表的使用
隨著認(rèn)識的數(shù)越來越大教師應(yīng)不斷擴(kuò)充完善數(shù)位順序表，從認(rèn)識 20 以內(nèi) 的數(shù)起就讓學(xué)生了解個位和十位，認(rèn)識百以內(nèi)數(shù)時補(bǔ)充認(rèn)識百位，在認(rèn)識萬以內(nèi)數(shù)的時候第一次出現(xiàn)了數(shù)位順序表，在認(rèn)識整數(shù)的最后一個單元里學(xué)生將認(rèn)識萬級和億級的數(shù)以及比億更大的數(shù)。數(shù)位順序表可以分兩次擴(kuò)展，先擴(kuò)展到萬級，再擴(kuò)展到億級。數(shù)位順序表有助于學(xué)生了解十進(jìn)制計數(shù)法，理解數(shù)的意義并掌握讀、寫數(shù)的方法。
3. 關(guān)注對大數(shù)的感受
在第一、二學(xué)段都提出感受大數(shù)意義和對大數(shù)進(jìn)行估計的要求。第一學(xué)段是要求在生活情境中感受大數(shù)的意義，第二學(xué)段情境的范圍有所擴(kuò)大，要求在現(xiàn)實情境中感受大數(shù)的意義。其本質(zhì)是相同，都是希望通過具體的情境對大數(shù)加以感受，增加學(xué)生的數(shù)感。感受大數(shù)與情境的具體內(nèi)容有關(guān)， 1200 張紙大約有多厚？你的 1200 步大約有多長？ 1200 名學(xué)生站成做廣播操的隊形需要多大的場地？這些具體的情境學(xué)生可以通過實際操作和觀察感受。有時還要加入想象的成份， 1200 名學(xué)生需要多大場地，許多學(xué)?？赡軟]有這么多人，學(xué)生就需要了解自己的學(xué)校有多少人，占多大地方，再想象 1200 人會占多大地方。
這個抽象過程在小學(xué)一年級開始認(rèn)識數(shù)時就強(qiáng)調(diào)，直到認(rèn)識較大的數(shù)。學(xué)生逐漸認(rèn)識數(shù)的抽象表示，逐步建立數(shù)概念。
（二）在建立分?jǐn)?shù)概念中要注意的問題
教師在數(shù)的認(rèn)識的教學(xué)中 普遍認(rèn)為分?jǐn)?shù)的認(rèn)識是數(shù)認(rèn)識教學(xué)中的一個難點。 分?jǐn)?shù)起源于分，當(dāng)平均分出現(xiàn)不是整數(shù)結(jié)果的時候，逐漸有了分?jǐn)?shù)的概念。后來，在土地測量、產(chǎn)品分配等過程中 , 常常得到不是整數(shù)的結(jié)果，便產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生經(jīng)歷了一個漫長的過程，分?jǐn)?shù)的真正來源在于自然數(shù)除法的推廣。
1. 加強(qiáng)對分?jǐn)?shù)豐富意義的理解
教師要了解分?jǐn)?shù)意義的多重多元性，才能引導(dǎo)學(xué)生深刻理解分?jǐn)?shù)的意義。 對分?jǐn)?shù)意義的理解應(yīng)關(guān)注以下兩個主線和四個層面：
兩個主線
即“比的線索”和“數(shù)的線索”?！氨取敝傅氖且徊糠峙c另一部分之間的關(guān)系；“數(shù)”指的是以有理數(shù)形式出現(xiàn)的分?jǐn)?shù)，此時的分?jǐn)?shù)表現(xiàn)的是一個結(jié)果。
分?jǐn)?shù)意義理解的四個層面
“比率” 是指部分與整體的關(guān)系和部分與部分的關(guān)系。其中部分與整體的關(guān)系更多地體現(xiàn)在真分?jǐn)?shù)的含義中。例如一個圓平均分成 4 份，每一份是整體的
。又例如，長方形中的一部分是整個長方形的
，整體圖形的面積應(yīng)該是多少？顯然，整體圖形的面積應(yīng)該是這樣的三份。這里的
和
所反映的就是取的份數(shù)與整體份數(shù)之間的關(guān)系。 而部分與部分之間的關(guān)系更多地表現(xiàn)為是一種“記號”。例如小紅有 5 個蘋果，小麗有 3 個蘋果，小紅的蘋果是小麗的
倍。對比率維度的理解，可以幫助學(xué)生完成對分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)以及通分、約分等相關(guān)知識的正確認(rèn)識。
“度量” 指的是可以將分?jǐn)?shù)理解為分?jǐn)?shù)單位的累積。例如
里面有 3 個
，就是用分?jǐn)?shù)
作為單位度量 3 次的結(jié)果。著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)起源于數(shù)，量起源于量?！睂Χ攘烤S度的研究，可以大大豐富學(xué)生對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識。度量維度的體驗也可以直接作用于分?jǐn)?shù)加（減）法的學(xué)習(xí)中。
“運作” 主要指的是將對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識轉(zhuǎn)化為一個運算的過程。例如，求 6 張紙的
是多少張紙，學(xué)生將
理解為整體 6 張紙的
，即將 6 張紙這個整體平均分成 3 份，取其中的 2 份，列出算式就是 6 ÷ 3 × 2 ，也就是 6 ×
。
“商” 這個維度主要是指分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法之后運算的結(jié)果，它使學(xué)生對于分?jǐn)?shù)的認(rèn)識由“過程”凝聚到“對象”，即分?jǐn)?shù)也是一個數(shù)，也可以和其他數(shù)一樣進(jìn)行運算。
以上這四個維度沒有先后之分，主次之別，它們對學(xué)生多角度認(rèn)識分?jǐn)?shù)都發(fā)揮著重要的作用。它們相輔相成，共同承擔(dān)著學(xué)生對于分?jǐn)?shù)內(nèi)涵豐富性認(rèn)識的建構(gòu)。
