現實生活當中，經常有人會將人類和螞蟻做對比，甚至認為螞蟻屬于一種二維生物。這是因為螞蟻的視力很弱，基本是依靠氣味和觸覺判斷方位的，所以螞蟻眼中的世界是二維的，由簡單的點和線構成。但是我們看到的螞蟻明顯是三維的，起碼它們并不是一張紙。針對這類疑惑，科學家們試圖使用幾何讓我們理解各個維度之間的區(qū)別，因此特殊的模型出現了，它們就是莫比烏斯環(huán)和克萊因瓶。
對于莫比烏斯環(huán)，大家肯定都不陌生，畢竟這幾年“莫比烏斯環(huán)狀戒指”算得上是熱賣的首飾之一，人們認為它能代表永恒、無限的愛情。它的制作方法很簡單，我們對一張A4紙進行裁剪，剪出一張細長的紙條，將它兩頭抓住扭轉180°，再粘在一起，一個簡易的莫比烏斯環(huán)就做好了。可是另一個模型克萊因瓶，卻無法被造出，只能存在于電腦程序建模當中，這又是為什么呢？原來是因為它并不屬于我們這個三維世界，而是來源于更高的四維空間。
探究莫比烏斯環(huán)和克萊因瓶的奧秘之前，我們需要先了解一下它們的來源。其實最初它們都源于數學當中的幾何學，現在已經變成了幾何學的重要分支，改頭換面取了個新名字叫做“拓撲學”。
這門學科最早發(fā)展于19世紀，起源則要往前追溯一些，具體可以到18世紀。主要用于研究幾何模型或者空間學的，特殊之處在于拓撲圖形的性質，就是不論你如何將它彎曲、縮小或者變形它都能保持不變，因此還得了一個別稱叫“橡皮幾何學”。
拓撲學研究的圖形會使人感到十分費解，人們不能理解為什么要研究這些奇怪的圖形。這里要解釋一下，在我們的慣性思維當中，一切看到的圖形都是在歐幾里得幾何定義之下的，是一種合乎“正?！钡哪?/span>。
但是拓撲學則最大程度地跳出了這一定義，幾何圖形或者模型在這里有著更大的自由度，因此它們看起來奇形怪狀的甚至說更加的抽象，與我們看到的歐幾里得幾何定義下的世界完全不同。因此可以說拓撲學是屬于純粹思維邏輯領域的學說，大家就不要以慣性的思維去看待這些圖形有沒有意義，這是一個思維誤區(qū)。
綜合拓撲學的發(fā)展以及相關定義來看，這門學科其實更像是一種思維游戲，絕大多數時間需要依靠大家自行發(fā)揮想象力，如果你只是用慣性思維進行看待，那么確實就是一個非常無厘頭的幾何模型。但是如果大家閉上眼睛進行想象，會發(fā)現它不同于傳統數學，有精準的數字或者概念規(guī)定，因此拓撲學在現實中的應用其實很少，它更多時候發(fā)生在思維層面當中。
下文當中要介紹的莫比烏斯環(huán)和克萊因瓶就是拓撲學的典型研究對象，所以希望大家在觀察這兩個圖形的時候，跳脫出直觀世界的限制，不要將重點放在爭論它到底有沒有意義，或者合不合理。
莫比烏斯環(huán)也可以叫莫比烏斯帶，它是1858年由德國數學家莫比烏斯和約翰·李斯丁共同發(fā)現的。它不同于普通紙帶有兩個面，它只有一個面，其邊界由一條閉合曲線組成。假如將一只螞蟻放在普通的紙條上，螞蟻想到達另一面，肯定需要跨越紙面的“邊界”，但是在莫比烏斯環(huán)之上“邊界”神奇地消失了，螞蟻可以不用跨越任何邊緣地帶就抵達另一面，甚至是回到起點。
莫比烏斯環(huán)的制作比較簡單，所以這些年來常常出現在大眾視野當中。但是細分之下它還能分為兩種不同的類型，這是由大家扭轉紙帶的方向決定的，向左扭動則得到左旋莫比烏斯環(huán)，向右則得到右旋的，不知道商家在制作戒指時會不會注意到這一特點，可以以此來區(qū)分男戒和女戒，畢竟剛好與男左女右對應了。
很多人會覺得不就是簡單的扭動了一下，說白了它還是個紙條而已，那么我們不如來看看莫比烏斯環(huán)和普通環(huán)圈之間的區(qū)別。首先，我們先使用裁剪的方式，看看它們會有什么不同。將普通紙環(huán)沿著中線剪開，那么你就會得到一個與原來紙環(huán)周長相等但是寬度更窄的環(huán)。但是如果是將莫比烏斯環(huán)沿著線剪開，你得到的紙環(huán)周長是原來紙環(huán)的一倍，大家有興趣可以剪來試試看。
如果在莫比烏斯圈上劃上兩條等距離線再進行剪裁，那么你不僅能得到一個比原圈周長長一倍、比原圈寬度窄三分之二的普通環(huán)圈，同時還能在其中心部位再得到一個單獨的、比原圈寬度窄三分之二，且周長與原圈等長的“窄”莫比烏斯圈。
