圖形的認(rèn)識是一個抽象的過程，涉及人們對空間的直覺，也涉及人們對自然的理解。小學(xué)階段“圖形的認(rèn)識”教學(xué)內(nèi)容循序漸進(jìn)，教學(xué)要求逐步提升。第一學(xué)段的教學(xué)內(nèi)容主要是“辨認(rèn)”立體圖形或平面圖形，“初步認(rèn)識”長方形和正方形的特征，“了解”直角、銳角和鈍角。第二學(xué)段的教學(xué)內(nèi)容主要是“認(rèn)識”三角形、平行四邊形、梯形和圓，“認(rèn)識”長方體、正方體、圓柱和圓錐，“知道”平角與周角，“了解”平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系。按照《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的設(shè)計，作為結(jié)果目標(biāo)的行為動詞，“了解”和“知道”、“初步認(rèn)識”是同類詞，是指“從具體實(shí)例中知道或舉例說明對象的有關(guān)特征；根據(jù)對象的特征，從具體情境中辨認(rèn)或者舉例說明對象”?！罢J(rèn)識”和“理解”是同義詞，是指“描述對象的特征和由來，闡述此對象與相關(guān)對象之間的區(qū)別與聯(lián)系”。第一學(xué)段學(xué)生對圖形的認(rèn)識主要定位于結(jié)合具體實(shí)例，能夠辨認(rèn)或舉例說明，即對圖形形成整體的、直觀的認(rèn)識。第二學(xué)段學(xué)生對圖形的認(rèn)識不僅能夠描述圖形的特征，還要能夠闡述圖形之間的區(qū)別與聯(lián)系，形成相應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，即對圖形形成分析的、抽象的甚至關(guān)聯(lián)的認(rèn)識。
本文以江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究室與蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材編輯部主辦的“圖形的認(rèn)識”專題教學(xué)研討活動中的課例（主要是第二學(xué)段“圖形的認(rèn)識”）為素材，試對“圖形的認(rèn)識”教學(xué)中的幾個關(guān)鍵問題進(jìn)行探討。
準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)
數(shù)學(xué)具有的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性和應(yīng)用的廣泛性特點(diǎn)。以至于有人說，教幾何是理想與現(xiàn)實(shí)之間一場無可比擬的斗爭，顯示了人類卓越的智慧。幾何知識的抽象性與小學(xué)生以形象思維為主的思維發(fā)展水平構(gòu)成了矛盾?；膺@一矛盾的有效策略是將數(shù)學(xué)的“學(xué)術(shù)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”。這一轉(zhuǎn)化需要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，迫不得已時還要采取“混而不錯”的方式，盡可能為學(xué)生以后理解“學(xué)術(shù)形態(tài)”的數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ)。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)需要重視學(xué)生對數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的認(rèn)識和理解。所謂本質(zhì)，乃是指事物本身所固有的根本屬性。數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)則是指數(shù)學(xué)內(nèi)容本身區(qū)別于其他內(nèi)容的基本特質(zhì)。只有理解了數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，而不是僅僅從形式上認(rèn)識或者依葫蘆畫瓢地敘述定義，才能說理解了相應(yīng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容。
