數(shù)學(xué)通識(shí)課課程總結(jié)
導(dǎo)論：畢達(dá)哥拉斯是將數(shù)學(xué)從經(jīng)驗(yàn)上升到系統(tǒng)學(xué)科的第一人。畢達(dá)哥拉斯也否認(rèn)了無(wú)理數(shù)的存在，作為當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)體系教主般的人物，他執(zhí)著于維護(hù)體系邏輯的一致性，面多無(wú)理數(shù)的挑釁，他斷然否決其的存在。
模塊一、數(shù)學(xué)的線索
1、勾股定理在西方為什么叫做畢達(dá)哥拉斯定理？
數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的區(qū)別：測(cè)量與邏輯推理——測(cè)量會(huì)出錯(cuò)，推理不會(huì)；用事實(shí)證明與用邏輯證明——數(shù)學(xué)理論必須要證明；科學(xué)結(jié)論相對(duì)性和數(shù)學(xué)結(jié)論相對(duì)性。
2、如何用推理走出認(rèn)知盲區(qū)？
數(shù)學(xué)的預(yù)見(jiàn)性：從數(shù)學(xué)的定理出發(fā)，可以推導(dǎo)出很多真實(shí)現(xiàn)實(shí)世界的推論，從而改變我們對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的看法。
3、數(shù)學(xué)家如何從邏輯出發(fā)想問(wèn)題？
具有數(shù)學(xué)的思維不在于算清小賬，而是善于基于數(shù)學(xué)知識(shí)，使用邏輯發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，或者預(yù)見(jiàn)到不得不做的事情。
4、數(shù)學(xué)邊界：從畢達(dá)哥拉斯定理到費(fèi)馬大定理
數(shù)學(xué)有著可疊加的進(jìn)步。希爾伯特第十問(wèn)題通過(guò)數(shù)學(xué)的方法，我們甚至無(wú)法判斷一些問(wèn)題的答案存在與否。但數(shù)學(xué)方法不是解決問(wèn)題的唯一方法。
5、黃金分割，畢達(dá)哥拉斯如何連接數(shù)學(xué)和美學(xué)？
等角螺旋線，黃金分割反映了宇宙本身的一個(gè)數(shù)。
6、數(shù)學(xué)應(yīng)用：華羅庚化繁為簡(jiǎn)的神來(lái)之筆
優(yōu)選法
7、數(shù)列和級(jí)數(shù)：當(dāng)下很重要，但趨勢(shì)更重要
斐波拉契數(shù)列增長(zhǎng)的速率接近于黃金分割比1.618。
8、數(shù)列和級(jí)數(shù)：傳銷騙局的數(shù)學(xué)原理
拓展至生活中任何一件事情，不同的r(后一個(gè)元素與前一個(gè)元素的比值)會(huì)導(dǎo)致不同的增長(zhǎng)結(jié)果。
9、數(shù)列和級(jí)數(shù)：藏在利息和月供里的秘密
債券交易的核心就是數(shù)學(xué)上的復(fù)利增長(zhǎng)原理。買國(guó)債時(shí)，加息意味著同樣面值的債券實(shí)際價(jià)值的貶值。
模塊二、數(shù)的概念
10、雞兔同籠：方程這個(gè)數(shù)學(xué)工具為什么很強(qiáng)大？