2． 利用多種模型幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的意義
在小學(xué)階段教材中往往以學(xué)生熟悉的日常事物與活動為模型，建立分?jǐn)?shù)的概念。例如把一個月餅平均分為兩份，其中的一份是
個，把一張紙平均分為為四份其中的一份是
，這僅僅是從“面積模型”的角度來理解分?jǐn)?shù)，學(xué)生理解分?jǐn)?shù)可以借助于多種“模型”。
（ 1 ）分?jǐn)?shù)的面積模型：用面積的“部分—整體”表示分?jǐn)?shù)
兒童最早是通過“部分—整體” 來認(rèn)識分?jǐn)?shù)，因此在教材中分?jǐn)?shù)概念的引入是通過“平均分”某個“正方形”或者“圓”取其中的一份或幾份（涂上“陰影”）認(rèn)識分?jǐn)?shù)的，這些直觀模型即為分?jǐn)?shù)的“面積模型”。
（ 2 ）分?jǐn)?shù)的集合模型：用集合的“子集—全集”來表示分?jǐn)?shù)
這是“部分—整體”的另外一種形式，與分?jǐn)?shù)的面積模型聯(lián)系密切，但學(xué)生在理解上難度更大，關(guān)鍵是“單位 1 ” 不再真正是“ 1 個整體”了，而是把幾個物體看作“ 1 個整體”，作為一個“單位”，所取的“一份”也不是“一個”，可能是“幾個”作為“一份”，例如，把 4 個桃子看作“單位 1 ” 平均分成 2 份，每份 2 個占整體的
。分?jǐn)?shù)的集合模型需要學(xué)生有更高程度的抽象能力，其核心是把“多個”看作“整體 1 ”。
（ 3 ） 分?jǐn)?shù)的“數(shù)線模型”：數(shù)線上的點表示分?jǐn)?shù)
3. 把握好每一階段完成的任務(wù)
在小學(xué)階段，對于分?jǐn)?shù)意義的學(xué)習(xí)，教材一般“顯性”地分為兩個階段：第一學(xué)段分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識和第二階段分?jǐn)?shù)的意義。但實際上，基于對于分?jǐn)?shù)意義內(nèi)涵豐富性的理解，我們逐步認(rèn)識到，對于分?jǐn)?shù)意義的學(xué)習(xí)，決不是一兩次教學(xué)所能全部承載和實現(xiàn)的，需要通過系列設(shè)計，逐步滲透、多維度建立，將教材中的“顯性”和“隱性”結(jié)合起來。我們應(yīng)該如何把握每一階段的教學(xué)呢？
第一階段：認(rèn)識平均分。
第二階段：在分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識教學(xué)中，幫助學(xué)生初步建立部分與整體關(guān)系的認(rèn)識，感受分?jǐn)?shù)。
第三階段：在分?jǐn)?shù)意義和分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的教學(xué)中，重點使學(xué)生發(fā)展對于分?jǐn)?shù)理解的比率、度量的維度。
第四階段：在分?jǐn)?shù)與除法關(guān)系的教學(xué)中，重點使學(xué)生發(fā)展對于分?jǐn)?shù)理解的運作、商的， 第五階段：在分?jǐn)?shù)的運算及解決問題的教學(xué)中，鼓勵學(xué)生綜合運用對于分?jǐn)?shù)意義理解
的多個維度。
必須指出的是，這五個階段不是相對孤立的，更不是線性排列的，不能僵化地理解為到了某一階段就必須或者只能達(dá)成對某維度的學(xué)習(xí)，其他維度將不再涉及。這四個階段在完成對分?jǐn)?shù)意義豐富認(rèn)識方面各有側(cè)重，相互滲透，相互補(bǔ)充，共同幫助學(xué)生實現(xiàn)對分?jǐn)?shù)意義理解的不斷發(fā)展和整體建構(gòu)。
總之分?jǐn)?shù)的認(rèn)識是一個循序漸進(jìn)的過程，需要系統(tǒng)的進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，才能使學(xué)生真正理解熟練運用。
（三）在建立小數(shù)數(shù)概念中要注意的問題
在分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，教材安排了小數(shù)的初步認(rèn)識。 小數(shù)的出現(xiàn)標(biāo)志著十進(jìn)制記數(shù)法從整數(shù)（自然數(shù)）擴(kuò)展到了分?jǐn)?shù)，使分?jǐn)?shù)與整數(shù)在形式上獲得了統(tǒng)一。由此可見 小數(shù)和整數(shù)、分?jǐn)?shù)有著密切的聯(lián)系。
1. 利用知識遷移建立小數(shù)概念
分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)對小數(shù)的學(xué)習(xí)特別是小數(shù)意義的理解有直接顯著的影響 ， 后者的學(xué)習(xí)對前者也有促進(jìn)作用 ， 例如 8 分米是十分之八米是學(xué)生已有的知識 ， 只要通過提問 ， 引起學(xué)生的回憶和思考 ， 還可以寫成 0.8 米 ， 也就是同一對象的兩種不同形式 ， 使小數(shù)和分?jǐn)?shù)建立起直接的聯(lián)系 ， 使學(xué)生進(jìn)一步體會到 ： 十分之幾和一位小數(shù) ， 百分之幾和兩位小數(shù)之間的關(guān)系 。
再如把正方形平均分表示其中的若干份，以及用數(shù)軸表示數(shù)，這是認(rèn)識整數(shù)、分?jǐn)?shù)時常用的模型 ， 可以將其拓展到小數(shù) 。 例如：把一個正方形平均分成 10 份 100 份 ， 其中的若干份既可以用分?jǐn)?shù)表示 ， 也可以用小數(shù)表示 ，這樣能夠 幫助學(xué)生理解的小數(shù)意義，建立小數(shù)的模型，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感 。
2. 溝通整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系