就“圖形的認(rèn)識”而言，理解圖形概念的本質(zhì)是第二學(xué)段圖形認(rèn)識的重要教學(xué)目標(biāo)。例如教學(xué)四年級的“認(rèn)識三角形”，就要著力幫助學(xué)生逐步理解三角形的概念本質(zhì)。教師在教學(xué)時組織了畫畫三角形、觀察三角形和說說三角形等三個逐層遞進(jìn)的認(rèn)知活動。由于學(xué)生初步認(rèn)識了三角形，因此學(xué)生在嘗試畫三角形的過程中，可能想到先標(biāo)出3個不在一條直線上的點(diǎn)，然后將每兩點(diǎn)連接起來，由3個點(diǎn)畫出3條線段組成三角形；可能想到先畫出一條線段，再依次畫出另外兩條線段。畫三角形的過程實(shí)際上是通過具體的操作動態(tài)感受三角形的形成過程，有助于學(xué)生認(rèn)識組成三角形的關(guān)鍵要素。觀察三角形是學(xué)生對三角形的特點(diǎn)進(jìn)行比較、分析與綜合的過程。
學(xué)生通過觀察大小、形狀各不相同的三角形，發(fā)現(xiàn)這些三角形都有3條邊、3個角、3個頂點(diǎn)，對三角形的認(rèn)識又進(jìn)了一步。理解三角形是由3條線段“首尾相接”“圍成”的圖形是教學(xué)的難點(diǎn)。教師先出示有3條線段但沒有“圍成”三角形的圖示（如圖1），讓學(xué)生認(rèn)識到需要將3條線段圍成三角形；接著，出示3條線段即將圍成三角形的圖示（如圖2），引導(dǎo)學(xué)生思考：3條線段有6個頂點(diǎn)，為什么三角形中只有3個頂點(diǎn)？學(xué)生通過觀察、分析認(rèn)識到3條線段需要圍在一起，教師順勢演示3條線段圍起來的過程，并且介紹這樣的3條線段“首尾相接”才能圍成三角形。在此基礎(chǔ)上，教師組織了說一說什么樣的圖形是三角形的活動。學(xué)生結(jié)合前面的認(rèn)識過程，嘗試用語言概括三角形的概念。
這樣，學(xué)生借助動作表征、圖形表征和語言表征等不同方式的表征活動，逐步認(rèn)識了三角形的概念本質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，教師又及時出示一些正例和反例（如圖3），讓學(xué)生在借助三角形的概念進(jìn)行辨析的過程中深化對三角形本質(zhì)的認(rèn)識。
與認(rèn)識三角形的概念相聯(lián)系，學(xué)生需要進(jìn)一步認(rèn)識三角形的高。從認(rèn)識三角形的角度來說，三角形的高是三角形中一種特殊的線段，雖然其并不直接構(gòu)成三角形的概念，但是作為一個重要的元素存在于圖形中。從高這一概念的內(nèi)容本質(zhì)來看，它是用來刻畫三角形大小的一個量，也就是說，高的概念更多是和“測量”聯(lián)系在一起的。正因為如此，在引入三角形的高時，為了讓學(xué)生理解三角形高的概念本質(zhì)，不妨結(jié)合方格圖中三個點(diǎn)圍成三角形的動態(tài)過程（如圖4），引導(dǎo)學(xué)生初步體會三角形的大小和第三個點(diǎn)的高度有關(guān)（當(dāng)?shù)走叴_定時），繼而過渡到對三角形高的學(xué)習(xí)。
基于學(xué)生現(xiàn)實(shí)的認(rèn)知需求
學(xué)生是教學(xué)的對象，更是學(xué)習(xí)的主體。教師在組織教學(xué)時要盡可能把握所教學(xué)生的現(xiàn)實(shí)認(rèn)知需求，并基于這一需求引導(dǎo)他們開展學(xué)習(xí)活動。把握學(xué)生現(xiàn)實(shí)的認(rèn)知需求，包括把握學(xué)生已有知識的邏輯起點(diǎn)和現(xiàn)實(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗水平。已有知識的邏輯起點(diǎn)一般可以按照教材的編排順序進(jìn)行認(rèn)識，也可通過學(xué)生的作業(yè)對知識掌握的情況進(jìn)行分析；現(xiàn)實(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗水平除了可以借助課前調(diào)查與訪談加以了解，很多情況下要通過課堂教學(xué)現(xiàn)場進(jìn)行判斷?；趯W(xué)生現(xiàn)實(shí)的認(rèn)知需求，教學(xué)才會更自然，從而促進(jìn)學(xué)生更有效率地學(xué)習(xí)。
教學(xué)“圓的認(rèn)識”時，教師在引導(dǎo)學(xué)生初步認(rèn)識圓的各部分名稱和圓的特征之后，讓學(xué)生想辦法畫一個圓。有的學(xué)生說可以用圓形物體來描出一個圓，有的學(xué)生說可以用圓規(guī)來畫圓。此時，教師提出活動任務(wù)：給你兩支鉛筆、一枚硬幣，試著畫一個圓。就像學(xué)生在教師呈現(xiàn)這個活動任務(wù)之前的交流一樣，大多數(shù)學(xué)生都想到可以用鉛筆沿著硬幣周圍描一個圓。這時教師提出問題：這樣畫圓有什么缺點(diǎn)？引導(dǎo)學(xué)生體會這樣畫出的圓大小是固定的。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生嘗試：如果只用兩支鉛筆，能畫一個圓嗎？每一個學(xué)生都十分努力，然而最后都無功而返。教師順勢追問：為什么沒有辦法畫出一個圓呢？學(xué)生說，兩支鉛筆都會動，所以沒辦法畫出一個圓。于是，圓規(guī)這一專門的畫圓工具便粉墨登場。