學(xué)會(huì)把具體問(wèn)題抽象成模型，才能解決更多更難的問(wèn)題。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)很重要的一點(diǎn)在于將自然語(yǔ)言描述的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述，然后用數(shù)學(xué)工具處理。
11、三次方程：數(shù)學(xué)史上著名的發(fā)明權(quán)之爭(zhēng)
最重要的是學(xué)習(xí)概念，以及概念之間的聯(lián)系，然后能夠把現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，接下來(lái)的解決，工具是很多的。（我的印象里，技巧大肆盛行之時(shí)是高中數(shù)學(xué)，經(jīng)常被此打擊的痛不欲生，然后班級(jí)里面幾位數(shù)學(xué)大佬呼風(fēng)喚雨，到了大學(xué)之后，反而少了很多技巧性的內(nèi)容，大多都是簡(jiǎn)單通用的方法，也開始設(shè)計(jì)Mathematic等工具的使用）
12、虛數(shù)：虛構(gòu)這個(gè)工具有什么用？
復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)在現(xiàn)實(shí)世界里并不存在，但是建立在不存在基礎(chǔ)上的工具，卻能解決實(shí)際問(wèn)題。數(shù)字的拓展歷史，也是人類認(rèn)知升級(jí)的過(guò)程。
13、無(wú)窮：我們?yōu)槭裁措y以理解無(wú)限的世界？
無(wú)窮大不是一個(gè)數(shù)，而是一個(gè)動(dòng)態(tài)的，反映了一種無(wú)限增加的趨勢(shì)。在無(wú)窮大的世界里，部分可以和整體等價(jià)。要優(yōu)先考慮量級(jí)的事情，而不是撿芝麻的小事。
14、無(wú)窮?。喝绾握f(shuō)服杠精芝諾？
加入每一份時(shí)間都存在一個(gè)最小的、具體的長(zhǎng)度，那么這樣的無(wú)限份加和就是無(wú)限大，但在芝諾神龜?shù)墓适轮?，?yīng)當(dāng)定義一個(gè)無(wú)窮小的量，使得此處的級(jí)數(shù)為一個(gè)有限的數(shù)值。
15、無(wú)窮?。号ｎD和貝克萊在爭(zhēng)什么？
微積分的重大意義子在于讓人類的認(rèn)知從靜態(tài)或者宏觀變化進(jìn)入到把握瞬間變化和加速變化。
16、無(wú)窮?。河脛?dòng)態(tài)和極限的眼光看世界
任何封閉體系內(nèi)遇到的矛盾在這個(gè)體系內(nèi)是無(wú)法彌補(bǔ)的。定量和逆向思維是魏爾斯特拉斯定義無(wú)窮小時(shí)應(yīng)用的思維。不要害怕提出傻問(wèn)題，符合邏輯的傻問(wèn)題常常是認(rèn)知升級(jí)的開始。
17、有什么比無(wú)窮大更大，比無(wú)窮小更小？
無(wú)窮大和無(wú)窮小之間比較大小，比較的是變化的趨勢(shì)。高階，低階。
18、數(shù)學(xué)帶給我們的啟示
取得小成就需要靠朋友幫忙，但要取得驚人的成就，就需要一個(gè)理性的對(duì)手。
模塊三、幾何學(xué)
19、幾何學(xué)，為什么是數(shù)學(xué)中最古老的分支？
幾何學(xué)早期的發(fā)展階段，從朦朧的感性認(rèn)識(shí)上升到量化的感性認(rèn)識(shí)；美索不達(dá)米亞人發(fā)明了角度量化的度量。用書記錄發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。
20、公理體系：幾何的系統(tǒng)理論從何而來(lái)?
