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文/東方文捷

在《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》里“方程“的定義是“含有未知數(shù)的等式”，在《辭?！防镪P(guān)于“方程”定義也是“含有未知數(shù)的等式”。

方程式

（學(xué)術(shù)名詞）

方程式，又稱(chēng)方程，是指含有未知數(shù)的等式。

方程式：含有未知數(shù)的等式叫做方程式。方程式又稱(chēng)方程。

數(shù)學(xué)方程式，是指含有未知數(shù)（x）的等式或不等式組。

數(shù)學(xué)方程式

（基本釋義）

數(shù)學(xué)方程式，指的是含有未知數(shù)（例：x）的等式或不等式組。根據(jù)含有未知數(shù)數(shù)目不同、含有未知數(shù)冪數(shù)不同和含有未知數(shù)數(shù)目和冪數(shù)的不同來(lái)劃分方程式的類(lèi)型。

數(shù)學(xué)方程式 - 基本釋義

數(shù)學(xué)方程式，指的是含有未知數(shù)(x)的等式或不等式組。根據(jù)含有未知數(shù)數(shù)目不同、含有未知數(shù)冪數(shù)不同和含有未知數(shù)數(shù)目和冪數(shù)的不同來(lái)劃分方程式的類(lèi)型。

不等式是不是方程

不等式不是方程，方程的定義：含有未知數(shù)的等式叫做方程.

不等式和方程有什么區(qū)別？

最明顯的區(qū)別就是一個(gè)用不等號(hào)連接兩邊式子，一個(gè)用等號(hào)連接，實(shí)際上可以把方程式看做不等式的一種特殊解法，兩者在求解過(guò)程中都有很多相同之處，比如不等式的大于等于號(hào)，其中求出的解就包含方程等號(hào)的解

不等式(組)與方程組之間有什么區(qū)別和聯(lián)系？

等式的2113條件更嚴(yán)格,因此可以得到更5261強(qiáng)的結(jié)論.等式有自反性,這是不等4102式所不具有的.等式一旦成立1653那么對(duì)象也就取定了,不等式的取值是個(gè)區(qū)間.不等式往往需要很多附加條件才能決定推導(dǎo)出的不等式的方向,因此可以說(shuō)不等式本身的條件是十分弱的.

1.連接符號(hào)不一樣，不等2113式組用得是不等號(hào)，方程5261組用的4102是等號(hào)。 2.答案不一樣，不等式組一般解出來(lái)1653是一個(gè)范圍，不過(guò)在特殊條件下解出來(lái)也有可能是一個(gè)或多個(gè)確定得數(shù)值，或無(wú)解。方程組在解出來(lái)一般是確定得數(shù)值，也有情況是無(wú)解。 3.學(xué)習(xí)階段不同，方程組是在初中學(xué)得，不等式組是在高中學(xué)的。別的我想不出來(lái)了

不等式

一般地，用純粹的大于號(hào)">"、小于號(hào)"<"連接的不等式稱(chēng)為嚴(yán)格不等式，用不小于號(hào)(大于或等于號(hào))"≥"、不大于號(hào)(小于或等于號(hào))"≤"連接的不等式稱(chēng)為非嚴(yán)格不等式，或稱(chēng)廣義不等式。總的來(lái)說(shuō)，用不等號(hào)(<,>,≥,≤,≠)連接的式子叫做不等式。

通常不等式中的數(shù)是實(shí)數(shù)，字母也代表實(shí)數(shù)，不等式的一般形式為F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )(其中不等號(hào)也可以為<，≤,≥，> 中某一個(gè))，兩邊的解析式的公共定義域稱(chēng)為不等式的定義域，不等式既可以表達(dá)一個(gè)命題，也可以表示一個(gè)問(wèn)題。

基本信息

中文名稱(chēng)

不等式

外文名稱(chēng)

inequality

表達(dá)式

a≠b

應(yīng)用學(xué)科

數(shù)學(xué)

分類(lèi)

為嚴(yán)格不等式與非嚴(yán)格不等式

例子

X>Y,X<Y…

折疊編輯本段整式不等式

整式不等式兩邊都是整式(即未知數(shù)不在分母上)。[2]

一元一次不等式:含有一個(gè)未知數(shù)(即一元),并且未知數(shù)的次數(shù)是1次(即一次)的不等式。如3-X>0

同理:二元一次不等式:含有兩個(gè)未知數(shù)(即二元),并且未知數(shù)的次數(shù)是1次(即一次)的不等式。

折疊編輯本段基本性質(zhì)

①如果x>y，那么y<x;如果y<x，那么x>y;(對(duì)稱(chēng)性)

②如果x>y，y>z;那么x>z;(傳遞性)

③如果x>y，而z為任意實(shí)數(shù)或整式，那么x+z>y+z;(加法原則，或叫同向不等式可加性)

④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz;如果x>y，z<0，那么xz<yz;(乘法原則)

⑤如果x>y，m>n，那么x+m>y+n;(充分不必要條件)

⑥如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn;[3]