教師讓學(xué)生想辦法畫圓的任務(wù)意圖是很明確的，就是讓他們體會畫圓需要專門的工具──圓規(guī)?？墒?，在活動任務(wù)的設(shè)計上，是讓學(xué)生想辦法只用兩支鉛筆畫一個圓。事實(shí)說明，這對于學(xué)生來說是一個不可能完成的任務(wù)，超越了學(xué)生的經(jīng)驗水平。盡管數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)活動任務(wù)不一定都要讓學(xué)生成功，但是教師需要思考如果不成功，學(xué)生能從中獲得什么。這里，學(xué)生的收獲是“兩支鉛筆都會動，所以沒辦法畫出一個圓”。盡管教師可以由這樣的認(rèn)識引申出，看來畫圓時要固定一個點(diǎn)，兩支筆之間的距離也要固定。但是學(xué)生的體會“兩支鉛筆都會動”，可能并不一定是指鉛筆尖的地方會動，兩支鉛筆之間的距離會動，而更多可能是說用鉛筆畫圓時，鉛筆拿在手里不好控制，也即學(xué)生通過參與教師設(shè)計的活動，并沒有明確地體會到畫圓時需要“定點(diǎn)”和“定長”。與其讓學(xué)生嘗試偏離認(rèn)知目標(biāo)的失敗，不如順應(yīng)學(xué)生的已有經(jīng)驗（課前已經(jīng)準(zhǔn)備圓規(guī)，不少學(xué)生知道可以用圓規(guī)畫圓），讓他們嘗試用圓規(guī)畫圓，再交流圓規(guī)為什么這樣設(shè)計，怎樣才能畫好一個圓等。如此，會更符合學(xué)生現(xiàn)實(shí)的認(rèn)知需求，也更便于達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。
在“圓的認(rèn)識”教學(xué)即將結(jié)束時，教師提出了如下的問題：圓和以前學(xué)過的正三角形、正方形等多邊形相比，有什么相同和不同？（如圖5）學(xué)生通過觀察注意到圓是一條由曲線圍成的圖形，而其他多邊形都是由線段圍成的；圓沒有角，而其他多邊形都是有角的。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生想象：如果多邊形的邊數(shù)越來越多，那么你能想到什么？學(xué)生積極思考，但是無法想出什么結(jié)果來。于是，教師利用課件演示圖6，同時介紹：當(dāng)正多邊形的邊數(shù)越來越多時，多邊形就越來越接近于圓。學(xué)生睜大了眼睛，表現(xiàn)出很好奇的樣子。
在進(jìn)一步認(rèn)識圓時，引導(dǎo)學(xué)生比較圓與以前學(xué)過的多邊形有什么聯(lián)系和區(qū)別，不僅必要，而且可以提前至探究圓的特征時就讓學(xué)生觀察和比較，使他們能夠感悟圓是一種曲線圍成的平面圖形，并且能基于平面圖形的整體知識結(jié)構(gòu)，主動聯(lián)想探究平面圖形特征的經(jīng)驗來探究圓的特征。但是，讓學(xué)生思考“如果多邊形的邊數(shù)越來越多，能想到什么”，就顯得有點(diǎn)玄乎了。學(xué)生缺乏極限的知識經(jīng)驗，只能憑借直覺去想象，即便想象力十分豐富，恐怕也不敢將多邊形和圓聯(lián)系在一起。由于超越學(xué)生的現(xiàn)實(shí)認(rèn)知水平，原本孕伏的數(shù)學(xué)思想變成了無意義的告知。這樣的教學(xué)，似乎是為了給聽課教師“欣賞”的。
凸顯學(xué)生學(xué)習(xí)的過程體驗
《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在闡述課程內(nèi)容時指出：數(shù)學(xué)課程內(nèi)容“不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括結(jié)果的形成過程和蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法”，因此，“課程內(nèi)容的組織要重視過程，處理好過程與結(jié)果的關(guān)系”。在闡述教學(xué)活動時指出：“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程”，“學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程”。這些理念有助于教師改變固有的“重結(jié)果輕過程”的教學(xué)目標(biāo)取向，充分展開數(shù)學(xué)知識發(fā)生、形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程?！皥D形的認(rèn)識”教學(xué)更需要學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗、猜測、計算、推理、驗證等活動，在活動中形成對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，積累相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。