由任意一點(diǎn)到另外任意一點(diǎn)可以畫直線；
一條有限直線可以繼續(xù)延長(zhǎng)；
以任意點(diǎn)為圓心，以任意的距離可以畫圓；
凡直角都彼此相等；
過(guò)直線外的一個(gè)點(diǎn)，可以做一條而且僅可以做一條該直線的平行線（平面上永不相交的兩條線）；
整個(gè)幾何學(xué)的基礎(chǔ)是十條十分簡(jiǎn)單的公理，它的發(fā)展依靠對(duì)新定理的發(fā)現(xiàn)和通過(guò)邏輯推理證明這些定理。
21、非歐幾何：相對(duì)論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是什么？
羅氏幾何：羅巴切夫斯基：過(guò)直線外一點(diǎn)可以做該直線的任意多條平行線，空間變成了馬鞍形（雙曲面）。
黎曼幾何：黎曼：過(guò)直線外一點(diǎn)可以做該直線的0條平行線，空間變成了橢圓球。
愛(ài)因斯坦的相對(duì)論采用了黎曼幾何為分析工具，學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)鍵要學(xué)會(huì)在什么情況下，知道使用什么工具。
作為人，基本的設(shè)定沒(méi)問(wèn)題，活出自己的精彩是對(duì)社會(huì)的貢獻(xiàn)。
22、解析幾何：用代數(shù)的方法解決更難的幾何問(wèn)題
學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)，不是做很多超出自己理解能力的難題，而是把自己有能力理解的知識(shí)融會(huì)貫通起來(lái)。
23、為什么幾何能為法律提供理論基礎(chǔ)？
通過(guò)公理化系統(tǒng)建立起一個(gè)知識(shí)體系，體現(xiàn)出人類創(chuàng)造思想的最高水平。
西塞羅（奠定了羅馬法中自然法精神）曾說(shuō)：“法律是自然的力量，是明理之人的智慧和理性，也是衡量合法與非法的尺度?！?div style="height:15px;">
從基本的假設(shè)出發(fā)，采用邏輯客觀的推導(dǎo)出結(jié)論。
24、數(shù)學(xué)的極限和生活里的極限是一回事嗎？
數(shù)學(xué)上的極限是絕對(duì)的、明確的，生活中卻未必。生活中的極限往往指的是上下界。
各種計(jì)算級(jí)數(shù)的方法，能夠使用的前提是最終加起來(lái)是一個(gè)有限的數(shù)，如果是無(wú)窮大，那些方法算出來(lái)的結(jié)果沒(méi)有意義。
模塊四、代數(shù)學(xué)
25、函數(shù)：從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，從個(gè)別到趨勢(shì)
函數(shù)的一個(gè)重要意義在于我們從對(duì)具體事物、具體數(shù)的關(guān)注，變成了對(duì)趨勢(shì)的關(guān)注，并且可以準(zhǔn)確度量趨勢(shì)變化帶來(lái)的差異。從常數(shù)思維到變量思維再到函數(shù)思維。
26、函數(shù)：如何通過(guò)公式理解因果關(guān)系？
數(shù)學(xué)上的因果關(guān)系可以是雙向的。由多個(gè)變量決定函數(shù)值的函數(shù)，每個(gè)變量和函數(shù)值有相關(guān)性，但他們沒(méi)有決定性，也沒(méi)有必然的因果關(guān)系。
27、向量代數(shù)：方向比努力更重要是雞湯嗎？
向量的方向性，也提示我們?nèi)绻裁词虑槎枷胱觯α坎粌H分散，而且會(huì)彼此產(chǎn)生矛盾。即使沒(méi)有矛盾，用力方向不一致，效率也低。
28、向量代數(shù)：如何通過(guò)向量夾角理解不同維度？
當(dāng)兩個(gè)向量在同樣的維度上的分量都比較大時(shí)，他們的夾角就很小，反之，當(dāng)兩個(gè)向量在不同維度上的分量比較大時(shí)，就近乎正交。利用向量對(duì)文本分類。書寫簡(jiǎn)歷時(shí)畫蛇添足的內(nèi)容實(shí)際上會(huì)削弱求職者的競(jìng)爭(zhēng)力，在目標(biāo)職位看中的維度上用心，而其他維度不用在意。