（ 1 ） 溝通整數(shù)和小數(shù)的關(guān)系。 整數(shù)與小數(shù)的計數(shù)方法是一致的 ， 相鄰兩個計數(shù)單位間的進(jìn)率都是 10 ， 小數(shù)的計數(shù)方法是整數(shù)計數(shù)方法的擴(kuò)展 ， 教學(xué)中要設(shè)計相應(yīng)的教學(xué)環(huán)節(jié)將整數(shù)的計數(shù)方法遷移到小數(shù) ， 為學(xué)生在計數(shù)的經(jīng)驗和方法上建立聯(lián)系 ， 不僅如此 ， 還要利用這些活動幫助學(xué)生整理認(rèn)數(shù)系統(tǒng) ， 把原來認(rèn)識的整數(shù)數(shù)位表擴(kuò)充到小數(shù) 。
（ 2 ）溝通分?jǐn)?shù)和小數(shù)的關(guān)系： 小數(shù)和分?jǐn)?shù)上的溝通，主要是意義上的溝通，使學(xué)生理解小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)。
（ 3 ）溝通分?jǐn)?shù)、整數(shù)、小數(shù)之間的關(guān)系。
關(guān)于小數(shù)和整數(shù)、分?jǐn)?shù)有著密切的聯(lián)系，在整數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)了小數(shù)， 小數(shù)的表征形式與整數(shù)相似， 數(shù)位順序表得到補(bǔ)充， 都是十進(jìn)制。如果以個位為基礎(chǔ)，向右擴(kuò)展就是十位、百位、千位；如果向左擴(kuò)展就是十分之一位（十分位），百分之一位（百分位）等。 換句話說：以個位為對稱軸，兩邊的數(shù)位呈現(xiàn)了對稱的關(guān)系，只是小數(shù)部分在位前增加了“分”；這樣“每相鄰的兩個計數(shù)單位之間的進(jìn)率都是 10 ”得到了全面的概括；小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)。 從這個意義上說，對小數(shù)的理解比對分?jǐn)?shù)的理解更容易一些。
整數(shù)可以數(shù)，一個一個地， 一十一十地數(shù)，一百一百地數(shù)， 小數(shù)可以數(shù)： 0.1 、 0.2 、 0.3 、 0.4 、 0.5 、 0.6 、 0.7 ……分?jǐn)?shù)可以數(shù)：
……
以此類推。這列數(shù)是按照一個單位進(jìn)行數(shù)數(shù)的，無論是整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)它們都是計數(shù)單位的累加。
3. 把握好小數(shù)認(rèn)識的兩個階段的教學(xué)
我們知道關(guān)于小數(shù)的初步認(rèn)識可以從學(xué)生熟悉的計量單位：元、角、分和米制系統(tǒng)（米、分米、厘米）來幫助學(xué)生學(xué)習(xí)。并不涉及到小數(shù)的計數(shù)單位和數(shù)位；到了第二學(xué)段學(xué)習(xí)小數(shù)的意義時，才抽象出小數(shù)的計數(shù)單位和數(shù)位，以及完善數(shù)位順序表…… 兩個學(xué)段的重點不同，呈現(xiàn)的方式和學(xué)習(xí)的方式也應(yīng)當(dāng)有區(qū)別。要根據(jù)學(xué)生的實際選擇合適的學(xué)習(xí)方法，幫助學(xué)生理解小數(shù)的意義。
三、 建立數(shù)概念教學(xué)的具體建議
（一）在數(shù)認(rèn)識中體現(xiàn)數(shù)感。 數(shù)感的建立非常重要，教師要設(shè)計多種活動培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。
（二） 整體把握內(nèi)容之間的聯(lián)系： 兩個學(xué)段相關(guān)內(nèi)容的整體把握和遞進(jìn)與銜接。
（三）鼓勵學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)交流，關(guān)注數(shù)的應(yīng)用 。關(guān)于數(shù)的認(rèn)識包括從數(shù)的意義、數(shù)的表示、數(shù)和數(shù)之間的關(guān)系、數(shù)的應(yīng)用；其中數(shù)的應(yīng)用不僅僅是一條主線，而且滲透在整個學(xué)習(xí)中。教學(xué)中要提供機(jī)會鼓勵學(xué)生運用數(shù)來表示日常生活中的一些事物，并進(jìn)行交流。
問題二： 如何處理運算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系
一、 《課標(biāo)》對“數(shù)的運算”有什么新要求
新課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的運算能力。 運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進(jìn)行運算的能力。 培養(yǎng)運算能力有助于學(xué)生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。同時在《課標(biāo)解讀》中也強(qiáng)調(diào)“應(yīng)當(dāng)?shù)瘜\算的熟練程度的要求，選擇正確的計算方法，準(zhǔn)確地得到運算結(jié)果，比運算的熟練程度更重要。應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生是否理解了運算的道理，是否能準(zhǔn)確地得出運算的結(jié)果，而不是單純地看運算的速度?！边@一目標(biāo)的提出就要求教師在數(shù)的運算教學(xué)中，不能僅僅關(guān)注于學(xué)生運算技能的掌握，更要注重學(xué)生理解算例、掌握算法的學(xué)習(xí)過程，也就是在教學(xué)中要注重將算理與算法有機(jī)的結(jié)合在一起，從而發(fā)展學(xué)生的運算能力。