⑦如果x>y>0，那么x的n次冪>y的n次冪(n為正數(shù))，x的n次冪<y的n次冪(n為負(fù)數(shù))。

或者說(shuō)，不等式的基本性質(zhì)有:

①對(duì)稱(chēng)性;

②傳遞性;

③加法單調(diào)性，即同向不等式可加性;

④乘法單調(diào)性;

⑤同向正值不等式可乘性;

⑥正值不等式可乘方;

⑦正值不等式可開(kāi)方;

⑧倒數(shù)法則。[4]

……

如果由不等式的基本性質(zhì)出發(fā)，通過(guò)邏輯推理，可以論證大量的初等不等式，以上是其中比較有名的。

另，不等式性質(zhì)有三:

①不等式性質(zhì)1:不等式的兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號(hào)的方向不變;

②不等式性質(zhì)2:不等式的兩邊同時(shí)乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變;

③不等式性質(zhì)3:不等式的兩邊同時(shí)乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向變。總結(jié):當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值;當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值。[3]

折疊編輯本段原理

①不等式F(x)< G(x)與不等式 G(x)>F(x)同解。

②如果不等式F(x) < G(x)的定義域被解析式H( x )的定義域所包含，那么不等式 F(x)<G(x)與不等式F(x)+H(x)<G(x)+H(x)同解。

③如果不等式F(x)<G(x) 的定義域被解析式H(x)的定義域所包含，并且H(x)>0，那么不等式F(x)<G(x)與不等式H(x)F(x)<H( x )G(x) 同解;如果H(x)<0，那么不等式F(x)<G(x)與不等式H (x)F(x)>H(x)G(x)同解。

④不等式F(x)G(x)>0與不等式同解;不等式F(x)G(x)<0與不等式同解。[2]

折疊編輯本段注意事項(xiàng)

折疊符號(hào)

不等式兩邊相加或相減同一個(gè)數(shù)或式子，不等號(hào)的方向不變。(移項(xiàng)要變號(hào))

不等式兩邊相乘或相除同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。(相當(dāng)系數(shù)化1，這是得正數(shù)才能使用)

不等式兩邊乘或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。(÷或×1個(gè)負(fù)數(shù)的時(shí)候要變號(hào))

折疊解集

確定解集

①比兩個(gè)值都大，就比大的還大(同大取大);[5]

②比兩個(gè)值都小，就比小的還小(同小取小);

③比大的大，比小的小，無(wú)解(大大小小取不了);

④比小的大，比大的小，有解在中間(小大大小取中間)。

三個(gè)或三個(gè)以上不等式組成的不等式組，可以類(lèi)推。

折疊數(shù)軸法

可以在數(shù)軸上確定解集:

把每個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)，數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個(gè)數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集。有幾個(gè)就要幾個(gè)。[5]

在確定一元二次不等式時(shí)，a>0，Δ=b^2-4ac>0時(shí)，不等式解集可用"大于取兩邊，小于取中間"求出。

折疊編輯本段證明方法

折疊比較法

作差比較法:根據(jù)a-b>0?a>b，欲證a>b，只需證a-b>0;

作商比較法:根據(jù)a/b=1，當(dāng)b>0時(shí)，得a>b，當(dāng)b>0時(shí)，欲證a>b，只需證a/b>1，當(dāng)b<0時(shí)，得a<b。

折疊綜合法

由因?qū)Ч? 證明不等式時(shí)，從已知的不等式及題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用不等式性質(zhì)及適當(dāng)變形推導(dǎo)出要證明的不等式. 合法又叫順推證法或因?qū)Чā?div style="height:15px;">

折疊分析法

執(zhí)果索因. 證明不等式時(shí)，從待證命題出發(fā)，尋找使其成立的充分條件. 由于"分析法"證題書(shū)寫(xiě)不是太方便，所以有時(shí)我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用"綜合法"進(jìn)行表述。

折疊放縮法

將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)到證題目的，已知A<C，要證A<B，則只要證C<B. 若C<B成立，即證得A<B. 也可采用把B縮小的方法，若已知C<B，則只要證A<C。

折疊數(shù)學(xué)歸納法

證明與自然數(shù)n有關(guān)的不等式時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證之。

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，要注意兩步一結(jié)論。

在證明第二步時(shí)，一般多用到比較法、放縮法和分析法。

折疊反證法

證明不等式時(shí)，首先假設(shè)要證明的命題的反面成立，把它作為條件和其他條件結(jié)合在一起，利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個(gè)與命題的條件或已證明的定理或公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)相矛盾的結(jié)論，以此說(shuō)明原假設(shè)的結(jié)論不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立的方法稱(chēng)為反證法。[1]

折疊換元法

換元的目的就是減少不等式中變量的個(gè)數(shù)，以使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。[5]

折疊構(gòu)造法

通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、圖形、方程、數(shù)列、向量等來(lái)證明不等式。

折疊編輯本段重要不等式

折疊柯西不等式

柯西不等式的幾種變形形式

1.設(shè)xi∈R,yi>0 (i=1,2,…,n)則，當(dāng)且僅當(dāng)bi=l*ai (i=1,2,3,…,n)時(shí)取等號(hào)。