29、線性代數(shù)：矩陣到底怎么用？
矩陣產(chǎn)生的原因是向量的擴(kuò)展。矩陣和向量相乘，是批量處理解決問(wèn)題的思路。而將單個(gè)計(jì)算編程大批量處理正是我們?cè)谛畔r(shí)代要有的思維。打包思維。
模塊五、微積分
30、微分：如何從宏觀變化了解微觀趨勢(shì)？
導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是對(duì)變化快慢的準(zhǔn)確量化量度。在限制要素中做選擇時(shí)，很多時(shí)候人總想全方位地提高自己，但是精力和資源有限，在某一時(shí)刻可能只能向一個(gè)方向努力，而我們應(yīng)該選擇增長(zhǎng)速度最快的方向。任何時(shí)候算出梯度，沿著最陡但是收益最大的路徑前進(jìn)。
微積分帶來(lái)的一個(gè)思維提升是練習(xí)從宏觀趨勢(shì)中把握微觀的變化，讓我們認(rèn)清每一步的方向。
31、微分：搞懂奇點(diǎn)，理解連續(xù)性
導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)上更本質(zhì)的意義在于它是對(duì)連續(xù)性的一種測(cè)度，光滑、連續(xù)的導(dǎo)數(shù)曲線，可以成為判斷未來(lái)走勢(shì)的依據(jù)。導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)很好地反應(yīng)了總量變化的趨勢(shì)，正因如此，向前看的人通常更喜歡看一個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，而不是盯著總量。我們追求的目標(biāo)應(yīng)該是拿下光滑的變化趨勢(shì)，而不是到處是奇點(diǎn)和不可導(dǎo)的尖點(diǎn)的情況。
32、積分：如何從微觀趨勢(shì)了解宏觀變化？
積分思想的本質(zhì)是從動(dòng)態(tài)變化來(lái)看累積效應(yīng)。從微觀上每一時(shí)刻動(dòng)態(tài)的變化理解宏觀上積累的效果。
33、用變化的眼光看最大值和最小值。
牛頓的偉大之處在于不像前人一樣，將最優(yōu)化問(wèn)題看成是若干數(shù)量比較大小的問(wèn)題，而是看成研究函數(shù)動(dòng)態(tài)變化趨勢(shì)的問(wèn)題，尋找函數(shù)的拐點(diǎn)。人類對(duì)事物的理解從靜態(tài)變成動(dòng)態(tài)了。
34、微積分到底是誰(shuí)發(fā)明的？
牛頓是物理學(xué)家，他發(fā)明的微積分有很多自然科學(xué)的色彩，而萊布尼茨是哲學(xué)家，從萊布尼茨發(fā)明微積分的過(guò)程，可以看出自然科學(xué)可以給數(shù)學(xué)啟發(fā)，但并不是完全必須的，數(shù)學(xué)暫時(shí)離開了自然科學(xué)，也能發(fā)展，只要從正確的前提出發(fā)，根據(jù)邏輯就能構(gòu)建起一個(gè)體系的大廈。
模塊六、概率、統(tǒng)計(jì)、博弈論
35、概率簡(jiǎn)史：一門來(lái)自賭徒的學(xué)問(wèn)
概率論是揭示不確定性世界觀規(guī)律的數(shù)學(xué)分支。
36、伯努利試驗(yàn)：到底如何理解隨機(jī)性？
有關(guān)不確定性的規(guī)律，只有在大量隨機(jī)試驗(yàn)時(shí)才顯現(xiàn)出來(lái)，當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)不足，它則出現(xiàn)偶然性和隨機(jī)性。
越是小概率事件，如果想要確保它發(fā)生，需要試驗(yàn)的次數(shù)比理想的次數(shù)越要多得多。提高單次成功率遠(yuǎn)比多做實(shí)驗(yàn)更重要。概率論證明，凡事做好充足的準(zhǔn)備，爭(zhēng)取一次性成功，這遠(yuǎn)比不斷嘗試小概率事件靠譜得多。