學(xué)習(xí)數(shù)的運算的過程就是發(fā)展邏輯思維能力的過程，數(shù)的運算的概念、性質(zhì)、法則、公式之間都有內(nèi)在聯(lián)系，存在著嚴(yán)密的邏輯性。每個概念、性質(zhì)、法則、公式的引入與建立，都要經(jīng)過抽象、概括、判斷、推理的思維過程。學(xué)生學(xué)習(xí)、理解和掌握“數(shù)的運算”內(nèi)容時都要經(jīng)過從具體到抽象、從感性到理性的過程，學(xué)生把這些應(yīng)用到實際中去， 還要經(jīng)過由一般到特殊的演繹過程。因此，數(shù)的運算的學(xué)習(xí)有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力。這就需要教師在教學(xué)的過程中不僅僅關(guān)注結(jié)果、關(guān)注方法更要關(guān)注得到結(jié)果、得到方法的思維過程，這個思維過程就是學(xué)生理解算理、掌握算法的過程。小學(xué)生仍然以直觀形象思維為主，而算理、算法又十分抽象，因此如何結(jié)合學(xué)生的思維特點處理好運算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系，往往就是教學(xué)的難點所在。我們可以結(jié)合學(xué)生的年齡特點借助生動有趣的童話情境、借助直觀模型、借助學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗，處理好運算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系。
二、如何處理運算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系
（一）借助生動有趣的童話情境，處理好運算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系。
小學(xué)生，尤其是低年級的學(xué)生，他們更多的是以形象思維為主，因此創(chuàng)設(shè)生動有趣的童話情境，不僅能夠很好地調(diào)動他們的學(xué)習(xí)積極性，更能夠借助童話情境幫助他們理解算例、掌握算法。
北京小學(xué) 魏來紅 老師在教學(xué)《 20 以內(nèi)進(jìn)位加法》一課中，就是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了學(xué)生喜愛的小動物上車的童話情境（ PPT ）。首先 魏 老師通過讓學(xué)生在第一站幫助 9 個小動物上車，來復(fù)習(xí)十加幾的口算，學(xué)生的積極性一下子就被調(diào)動了起來，為他們能夠運用學(xué)過的知識幫助小動物而感到高興。接下來再通過第二站幫助 5 個小動物上車，復(fù)習(xí)連加，并通過追問“有什么好方法能讓我們算得又對又快？”使學(xué)生感受到先湊“十”再算“十加幾”簡便快捷，為理解“進(jìn)位加”的算理做好了孕伏。 5 個小動物上車后，與在第一站上車的 9 個小動物合起來，這時車上一共有多少個小動物？從而引出了 9+5= ？這一進(jìn)位加法。如何計算 9+5= ？學(xué)生結(jié)合生動、形象、具體的現(xiàn)實情境，很快就想到把 5 分成 1 和 4 ， 1 和 9 組成 10 ， 10 加 4 等于 14 。就這樣學(xué)生在輕松、愉悅的童話情境中，順利的理解和掌握了進(jìn)位加的算理與算法。
通過這節(jié)課我們看到，魏老師正是能夠很好的結(jié)合學(xué)生的年齡和心理需求以及他們的思維特點，創(chuàng)設(shè)了學(xué)生感興趣、喜愛的童話情境，使枯燥的數(shù)學(xué)變得生動有趣，使抽象的算理變得直觀形象，使學(xué)生在明理中順利、自然的掌握了算法。
（二）借助直觀模型，處理好運算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系。
在皇城根小學(xué)史冬梅老師上的《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》一課中，史老師結(jié)合三年級學(xué)生的思維特點，借助直觀模型較好地處理了算理與算法的關(guān)系。史老師在這節(jié)課上沒有將會寫“豎式”作為最終的教學(xué)目標(biāo)，而是在學(xué)生已經(jīng)能夠初步掌握豎式計算方法的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生探尋方法背后的道理。并提供給學(xué)生直觀的點子圖作為研究素材，在研究中，學(xué)生們呈現(xiàn)了豐富多彩的成果。雖然學(xué)生們的分法不完全相同，但“先分后合”的思路是一致的，這一點恰恰就是乘法豎式運算的基本思路。在這之后，史老師再次將分點子圖與豎式中的四句口訣進(jìn)行了對應(yīng)，引導(dǎo)學(xué)生一步步深入地理解豎式計算中每一個細(xì)節(jié)背后的道理?！胺贮c子圖”不僅給學(xué)生創(chuàng)造了積累活動經(jīng)驗的寶貴機(jī)會，同時又使學(xué)生能夠借助直觀模型，較好的理解了兩位數(shù)乘法算法背后的道理。
在我們以往的教學(xué)中，不少老師或者不重視引導(dǎo)學(xué)生探索計算的過程，或者當(dāng)學(xué)生剛剛探索出方法后，就立即引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)豎式，在學(xué)生對豎式運算的每個環(huán)節(jié)沒有真正理解的情況下就開始追求計算方法。這就很可能造成學(xué)生在沒有真正理解道理的情況下，只能靠記憶法則來習(xí)得方法和技能。這顯然對學(xué)生的發(fā)展是不利的，史老師這節(jié)課恰恰是為學(xué)生真正地、扎扎實實地經(jīng)歷理解的過程提供了鮮活而典型的案例。在教學(xué)中教師要舍得拿出時間讓學(xué)生有機(jī)會經(jīng)歷，有機(jī)會感受，有機(jī)會理解，有機(jī)會創(chuàng)造。新的課程標(biāo)準(zhǔn)中也明確提出了學(xué)生活動經(jīng)驗的目標(biāo)，它背后深遠(yuǎn)的意義還需要廣大教師在自己的實踐中開動腦筋，深入挖掘，潛心感悟。