教學(xué)“平行四邊形的認(rèn)識”時，教師首先引導(dǎo)學(xué)生觀察生活中含有平行四邊形面的物體，引導(dǎo)學(xué)生舍去具體的背景抽象出平行四邊形，借助具體的圖形初步認(rèn)識平行四邊形的概念。在此基礎(chǔ)上，教師組織學(xué)生開展了多種形式的“制作”平行四邊形的活動：首先讓學(xué)生在格子圖中畫出平行四邊形，學(xué)生在畫圖的過程中借助方格中的邊線，清晰地認(rèn)識到平行四邊形的對邊互相平行。其次讓學(xué)生用小棒擺平行四邊形，學(xué)生選擇長短不同的小棒擺成平行四邊形，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較，發(fā)現(xiàn)平行四邊形的兩組對邊分別相等。再次讓學(xué)生用長方形卡紙擺放出不同的平行四邊形（如圖7）。通過卡紙擺放位置的變化，讓學(xué)生體會平行四邊形的方向可能不同；通過卡紙寬度的變化，讓學(xué)生體會平行四邊形的寬窄可能不同。
最后，教師還讓學(xué)生用兩個完全相同的三角形拼成平行四邊形，體會平行四邊形對角分別相等。
上述活動的設(shè)計由易到難，逐步推進(jìn)。每個活動都有明確的教學(xué)目標(biāo)，不是為了活動而活動。在方格圖上畫平行四邊形是學(xué)生在初步認(rèn)識平行四邊形時就經(jīng)歷過的活動，在畫的過程中有助于學(xué)生直觀地認(rèn)識平行四邊形對邊互相平行；用小棒擺平行四邊形則借助小棒的具體長度認(rèn)識平行四邊形的對邊分別相等。畫和擺相對容易，聚焦平行四邊形邊的特征。用長方形卡紙擺2次，形成大小、方向不同的平行四邊形，有助于學(xué)生豐富對平行四邊形外延的認(rèn)識。這對于平行四邊形概念的建立尤為重要。而最后一個拼三角形的活動則著眼于平行四邊形角的特征，這對學(xué)生而言是比較難發(fā)現(xiàn)的。這一活動的設(shè)計可能需要進(jìn)一步推敲，因為學(xué)生尚不清楚“對邊相等的四邊形就是平行四邊形”，因此無法確定兩個完全相同的三角形能拼成平行四邊形。可以作些微調(diào)，將一張平行四邊形紙片沿對角線剪成兩個三角形，進(jìn)而通過重疊發(fā)現(xiàn)這兩個三角形完全相同，從而發(fā)現(xiàn)平行四邊形的對角相等。這樣更合乎邏輯。盡管如此，教師的教學(xué)重視讓學(xué)生經(jīng)歷豐富的學(xué)習(xí)活動，形成豐富的過程體驗，這對他們理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)、發(fā)展數(shù)學(xué)思維都是十分必要的。正如夸美紐斯所說，一切知識都是從感官開始的，要打開學(xué)生的多種感覺器官，手腦并用，促進(jìn)思維活動。
貫穿增強(qiáng)空間觀念的主線
認(rèn)識圖形是學(xué)生通過實(shí)踐和操作活動探索周圍世界的活動。學(xué)生認(rèn)識圖形的過程必然伴隨著空間觀念的發(fā)展。空間觀念主要是指“根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動和變化；依據(jù)語言描述畫出圖形等”。在認(rèn)識圖形的教學(xué)過程中，需要重視引導(dǎo)學(xué)生開展抽象、想象、描述等數(shù)學(xué)活動，從而逐步增強(qiáng)空間觀念。
教學(xué)“正方體的表面展開圖”時，教師精心設(shè)計了實(shí)物操作、課件演示等活動，引導(dǎo)學(xué)生展開充分的觀察和想象。教師首先出示正方體的盒子，引導(dǎo)學(xué)生回憶、描述正方體的特征，引出需要研究的問題：如何將盒子的面展開？首先演示打開盒子的前面，引導(dǎo)學(xué)生觀察剪了幾條棱，展開了哪個面。繼而引導(dǎo)學(xué)生想象：還可以展開哪個面？如果沿著不同的棱剪開，展開的面會有什么不同？這一基于實(shí)物的觀察和想象是學(xué)生自主研究正方體表面展開圖的基礎(chǔ)。在此基礎(chǔ)上，教師借助課件演示完整地將一個正方體表面展開的過程，使學(xué)生初步經(jīng)歷將三維物體變化為二維圖形的過程。