（在評(píng)論區(qū)看到，有人說(shuō)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有用的想法，你要多去嘗試很多無(wú)用的，我感覺(jué)人生就是這樣，有一些挫折是一定要經(jīng)歷的，即使有前人教導(dǎo)，也還是要自己犯錯(cuò)。）
37、泊松分布：為什么保險(xiǎn)公司的客戶群都很大？
很多人投資總是失敗，判定一件事發(fā)生的可能性總是有很大的誤差，一個(gè)重要的原因就是靠直覺(jué)和有嚴(yán)重漏洞的邏輯，而不是靠嚴(yán)密的數(shù)學(xué)邏輯和推導(dǎo)。
由于隨機(jī)性的作用，我們?cè)跍?zhǔn)備資源時(shí)，達(dá)到平均值是不夠的，需要多準(zhǔn)備一些冗余量。
池子越大，越能抵消隨機(jī)性帶來(lái)的誤差。
38、數(shù)據(jù)資產(chǎn)：你的數(shù)據(jù)到底屬于誰(shuí)，又該怎么用？
區(qū)塊鏈能防止數(shù)據(jù)無(wú)成本的拷貝復(fù)制，世界上任何能拷貝的東西都沒(méi)有價(jià)值，而越是稀缺的越有價(jià)值。將數(shù)據(jù)資產(chǎn)化，進(jìn)而資本化，對(duì)數(shù)據(jù)的所有者、管理者和使用者，都會(huì)產(chǎn)生巨大的利益。
39、高斯分布：大概率事件意味著什么？
風(fēng)險(xiǎn)往往存在于經(jīng)常被我們視而不見(jiàn)的大概率事件中。股市的奉獻(xiàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)高出大部分人的想象；任何一種投資都有標(biāo)準(zhǔn)差（風(fēng)險(xiǎn)），因此對(duì)比投資回報(bào)時(shí)要把它考慮進(jìn)去，不能只考慮回報(bào)不考慮風(fēng)險(xiǎn)。
由于偶然性的存在，如果只有很小的均值差異。那可能說(shuō)明不了什么問(wèn)題。
40、條件概率和貝葉斯公式：機(jī)器翻譯是怎么工作的？
條件概率的啟示，盲目學(xué)習(xí)別人的經(jīng)驗(yàn)是沒(méi)有用的，必須搞清楚具體條件，；人們?cè)瓉?lái)認(rèn)為不可能做成的事情，一旦條件具備，就成為了大概率事件。
貝葉斯公式的實(shí)質(zhì)首先在數(shù)學(xué)上條件和結(jié)果可以互換，其次通過(guò)這種互換，可以把一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題變成三個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題。
41、概率公理化：一個(gè)必須補(bǔ)上的理論漏洞
拉普拉斯循環(huán)定義的bug.
42、統(tǒng)計(jì)學(xué)和大數(shù)據(jù)：為什么大多數(shù)企業(yè)用不好數(shù)據(jù)？
雖然今天的數(shù)據(jù)量不再是問(wèn)題，但如何選定可能有關(guān)聯(lián)的變量（霍桑實(shí)驗(yàn)）則體現(xiàn)了人類的智慧。第二個(gè)原因是低估了數(shù)據(jù)的稀疏性所帶來(lái)的副作用。第三是把原因和結(jié)果搞反了。
使用統(tǒng)計(jì)的方法解決問(wèn)題，通常是有章可循的：
設(shè)立研究目標(biāo)。使用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法除了要準(zhǔn)備一個(gè)待證實(shí)的假說(shuō)，還要準(zhǔn)備一個(gè)可對(duì)比的備用假說(shuō)。
設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，選取數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)應(yīng)該方便量化處理。
根據(jù)實(shí)驗(yàn)方案進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和實(shí)驗(yàn)，分析方差。方差衡量了風(fēng)險(xiǎn)。
通過(guò)分析進(jìn)一步了解數(shù)據(jù)，提出新假說(shuō)。