（三）借助學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗，處理好運算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系。
北京小學(xué)于萍老師曾經(jīng)上過的《小數(shù)加減法》一課，在這節(jié)課中于老師就是借助學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗，幫助學(xué)生理解小數(shù)加減法的算理。于老師讓學(xué)生自主進(jìn)行編題，其中就有一名學(xué)生編出了一道 0.8+3.74= ，這種類型將要揭示的“小數(shù)點對齊”是本節(jié)課的重點所在，也是小數(shù)加減法總結(jié)算法的重要時機(jī)。為了讓學(xué)生有機(jī)會調(diào)動已有的整數(shù)加減法的認(rèn)知經(jīng)驗，經(jīng)歷判斷、推理、抽象的思維過程，于老師就讓每個學(xué)生自己試做，并說明自己這樣做的道理。
師：你們以前做過很多很多加減法題，無一例外的都是把末位的兩個數(shù)字對齊，可這道題為什么不末位對齊呢？
生：整數(shù)的末位是個位，末位對齊也就是個位對齊了。而小數(shù)的末位不一定是相同的，所以不能末位對齊。
師：你們雖然沒把末位對齊，但把誰對齊了？
生：把小數(shù)點對齊，也就是相同數(shù)位對齊。
師：你看得很深、很準(zhǔn)，這樣做肯定有這樣做的道理?？蔀槭裁匆欢ㄒ?shù)點對齊、要相同數(shù)位對齊呢？
生 1 ：如果不對齊算出來就錯了。
生 2 ：如果不把小數(shù)點對齊，而把末位對齊的話，十分位的 8 就和百分位的 4 對齊了，相加之后肯定就不對了。
生 3 ：我舉個例子說吧，比如買兩樣?xùn)|西，一個是 0.8 元，另一個 3.74 元，如果把末位的 8 和 4 相加，就是用 8 角加 4 分，那肯定不對了。
師：我們研究同一個問題時可以從不同角度研究，比如，可以講道理，也可以舉例子。剛才這道題，就有同學(xué)想到了用我們都熟悉的“元角分”舉例子來解釋，簡單的事說明了深奧的道理，你真棒?？磥碇挥邢嗤嫈?shù)單位的個數(shù)才能夠相加減。
小結(jié)：原來看似和整數(shù)加減法不太一樣的“小數(shù)點對齊”其實和“末位對齊”一樣，都是為了確?！跋嗤瑪?shù)位對齊”，而相同數(shù)位對齊背后的道理就是“相同計數(shù)單位的個數(shù)直接相加減”。你們不僅找到了方法，還理解了方法背后的數(shù)學(xué)道理，真了不起。
小數(shù)加減法在小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”的學(xué)習(xí)領(lǐng)域中占有什么位置？如何把握它與整數(shù)加減法的關(guān)系？在這節(jié)課中又該如何呈現(xiàn)知識的本質(zhì)，抓住核心概念進(jìn)行教學(xué)？ 于萍 老師的教學(xué)實踐回答了上面的問題。教師在引導(dǎo)學(xué)生探究小數(shù)加減法計算方法的過程中，始終抓住了本節(jié)課知識的“魂”實施教學(xué)，她沒有滿足學(xué)生能正確地計算出結(jié)果，而是步步深入引導(dǎo)學(xué)生逼近數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。引發(fā)學(xué)生對小數(shù)加減計算道理的深刻理解，即：小數(shù)加減法與整數(shù)加減法的本質(zhì)意義是一致的，即相同的計數(shù)單位相加減。像這樣，將“講理”與“明法”有機(jī)的結(jié)合，讓學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上總結(jié)算法，有助于學(xué)生更深入地理解數(shù)學(xué)核心概念，才能夠更好地 實現(xiàn)“培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)法則和運算律正確地進(jìn)行運算的能力?！钡哪繕?biāo)。
三、 對“數(shù)的運算”教學(xué)的建議
（一）處理好算理直觀與算法抽象的關(guān)系 。這個理是學(xué)生不容易理解的，教師可以通過現(xiàn)實情境、直觀的圖、學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)等幫助學(xué)生去理解。
（二）處理好算法多樣化與算法優(yōu)化的關(guān)系 。算法多樣化，要關(guān)注學(xué)生的個性，可能這個學(xué)生適合這樣的方法，那個學(xué)生喜歡另一種方法，但是它們背后的道理是一樣的，老師要想辦法通過不同的方法，讓學(xué)生去理解這個道理，使學(xué)生能夠更有效的進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。
（三）處理好技能訓(xùn)練與思維訓(xùn)練的關(guān)系 。它不是一種單純的、機(jī)械的、做題量的積累，在這個過程當(dāng)中，要注重幫助學(xué)生積累經(jīng)驗，發(fā)展思維。
（四）注重計算與日常生活以及解決問題的聯(lián)系 。學(xué)習(xí)加減乘除的計算，最終要為解決問題服務(wù)，在解決問題過程中，讓學(xué)生體會到計算方法的實際價值。
問題三 如何落實新課標(biāo)對估算的要求
一、《課標(biāo)》對“估算”有什么新要求
課標(biāo)修訂版中加強(qiáng)了對“估計”以及“選擇適當(dāng)?shù)膯挝弧边M(jìn)行簡單估算。如何理解“選擇適當(dāng)?shù)膯挝弧边M(jìn)行簡單的估算？