2.設(shè)ai,bi同號(hào)且不為零(i=1,2,…,n)，則，當(dāng)且僅當(dāng)b1=b2=…=bn時(shí)取等。

證法

柯西不等式的一般證法有以下幾種:

①Cauchy不等式的形式化寫(xiě)法就是:記兩列數(shù)分別是ai, bi，則有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2. 我們令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 則我們知道恒有 f(x) ≥ 0. 用二次函數(shù)無(wú)實(shí)根或只有一個(gè)實(shí)根的條件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0. 于是移項(xiàng)得到結(jié)論。

②用向量來(lái)證. m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn) mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX. 因?yàn)閏osX小于等于1，所以:a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2 ，這就證明了不等式. 柯西不等式的證明方法還有很多種，這里只取兩種較常用的證法。[4]

柯西不等式的應(yīng)用

柯西不等式在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時(shí)是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)給予極大的重視。

例(巧拆常數(shù)):設(shè)a、b、c 為正數(shù)且各不相等。求證: 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)

分析:∵a 、b 、c 均為正數(shù) ∴為證結(jié)論正確只需證:2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9 而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b) 又 9=(1+1+1)(1+1+1)

證明:2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9 又 a、b 、c 各不相等，故等號(hào)不能成立 ∴原不等式成立。[4]

折疊排序不等式

排序不等式又稱(chēng)排序原理。

對(duì)于兩組有序的實(shí)數(shù)x1≤x2≤…≤xn，y1≤y2≤…≤yn，設(shè)yi1，yi2，…，yin是后一組的任意一個(gè)排列，記S=x1yn+x2yn-1+…+xny1，M=x1yi1+x2yi2+…+xnyin，L=x1y1+x2y2+…+xnyn，那么恒有S≤M≤L。

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=……=xn且y1=y2=……yn時(shí)，等號(hào)成立。

即反序和≤亂序和≤順序和。[2]

折疊編輯本段其他不等式

琴生不等式

均值不等式

絕對(duì)值不等式

權(quán)方和不等式

赫爾德不等式

閔可夫斯基不等式

伯努利不等式

舒爾不等式

切比雪夫不等式

冪平均不等式

馬爾可夫不等式

契比雪夫不等式

基本不等式

yu不等式

卡爾松不等式[4]

三角不等式

楊氏不等式

馬爾可夫不等式

柯西-施瓦茨不等式

Gronwall不等式

折疊編輯本段例題

折疊例1

判斷下列命題的真假,并說(shuō)明理由.

若a>b,c=d,則ac>bd(假,因?yàn)閏.d符號(hào)不定)

若a+c>c+b,則a>b;(真)

若a>b且ab<0,則a<0;(假)移動(dòng)圖片

若-a<-b,則a>b;(真)

若|a|b2;(充要條件)

說(shuō)明:本題要求學(xué)生完成一種規(guī)范的證明或解題過(guò)程,在完善解題規(guī)范的過(guò)程中完善自身邏輯思維的嚴(yán)密性.[3]

折疊例2

a,b∈R且a>b,比較a3-b3與ab2-a2b的大小.(≥)

說(shuō)明:強(qiáng)調(diào)在最后一步中,說(shuō)明等號(hào)取到的情況,為今后基本不等式求最值作思維準(zhǔn)備.[4]

折疊例3

設(shè)a>b,n是偶數(shù)且n∈N*,試比較an+bn與an-1b+abn-1的大小.

說(shuō)明:本例條件是a>b,與正值不等式乘方性質(zhì)相比在于缺少了a,b為正值這一條件,為此我們必須對(duì)a,b的取值情況加以分類(lèi)討論.因?yàn)閍>b,可由三種情況(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到總有an+bn>an-1b+abn-1.通過(guò)本例可以開(kāi)始滲透分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想

折疊例4

設(shè)a>b,n是偶數(shù)且n∈N*,試比較an+bn與butdasdc的大小

折疊編輯本段定理口訣

解不等式的途徑，利用函數(shù)的性質(zhì)。對(duì)指無(wú)理不等式，化為有理不等式。

高次向著低次代，步步轉(zhuǎn)化要等價(jià)。數(shù)形之間互轉(zhuǎn)化，幫助解答作用大。[5]

證不等式的方法，實(shí)數(shù)性質(zhì)威力大。求差與0比大小，作商和1爭(zhēng)高下。

直接困難分析好，思路清晰綜合法。非負(fù)常用基本式，正面難則反證法。

還有重要不等式，以及數(shù)學(xué)歸納法。圖形函數(shù)來(lái)幫助，畫(huà)圖、建模、構(gòu)造法。

數(shù)學(xué)名詞八邊形八面體百分比百分點(diǎn)百分位數(shù)

半徑半球半圓被乘數(shù)被除數(shù)

被加數(shù)被減數(shù)比比例邊

變量標(biāo)準(zhǔn)差表面積并集補(bǔ)集