使用研究結(jié)果。
43、古德—圖靈折扣估計(jì)：黑天鵝事件能防范嗎？
數(shù)據(jù)的稀疏性或數(shù)據(jù)量不足的原因是當(dāng)我們要進(jìn)行多個(gè)維度的分析時(shí)，幾個(gè)維度變量的組合可能會(huì)有太多的情況，以至于每一種組合分?jǐn)傁聛?lái)的數(shù)據(jù)量都很小。
解決方法：
古德—圖靈折扣估計(jì)法（主要用以解決一種被稱為零概率的事件）
實(shí)際上是把高頻詞的詞頻打了一個(gè)折扣，多出來(lái)的詞頻分配給了低頻詞，使整個(gè)概率分布的曲線變得更光滑了。齊普夫發(fā)現(xiàn)一個(gè)詞的排位和它詞頻的乘積近乎是一個(gè)常數(shù)（6%）
將小概率事件的概率強(qiáng)制設(shè)定為零，結(jié)果就是遲早會(huì)遇到黑天鵝事件。
插值法
此法的精髓在于相信那些見(jiàn)到次數(shù)比較多的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，如果遇到統(tǒng)計(jì)數(shù)量不足時(shí)，就設(shè)法找一個(gè)可靠的統(tǒng)計(jì)結(jié)果來(lái)近似。
在數(shù)學(xué)和信息論上可以證明，無(wú)論是插值法還是備用法，都比單獨(dú)依靠統(tǒng)計(jì)結(jié)果直接產(chǎn)生概率模型更準(zhǔn)確。
44、零和博弈（鞍點(diǎn)理論）：如何找到雙方的平衡點(diǎn)？
在兩方的博弈中，大家其實(shí)就是在尋找馬鞍點(diǎn)這樣一個(gè)平衡點(diǎn)，因?yàn)榇蠹叶贾廊绻约鹤叱隽似胶恻c(diǎn)，對(duì)方就有辦法反制，使自己的利益受損。
雖然每個(gè)人都希望自己的利益最大化，但是更有意義，更能保證自己利益的是達(dá)成各方面的均衡。在選擇策略時(shí)，不要老考慮對(duì)自己有利的事情，而低估對(duì)手的策略，要多考慮下行風(fēng)險(xiǎn)，要在所有的最小值中，尋找最大值。
45、非零和博弈（納什均衡）：真的存在共贏嗎？
所有的零和博弈都沒(méi)有共贏的可能性，只有平衡的可能性，但是非零和博弈則可能實(shí)現(xiàn)共贏。非零和博弈即雙方的得失加起來(lái)不是零，也不是個(gè)常數(shù)的博弈。雙贏點(diǎn)是大家主觀上想要達(dá)成的結(jié)果，通常是合作性博弈，而納什均衡解決的是非合作型博弈，常常最終是雙輸?shù)慕Y(jié)果。
永遠(yuǎn)不要玩難以達(dá)成雙贏的游戲，因?yàn)槌鰜?lái)混遲早是要還的，人不可能永遠(yuǎn)在零和博弈中占別人的便宜。
智 博弈，現(xiàn)實(shí)中鼓勵(lì)小企業(yè)和后來(lái)者采用搭便車的跟隨策略，讓大企業(yè)投入大量資金研發(fā)新技術(shù)。
做人處事，看的是信用，重復(fù)博弈和冗余信息，正是增加信任最好的方式。做一個(gè)笨人而不是耍小聰明更容易有長(zhǎng)遠(yuǎn)利益。白話文更加繁瑣但是通過(guò)增加冗余性克服了信息傳播中的噪聲。
46、到底該如何有效篩選數(shù)據(jù)？
指定最好的策略，是要考慮到對(duì)方采取每一種策略的概率，而不是簡(jiǎn)單考慮對(duì)方一定會(huì)采取對(duì)自己不利的策略。
大數(shù)據(jù)需要數(shù)據(jù)量大，數(shù)據(jù)具有完備性，非刻意收集的自然數(shù)據(jù)
模塊七、數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)作用
47、數(shù)學(xué)和哲學(xué)：一頭一尾的兩門學(xué)科
笛卡爾作為一名哲學(xué)家回答了兩個(gè)問(wèn)題：人是如何獲得知識(shí)的？人能否通過(guò)自身努力獲得知識(shí)?？拷?jīng)驗(yàn)積累的知識(shí)有兩大問(wèn)題，一是太慢，二是直接經(jīng)驗(yàn)常常是不可靠的。笛卡爾說(shuō)要通過(guò)理性推理，實(shí)現(xiàn)去偽存真。理性主要分為實(shí)證和通過(guò)邏輯推理兩種方式。