例如：學(xué)校組織 987 名學(xué)生去公園游玩。如果公園的門票每張 8 元，帶 8000 元錢夠不夠？
解決此題的適當(dāng)方法是把 987 人看成 1000 人，所以適當(dāng)?shù)膯挝皇恰?1000 人”。結(jié)合具體情境，選擇適當(dāng)?shù)膯挝皇堑谝粚W(xué)段估算的核心。在對大數(shù)進(jìn)行估計的時候，選擇合適的單位也很重要。教室到學(xué)校體育館有多遠(yuǎn)，就應(yīng)當(dāng)選用米作單位。而從家到學(xué)校有多遠(yuǎn)，就要選擇千米作單位。太陽到地球的距離就要用光年作單位。
第一學(xué)段的估算強(qiáng)調(diào)在具體的情境中選擇合適的單位，剛才的例子是選擇了 1000 人作單位。一般來說，估計教室的長度時，通常以“米”為單位；估計書本的長度時，通常以“厘米”為單位。也可以用身邊熟悉的物體的長度為單位，如步長、臂長等。教學(xué)中，要讓學(xué)生結(jié)合實際熟悉一些常見的計量單位真正了解其長短，大小和輕重等，并在頭腦中建立起相應(yīng)的表象。
二、如何把握估算教學(xué)的內(nèi)容及其要求
（一）為什么教
估算在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用。
有利于人們事先把握運算結(jié)果的范圍，是發(fā)展學(xué)生數(shù)感的重要方面。
為判斷計算器、口算和筆算結(jié)果是否合理提供了依據(jù)。
在具體情境中估算，有利于學(xué)生提高判斷、選擇的能力。
估算有利于培養(yǎng)學(xué)生做事的計劃性。
估算對學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有重要作用。
（二）教什么
關(guān)于“教什么”要依據(jù)新課標(biāo)中的要求，展開教學(xué)。至少教學(xué)要涉及“估算方法”、“估算策略”。
估算方法：
①湊整的方法。 如湊成一個整十、整百的數(shù)。
②取一個中間數(shù)。 如32、37、 30 和39這四個數(shù)求和，這些數(shù)都很接近35，有的比35多一點，有的比35少一點，就取一個中間數(shù)35，直接用35×4，就大約地計算出了這幾個數(shù)相加的結(jié)果。
③用特殊的數(shù)據(jù)特點進(jìn)行估數(shù)。如126 × 8，就可以想到125 × 8，125的8倍，就得到1000。
④尋找區(qū)間。 也就是說叫尋找它的范圍，也叫做去尾進(jìn)一，去尾就是只看首位，那么只看首位的時候，估得的結(jié)果就是它的至少是多少；進(jìn)一就是首位加一，假如說278，就看成了300，首位加一，這樣就是它最多可能是多少，這樣得到一個范圍，就是尋找它的區(qū)間范圍。
⑤ 大小協(xié)調(diào)。 兩個數(shù)，一個數(shù) 往大了估，一個數(shù)往小了估，或者一個數(shù)估一個數(shù)不估。
⑥先估后調(diào)。
⑦利用乘法口訣湊數(shù)。 這種方法一般用于除法的估算，一般用除數(shù)乘一個整十?dāng)?shù)、整百數(shù)或整百整十?dāng)?shù)，如果乘積最接近被除數(shù)，則這個數(shù)就是除法估算的商。如 358÷6 ，用除數(shù) 6 乘整十?dāng)?shù) 60 ，其積360最接近被除數(shù) 358 ，那么整十?dāng)?shù) 60 即是所求的商。
（三）怎么教？
估算教學(xué)，不是單純的教給學(xué)生記住一種估算的方法，而是通過我們的課堂教學(xué)，使
學(xué)生逐步地去理解估算的意義和價值，發(fā)展學(xué)生估算的意識。在這個過程當(dāng)中，應(yīng)當(dāng)多增加一些學(xué)生的體驗，不斷地豐富學(xué)生這方面的經(jīng)驗，并逐步加以積累。
教學(xué)建議：
1. 整體把握估算教學(xué)，把估算意識的培養(yǎng)作為重要的教學(xué)目標(biāo)
所謂整體把握估算教學(xué)，就是要把握自己所教估算教學(xué)部分的知識結(jié)構(gòu)與地位，要知道自己所教學(xué)的估算知識部分在整個小學(xué)階段處于什么位置 ? 對今后的估算學(xué)習(xí)能起到什么作用 ? 要在自己所教的一段達(dá)到什么樣的目標(biāo) ? 這樣一來在教學(xué)中就會做到游刃有余，心中有數(shù)。
學(xué)習(xí)估算的開始階段，對學(xué)生來說可能有一定的難度，或許會影響一點教學(xué)進(jìn)度或計算速度，這時老師不能為了趕進(jìn)度而著急，應(yīng)該給學(xué)生充分理解的空間和時間。要知道開頭的 “ 慢 ” 正是為了不久之后的 “ 快 ” 和 “ 好 ” 。
在教學(xué)中 首先要考慮估算的教學(xué)目標(biāo)，如果把目標(biāo)僅僅定位在就教會湊整估算，或是見到 “ 大約 ” 就要估算，做一些機(jī)械的訓(xùn)練，可能就會給學(xué)生形成一種錯誤的定勢。而估算教學(xué)中，首要重要的如何培養(yǎng)學(xué)生近似的意識，這是我們數(shù)學(xué)教學(xué)本身應(yīng)該關(guān)注的問題，應(yīng)該作為重要的教學(xué)目標(biāo)來進(jìn)行實施。
引導(dǎo)學(xué)生在問題情境的對比中，選擇估算或精確計算，不斷地積累這方面的經(jīng)驗。作為數(shù)學(xué)教師，要想辦法搜集或者捕捉一些好的素材，在具體的問題情境當(dāng)中讓學(xué)生去感受，什么樣的問題解決需要近似值，就是需要估算，哪些問題解決一定要算出精確值，比如“全家吃飯”飯費大約200元，就是估算。沒有必要精確地計算。但作為飯店的收銀員就需要精確計算，估算顯然不行。
2. 要選好題目，提出好問題，讓學(xué)生體會估算的意義和價值。