可能會有人疑惑這種剪紙實驗確實能證明它與普通的環(huán)圈不同，可是除此之外還有什么用呢？通過上述的裁剪結果可以看出，我們在三維世界當中對它剪裁，竟然是無法將它還原的，而是會剪出新的樣子，這一部分呈現出的是“非三維”的狀態(tài)，我們通過外力也無法將其改變。因此可以得出莫比烏斯環(huán)實際上是一種非三維的物體，我們能夠將它制作出來完全是因為在這之上套上了兩個三維坐標系。
充分了解了莫比烏斯環(huán)之后，我們就可以來看看它的升級版“克萊因瓶”了。為什么這么說呢，因為數學家已經證明了這兩種模型之間是有聯系的，在我國數學專家談祥柏先生的著作《數學廣角鏡》當中就明確指出其實克萊因瓶是由兩個莫比烏斯環(huán)組合而成的。
克萊因瓶是數學家菲利克斯·克萊因在1882年時發(fā)現的，對比上文莫比烏斯環(huán)的誕生時間，克萊因瓶要更年輕一些。這個瓶子同樣也沒有邊界，整個表面都是封閉的曲面。大家可能不好想象封閉曲面，其實球體上的曲面就是封閉曲面，假如有人問你地球有邊界嗎？你一定會很糾結，感覺上是有的，但是以球面來說是沒有的。這類無定向性的平面，并沒有內部和外部的區(qū)別。
這個瓶子看起來沒有瓶底，瓶頸則被拉長了，看起來是穿過了瓶壁與瓶底連接在了一起，但是如果在電腦建模當中它是沒有穿過的。假如我們將莫比烏斯環(huán)上的螞蟻放在克萊因瓶上，那么它能夠穿過瓶頸，由瓶子的外部爬到瓶子的里面。不過我們都知道克萊因瓶不分里外，這種比喻只是便于大家理解。
目前市面上一些商家出售的克萊因瓶，都能明顯地看到瓶頸伸入了瓶壁才到達底部。因此按照克萊因瓶的定義來說，這些都是虛假制品，真正的克萊因瓶是無法被制造的，這又是為什么呢？
先來看看能被制造出的莫比烏斯環(huán)的性質，前文提到了它屬于非三維的物體，但是用來制作它的紙條本質上是屬于二維的。大家小時候看的動畫片大部分也是二維的，那上面的人物就像紙片一樣單薄，因此我們也叫它們“紙片人”。所以莫比烏斯環(huán)其實是使用二維變換，證明了三維的一些理論。
可是克萊因瓶本質上已經屬于四維空間了，因此我們在三維空間當中制作出的克萊因瓶看起來不倫不類，完全與它的本質不符?？巳R因瓶連續(xù)性的特質正是導致它無法被制成的根本原因，實際制作當中，這個瓶頸與瓶壁的面勢必會產生相交，導致連續(xù)性發(fā)生中斷。所以我們看到的商家出售的那些克萊因瓶，早已失去了連續(xù)性和單側性，這種瓶子完全不符合克萊因瓶的理論。
所以，三維世界中瓶頸和瓶壁相交的那個點，是它們在三維坐標系當中共用了一個位置，如果放進四維空間，就不會有相交的表現。大家可以試著想象將那個位置提起來，繞過瓶壁。就像最初數學家們?yōu)榱朔奖阄覀兝镁€條理解莫比烏斯環(huán)舉的例子，如果在紙上畫一個8，那么它中間的位置必然是相交的。
但是使用拓撲學，用一個橡皮圈繞著一個8的形狀，那一位置就沒有相交，你可以輕松地拿起位于上端的部分。莫比烏斯環(huán)從簡單的二維跨越到了三維，正是利用這這種方法。
雖然莫比烏斯環(huán)本質上也不是三維物體，但是起碼它有一部分是屬于三維的，因此我們能夠按照其定義將模型制作出來。真正的克萊因瓶需要放置在四維空間當中，才能體現出連續(xù)性閉合曲面的特質。
人類的想象力其實已經十分豐富了，我們從來不拘于如今的所見所想，因此我們才一直尋找外星的生命，探尋多維的宇宙。多維是否存在的問題愛因斯坦在一個世紀前的相對論當中就像我們提出了，“物質告訴時空如何彎曲，時空告訴物質如何運動”，在這一理論當中時間和空間是交叉的，并不是傳統意義上的平行線。如果大家有興趣，可以去了解一下廣義相對論當中所描述的彎曲的時空，一定會因此打開新世界的大門。
誠然，多維度空間一定是存在的，不過其模樣實在是超乎了我們的認知范圍，這就類似于螞蟻看人類活動，它們完全不能理解我們修建的高樓大廈到底是什么，而人類對于高維空間的理解也很難跳脫出現有思維的限制。我們在看拓撲模型時都感覺暈頭轉向，更不用說描述高維度空間了。
《三體》的結局當中，宇宙中的歌者文明向太陽系扔了一片二向箔，便輕松地把我們本是三維立體的太陽系變成了二維圖片，直接把其中的所有球體按壓成了一張紙，這就是所謂的降維打擊。
所以我們無法制造出克萊因瓶的原因，其實和降維打擊有些類似，大概就是四維空間對三維空間的限制吧！如果我們無法具象建成四維空間的模型，去形象理解四維空間，那么克萊因瓶在我們眼中永遠都是一個長相奇怪的“瓶子”。