萊布尼茨的兩個(gè)哲學(xué)觀點(diǎn)：相對(duì)的因果時(shí)空觀，對(duì)離散的世界的理解。無(wú)用之用，方為大用，一個(gè)人只有在深刻理解了人類知識(shí)的普遍性原理后，才能站在一個(gè)制高點(diǎn)往下俯視。
48、數(shù)學(xué)和自然科學(xué)：數(shù)學(xué)如何改造科學(xué)？
數(shù)學(xué)對(duì)自然科學(xué)的幫助，體現(xiàn)在工具和方法兩方面。從簡(jiǎn)單的觀察上升到理性的分析；從給出原則性結(jié)論到量化的結(jié)論；將自然科學(xué)公式化或者說(shuō)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)描述自然科學(xué)。
49、數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)：為什么邏輯是一切的基礎(chǔ)？
同一律：一個(gè)事物只能是其本。
矛盾律：在事物的某一個(gè)方面，不可能既是A又不是A。強(qiáng)調(diào)四個(gè)同一，同一時(shí)間，同一方面，同意屬性，同一對(duì)象，總之就是獨(dú)一無(wú)二。
排中律：任何事物在明確的條件下，都要有明確的“是”或“非”的判斷，不存在中間狀態(tài)。
充分條件律：任何結(jié)論都要有充足的理由，有果必有因。
50、數(shù)學(xué)和其他學(xué)科：為什么數(shù)學(xué)是更底層的工具？
運(yùn)籌學(xué)是利用圖論、線性代數(shù)等數(shù)學(xué)工具，從整體上改進(jìn)現(xiàn)有系統(tǒng)的效率。大歷史的研究思路是需要用數(shù)學(xué)的思路也就是歸納和演繹的方法，構(gòu)建出一個(gè)能夠自洽的知識(shí)體系。在歷史學(xué)研究中，不強(qiáng)調(diào)所謂的正確性或正統(tǒng)觀點(diǎn)，而強(qiáng)調(diào)邏輯的自洽。任何從客觀出發(fā)，邏輯上能自洽的結(jié)論都是有意義的。
人類知識(shí)底層的相通性，理解方法和邏輯的重要性，這是我們通識(shí)教育的目的。
51、伽羅瓦和古典數(shù)學(xué)難題：難題給我們的啟發(fā)
三點(diǎn)啟示：
絕大多數(shù)知識(shí)體系都不可能做到絕對(duì)的完備性和一致性的統(tǒng)一。也就是說(shuō)，如果我們?cè)跀?shù)學(xué)內(nèi)劃定一個(gè)區(qū)域，這個(gè)區(qū)域里很可能出現(xiàn)僅依靠區(qū)域內(nèi)的知識(shí)無(wú)法解決的難題。
進(jìn)一步體會(huì)工具的作用，工具不同于技巧，工具可以用于解決一整類的問(wèn)題，具備延展性。
最后要跳出圈外，在一個(gè)時(shí)代，某些問(wèn)題之所以顯得很難，是因?yàn)樗鼈兛此茖儆诋?dāng)時(shí)的知識(shí)體系中的問(wèn)題，實(shí)則不是。
52、當(dāng)今的七大千禧數(shù)學(xué)難題
龐加萊猜想：任何一個(gè)單連通的、封閉的三維形體，等價(jià)于一個(gè)三維的球體。
NP問(wèn)題；霍奇猜想；黎曼猜想；楊-米爾斯存在性與質(zhì)量間隙；納斯-斯托克斯存在性與光滑性；貝赫和斯維訥通-戴爾猜想；
53、總結(jié)課
任何數(shù)學(xué)分支，都必須從基本公理去建立自己的理論體系。
數(shù)學(xué)的思維方式：
不要輕易相信沒(méi)有根據(jù)的結(jié)論，一切要從公理出發(fā)，用邏輯得到結(jié)論；
在解決問(wèn)題之前要先搞清楚問(wèn)題，特別是搞清楚問(wèn)題的定義；
各種知識(shí)體系是相通的；
用動(dòng)態(tài)、發(fā)展的眼光看待世界；
54、橢圓曲線加密：比特幣加密的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)
加密的本質(zhì)是數(shù)學(xué)的不對(duì)稱性。比特幣的意義在于證實(shí)了我們可以通過(guò)加密和授權(quán)，兼顧保護(hù)信息不外泄，而且某些得到授權(quán)的人還能使用信息。