作為教師，在教學(xué)設(shè)計當(dāng)中，首先要選好題目，提出有估算價值的問題。比如，三位數(shù)除以兩位數(shù)，你估一估這道題，它的商是幾位數(shù)？這個問題就有價值。另外，只有選好題目、提出好問題學(xué)生才能自覺體會到估算的價值，學(xué)生有了對估算價值這種體驗以后，他的估算意識才能不斷增強(qiáng)。
另外，鼓勵學(xué)生利用估算來驗證計算結(jié)果，養(yǎng)成好習(xí)慣。估算教學(xué)，要結(jié)合具體的問題情境讓學(xué)生體會到估算的意義和價值，結(jié)合學(xué)生的實際，尤其是已有的知識水平和生活經(jīng)驗提出合適的問題，才能使得學(xué)生對估算的意義有深刻的體會，尤為重要的是，給學(xué)生充分的交流時間和空間，通過學(xué)生的交流讓學(xué)生解釋過算的過程。
面對不同的算式，學(xué)生有時用計算器計算，有時用精確筆算，結(jié)果對不對，特別是積的位數(shù)、商的位數(shù)，準(zhǔn)確不準(zhǔn)確，可以先用估算的方法，來確定一下它大致的取值范圍，這樣可以幫助學(xué)生來驗證計算的結(jié)果。估算意識的培養(yǎng)，應(yīng)該從點點滴滴做起，使學(xué)生逐步地養(yǎng)成一種習(xí)慣，形成這種良好的習(xí)慣以后，他會自覺地進(jìn)行估算。
3. 鼓勵方法多樣化，重視交流、解釋過程，讓學(xué)生進(jìn)行合理估算。
由于學(xué)生對于相關(guān)數(shù)學(xué)知識和技能的掌握情況及思維方式、水平不同，在估算中方法會多種多樣。教師要積極鼓勵學(xué)生估算方法多樣化，應(yīng)讓學(xué)生充分交流，表達(dá)自己的想法，了解他人的算法，使學(xué)生體會到解決同一個問題可以有不同的方法，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行比較和優(yōu)化。
估算結(jié)果是多樣的，要關(guān)注估算結(jié)果是否合情合理。在估算教學(xué)中讓學(xué)生交流估算方
法尤其重要，只要切合估算的目的或解決問題的需要就是好方法。因此不同的情境會選擇不同的估算方法。
教師教學(xué)中要強(qiáng)化估算意識并結(jié)合教學(xué)內(nèi)容作好估算示范。這種示范并不是包辦，而是給予適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，讓學(xué)生在科學(xué)的范圍內(nèi)進(jìn)行估算，同時對好的方法加以強(qiáng)調(diào)，進(jìn)行合理的估算。
4. 做好對估算的有效評價
（ 1 ）對估算意識的評價
首先看一個案例，摘自 TIMSS 的測試：
保羅用 $5 去購買牛奶、面包和雞蛋。當(dāng)他到達(dá)商店時，發(fā)現(xiàn)這三種食品的價格如下圖所示：
在下列哪種情況下使用估算比精確計算有意義？
A. 當(dāng)保羅試圖確認(rèn) $5 是否夠用時；
B. 當(dāng)銷售員將每種食品的價錢輸入收銀機(jī)時；
C. 當(dāng)保羅被告知應(yīng)付多少錢時；
D. 當(dāng)銷售員數(shù)保羅所付的費用時。
這個題目設(shè)計的比較巧妙，它通過一個具體問題，考察學(xué)生能否在具體情境下對是否需要計算估算進(jìn)行判斷，也就是考察學(xué)生是否具備了一定的估算意識。此題對我們的最大啟發(fā)是，估算意識也是可以考察的。因此在進(jìn)行估算評價時，也要重視對估算意識的考察。
（ 2 ）對估算策略的評價
估算分為：一種是根據(jù)實際問題來進(jìn)行估算，一種是脫離實際問題的情境，純算式的進(jìn)行估算。
根據(jù)實際問題，選擇合理的估算策略，結(jié)果合理即為正確
學(xué)生只要能夠解決實際問題，那這個估算就應(yīng)該是合理的，這是針對著解決實際問題來說的。老師需要認(rèn)識到，估算結(jié)果并不是與實際情況越接近就越好，只要合理即為正確。什么是合理，只要估算的結(jié)果，能夠有效地解決問題就是合理。
純試題的估算，只要結(jié)果落在一定的區(qū)間內(nèi)，即為正確；但要根據(jù)不同年齡的學(xué)生的認(rèn)知實際，給予針對性的評價
有一些題目，脫離了實際問題情境，屬于純算式的估算，在這種情況下，我們提出：不能簡單地把估算結(jié)果是否與精確值最接近作為唯一的標(biāo)準(zhǔn)， 只要能夠落在區(qū)間內(nèi)，就視為是合理的。 這個區(qū)間，也就是它的取值范圍。
同時，不同年齡的學(xué)生，要有不同的評價標(biāo)準(zhǔn)。如低年級學(xué)生剛剛接觸估算，它的估算結(jié)果落在一個范圍比較大的區(qū)間內(nèi)，我們覺得就可以。高年級的學(xué)生已經(jīng)有了一定的估算經(jīng)驗，就要引導(dǎo)他不斷地進(jìn)行再反思，再調(diào)整。舉個例子來說： 78 × 365 積大約是多少，剛開始學(xué)習(xí)的時候，學(xué)生可能這樣估 70 × 300 ，或者 80 × 300 ，或者 80 × 400 ，這樣我們都可以視為是合理的。有了一定的計算技能以后，老師要引導(dǎo)學(xué)生不斷地去進(jìn)行反思，還可以估成 80 × 350 ，這時候的范圍就比原來要小多了。
數(shù)學(xué)中比較重視估算結(jié)果是否落在了合適的數(shù)量級中
數(shù)量級也就是十、百、千，萬……，換句話說就可以用 10 的多少次次方。如上面提出的 TIMSS 測試題中有一道題的備選答案很有意思，“史密斯家每星期的用水量是 6000 升 ，他家每年的用水量大約是多少升？”讓學(xué)生從下面的答案進(jìn)行選擇。
A.30000 B.240000 C.300000 D.2400000 E.3000000
這正是在考察學(xué)生對數(shù)量級的了解。一年 52 個星期， 52 × 6000 ，結(jié)果為十萬數(shù)量級，再加上肯定比三十萬大，所以結(jié)果為 C 。
關(guān)于評價估算策略的問題，我們認(rèn)為學(xué)生們估算的策略不同，只要是合理的，就應(yīng)當(dāng)