這一過程既需要考慮原來物體中每個面的形狀，還需要考慮幾個面的相互位置關(guān)系，比“觀察物體”的要求更高。之后，教師讓學(xué)生自己動手，想辦法剪一個正方體的展開圖。學(xué)生先想再剪，通過剪來驗證想的結(jié)果，在三維立體和二維平面之間實(shí)現(xiàn)了溝通和聯(lián)系。在學(xué)生初步經(jīng)歷將正方體表面展開的過程，通過交流體會展開圖的形狀是多樣的之后，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生嘗試還可能有哪些類型的展開圖。學(xué)生先想再畫，并用磁力片圍一圍加以驗證。這一開放的活動任務(wù)給學(xué)生提供了放飛想象的空間，學(xué)生邊觀察邊想象，邊猜測邊驗證，空間觀念在這一過程中得到了發(fā)展。上述教學(xué)可見，增強(qiáng)空間觀念需要給學(xué)生提供豐富的學(xué)習(xí)材料，引導(dǎo)學(xué)生多種感官參與操作活動，并對學(xué)生的想象加以指導(dǎo)。如果缺失對學(xué)生操作和想象的方法指導(dǎo)，學(xué)生空間觀念的發(fā)展將成為無源之水。
教學(xué)“立體圖形的認(rèn)識總復(fù)習(xí)”時，教師設(shè)計了用“三視圖”、“表面展開圖”、“從重要的線想起”、“圖形的運(yùn)動”等不同的方式描述和想象立體圖形，從多種角度幫助學(xué)生進(jìn)一步深化對立體圖形特征的認(rèn)識，溝通相關(guān)圖形知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)展空間觀念。例如，“從重要的線想起”的環(huán)節(jié)，教師出示了一些線段，引導(dǎo)學(xué)生想象出立體圖形，并猜一猜可能是怎樣的物體（如圖8）。
這就從線想象出可能形成的面，進(jìn)而想象出可能圍成的體，既凸顯了相關(guān)立體圖形的關(guān)鍵要素，又溝通了平面與立體的內(nèi)在聯(lián)系。
而在“圖形的運(yùn)動”環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生思考如何用一個圓面形成圓柱，如何用長方形、正方形來形成長方體和正方體，通過學(xué)生想象和動畫演示，進(jìn)一步理解了長方體、正方體和圓柱的特征，體會它們和圓錐的不同，因此都叫做“直柱體”。在此基礎(chǔ)上，教師又引導(dǎo)學(xué)生想象長方形如何旋轉(zhuǎn)成一個圓柱，直角三角形如何旋轉(zhuǎn)形成一個圓錐。這一想象和觀察的過程又加深了對圓柱和圓錐作為旋轉(zhuǎn)體的認(rèn)識。上述任務(wù)的設(shè)計都從圖形運(yùn)動的角度豐富了對立體圖形的認(rèn)識，有助于學(xué)生進(jìn)一步理解立體圖形的特征。
最后，教師還設(shè)計了通過觀察物體某一個面的形狀猜可能是什么物體的游戲。例如，給出從正面看到一個正方形的信息，讓學(xué)生判斷物體的形狀。學(xué)生猜測可能是有兩個面是正方形的長方體，并通過動畫將長方體的長縮短成為正方體。從圖形運(yùn)動的角度實(shí)現(xiàn)了長方體和正方體的溝通。也有的學(xué)生猜測是底面直徑和高相等的圓柱，這就又溝通了長方體、正方體和圓柱之間的聯(lián)系。
上述教學(xué)給我們的最大啟示在于，圖形特征的認(rèn)識或復(fù)習(xí)不僅可以通過靜態(tài)的講解和介紹，而且可以選擇多樣的角度，以豐富的基于對圖形的觀察、想象和運(yùn)動等方式，幫助學(xué)生認(rèn)識或深化理解圖形的特征，發(fā)展空間觀念。
綜上所述，小學(xué)階段“圖形的認(rèn)識”教學(xué)需要準(zhǔn)確把握《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的內(nèi)容和目標(biāo)要求，深入理解教材的編寫意圖，遵循小學(xué)生認(rèn)識圖形的規(guī)律，重視引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷圖形抽象、特征分析和概括的過程，積累探索和認(rèn)識圖形特征的經(jīng)驗，發(fā)展空間觀念。在教學(xué)設(shè)計時還需要注意選擇的概念反例要自然合理，在建立直接經(jīng)驗的基礎(chǔ)上發(fā)展推理能力，切實(shí)引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)過程和探究活動進(jìn)行回顧反思，等等。
（內(nèi)容節(jié)選自《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》下半月刊2018年第7-8期“教研視窗欄目）。