55、《成就》
坎貝爾的管理思想和人才培養(yǎng)模式：
強(qiáng)調(diào)在IT企業(yè)里規(guī)范管理的必要性；
強(qiáng)調(diào)IT企業(yè)管理和傳統(tǒng)工業(yè)企業(yè)的差異；
強(qiáng)調(diào)服務(wù)型管理；
強(qiáng)調(diào)管理者自身的提高和工作效率。
以上就是在得到上學(xué)習(xí)的《數(shù)學(xué)通識(shí)50講》的課程的每一節(jié)的重點(diǎn)摘要。通識(shí)教育也稱為博雅教育，更看重的是對(duì)學(xué)習(xí)者知識(shí)體系的建立，思維邏輯的訓(xùn)練，就像本門課程一樣，短短的10個(gè)小時(shí)涵蓋了從小學(xué)到大學(xué)的數(shù)學(xué)幾乎全部的重點(diǎn)內(nèi)容，但即使學(xué)完這門課，我們依舊不能做出很多難題，但是意義不在于此，數(shù)學(xué)的本質(zhì)是什么？數(shù)學(xué)對(duì)我們來(lái)說(shuō)有什么意義？
數(shù)學(xué)是一個(gè)純公理化的體系，只有通過(guò)嚴(yán)格的邏輯演繹，才能證真，這也是它和其它自然科學(xué)最本質(zhì)的區(qū)別。數(shù)學(xué)工具的重要性溢于言表，這其實(shí)很大程度上安慰了我的內(nèi)心。一直以來(lái)我都很佩服那些會(huì)高超解題技巧的人，尤其在高中數(shù)學(xué)，常常被那些“聰明”的同學(xué)使用的解題技巧虐的不行，懷疑自己的智商。
我是一個(gè)再普通不過(guò)的人，數(shù)學(xué)努努力學(xué)得馬馬虎虎，勉強(qiáng)應(yīng)付考試，但卻感覺(jué)自己始終不能領(lǐng)略精髓，我也在和數(shù)學(xué)的抗?fàn)幹忻鞔_了自己不是一個(gè)聰明的人。通過(guò)這門課，我卻感覺(jué)數(shù)學(xué)的精髓也并不在于技巧，而某種程度上在于工具的使用。也對(duì)美國(guó)的數(shù)學(xué)教育方法表示贊同。
關(guān)于數(shù)學(xué)對(duì)真實(shí)世界的種種啟發(fā)意義以及它對(duì)其它學(xué)科的影響，則讓我大開眼界，數(shù)學(xué)原來(lái)不是枯燥無(wú)味的數(shù)字或圖案，而是與我們的生活密切相關(guān)，對(duì)于我這么一個(gè)很看重理論知識(shí)的實(shí)踐應(yīng)用的人來(lái)說(shuō)，它具有了更大的意義。
而同時(shí)也感受到了各個(gè)學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)到一種統(tǒng)一的美，即使數(shù)學(xué)本身的完備性和統(tǒng)一性存在矛盾，但整個(gè)知識(shí)體系卻有其聯(lián)系性，這也讓我驚喜不已，同時(shí)更有動(dòng)力學(xué)習(xí)本專業(yè)其它領(lǐng)域的知識(shí)。
還有一點(diǎn)是關(guān)于數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展，看到了很多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，又是膜拜大神的一天，同時(shí)也被他們的趣事和鮮明的性格特點(diǎn)所吸引，聯(lián)系到我的生活，會(huì)對(duì)那些行為乖張的人多一份理解，誰(shuí)知道他們是不是一個(gè)天才呢？不能做一個(gè)天才，也要努力做一個(gè)對(duì)天才友好讓其自由生長(zhǎng)的環(huán)境吧！
一年以前，我修完了《高等數(shù)學(xué)》，不久前我又學(xué)完了這門通識(shí)課，數(shù)學(xué)的理論學(xué)習(xí)可以說(shuō)在我的生活中暫告一段落，但是數(shù)學(xué)對(duì)我人生的影響，對(duì)我思維的訓(xùn)練不會(huì)停止，我也繼續(xù)帶著數(shù)學(xué)的啟發(fā)前進(jìn)！