鼓勵他們大膽地嘗試，鼓勵他們積極解釋自己的觀點，交流自己的看法。在這個過程當(dāng)中，肯定會有很多有價值的東西在課堂中涌現(xiàn)出來，教師要小心翼翼地去呵護(hù)住學(xué)生們的這份探究的精神，不要輕易地用一兩句話就否定一種方法。教師不要急于給予評判，給孩子一種寬松的氛圍，讓孩子不斷地學(xué)會調(diào)整，不斷地學(xué)會反思，提升孩子這種判斷的能力。
問題四：如何依托現(xiàn)實情境，幫助學(xué)生理解常見的量
一、《課標(biāo)》中對“常見的量”的要求是什么
在小學(xué)階段“常見的量”基本在第一學(xué)段出現(xiàn)，主要有貨幣單位、時間單位和重量單位?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)修訂版》中這一部分內(nèi)容并沒有太大的變化。而在以往的教學(xué)中，一些教師對于《課程標(biāo)準(zhǔn)》中“理解常見的量”的具體要求，落實得還不夠到位。對這一部分內(nèi)容的教學(xué)，有的教師僅僅停留在讓學(xué)生能夠認(rèn)識這些常見的量，并能夠進(jìn)行單位間的簡單換算。那么針對這一問題，我們在課堂教學(xué)中應(yīng)如何準(zhǔn)確的落實“理解常見的量”這一具體目標(biāo)呢？
二、如何幫助學(xué)生理解常見的量
（一）依托現(xiàn)實生活情境， 幫助學(xué)生理解常見的量。
數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提倡讓學(xué)生在生活情境中感受數(shù)學(xué)。北京市宣武師范附屬第一小學(xué)耿爽老師上的《克和千克》，和北京小學(xué)走讀部朱潔老師上的《認(rèn)識時間》，都能夠依托現(xiàn)實生活情境，幫助學(xué)生體現(xiàn)和理解常見的量。
在《克和千克》一課中 耿 老師注重依托現(xiàn)實生活情境，從學(xué)生熟悉的生活情境引入學(xué)習(xí)（從超市中買回的各種商品及生活中常見的與克和千克有關(guān)的情境），揭示本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，這樣的引入能較好的 激發(fā)學(xué)生興趣，同時給孩子發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的機(jī)會，也讓學(xué)生感受到“克和千克”與日常生活的密切聯(lián)系。
在《認(rèn)識時間》一課中，朱老師將認(rèn)識時間與學(xué)生在學(xué)校的作息時間相結(jié)合，這樣就能夠調(diào)動學(xué)生已有的、熟悉的生活經(jīng)驗，幫助他們認(rèn)識鐘表，理解常見的時間單位。
（二）依托現(xiàn)實活動情境， 幫助學(xué)生理解常見的量。
實踐是最好的老師，只有學(xué)生們親身經(jīng)歷了才會印象更深。因此 除了依托現(xiàn)實的生活情境，我們還可以依托現(xiàn)實的活動情境，幫助學(xué)生理解常見的量，建立正確的質(zhì)量觀念、時間觀念等。
例如： “ 克和千克”的學(xué)習(xí)對于學(xué)生來說有一定困難，學(xué)生雖然在生活中接觸過質(zhì)量問題， 感知過輕和重，也曾經(jīng)在商品標(biāo)識上看見過千克、克，但多數(shù)學(xué)生都不知道它們是質(zhì)量單位，不知道它們之間的進(jìn)率 ，對于 1 克 或 1 千克 到底有多重，更是知之甚少。并且人們對質(zhì)量的感受力并不強(qiáng)，同一物品掂與提、左手與右手、每人的承受力等，感受結(jié)果不同。同時物體的體積與物體的質(zhì)量不一定是統(tǒng)一的，這些都給學(xué)生認(rèn)識質(zhì)量單位造成了困難。 宣武師范附屬第一小學(xué) 的 耿 老師，在教學(xué)《克和千克》一課中，就為學(xué)生準(zhǔn)備了大量的可操作的物品，為學(xué)生留出探究的空間，使學(xué)生能夠通過掂一掂、稱一稱等活動，在感受 1 千克 和 1 克 的過程中，認(rèn)識克和千克，同時幫助學(xué)生 建立正確的質(zhì)量觀念。
再如：時間單位的認(rèn)識 對于學(xué)生來說是很抽象的概念，沒有可視可觸的形狀與顏色，看不見、摸不著，讓他們來掌握抽象的時間概念難度很大。所以發(fā)展孩子的時間感必須與日常生活的具體事件聯(lián)系起來，使之有可以感知的具體內(nèi)容。 在《認(rèn)識時間》一課中，通過讓學(xué)生體驗 1 分鐘能干什么？（拍球能拍多少下，跳繩能跳多少下，寫字能寫多少個），使學(xué)生體會、感受、理解 1 分鐘有多長，幫助學(xué)生建立時間觀念。
三、有關(guān)“常見的量”的教學(xué)建議
（一）爭取家長的配合與支持，提前為學(xué)生學(xué)習(xí)“常見的量”積累生活經(jīng)驗。
由于“常見的量”這一部分內(nèi)容對于第一學(xué)段的學(xué)生來說比較抽象，因此生活經(jīng)驗是否充足，將會影響到學(xué)生對這部分知識的學(xué)習(xí)。如果學(xué)生平時在生活中能經(jīng)常接觸到相關(guān)知識，他就能在這一方面學(xué)得很好，例如：學(xué)生平時有經(jīng)常跟隨家長購物的經(jīng)驗，學(xué)習(xí)人民幣的相關(guān)知識就會輕松很多。反之，生活經(jīng)驗的缺失會使學(xué)生不易理解，造成學(xué)習(xí)上的困難。
（二）運用多種教學(xué)策略，將“常見的量”與現(xiàn)實生活有機(jī)結(jié)合。
教學(xué)中應(yīng)注重運用多種教學(xué)策略，使“常見的量”的學(xué)習(xí)更貼近學(xué)生。要注重為學(xué)生提供多重學(xué)習(xí)素材，充分利用好學(xué)具，調(diào)動學(xué)生多種感官參與學(xué)習(xí)，為學(xué)生提供動手實踐、自主探索、觀察與思考、發(fā)現(xiàn)、表達(dá)的機(jī)會，激發(fā)學(xué)生的參與意識和積極性，讓學(xué)生學(xué)會在實際中運用所學(xué)知識解決實際問題。
