剛剛的這道聯(lián)考題
讓我想起了高數(shù)的“拉氏定理”
也是課堂上
一再想回避的東西
總感覺中學(xué)這樣的考題
是諷刺當(dāng)年
如我一樣沒有好好學(xué)習(xí)的你
但依稀還記得
那段看似悲傷的詩
我還是很喜歡你
就像拉格朗日
羅爾街旁
守望著柯西的憂傷
……
沒辦法逃避
就只能默默地
拿起舊書再溫習(xí)
那幾個(gè)相關(guān)的定理
只期望
課堂上的講解
能更加傳神和有道理
費(fèi) 馬 引 理
從定義來看，是不是有種似曾相識(shí)的感覺了呢?仔細(xì)想想，好像與我們熟悉的極值相關(guān)概念是有相似之處的。
先看下證明。
通常稱導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)
又稱“穩(wěn)定點(diǎn)”或“臨界點(diǎn)”
也確實(shí)
單從“導(dǎo)數(shù)等于零”來說
它與極值點(diǎn)之間是有密切關(guān)系的
對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)來說
我們以前所熟悉的極值點(diǎn)
因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值為零
就一定是駐點(diǎn)
但駐點(diǎn)
卻未必一定是極值點(diǎn)
對(duì)于一般函數(shù)而言
極值點(diǎn)的來源主要有兩處
導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)
和
駐點(diǎn)
當(dāng)然
它們的共同點(diǎn)
都不是幾何意義上的“點(diǎn)”
羅 爾 定 理
說起這個(gè)“羅爾定理”，不由得想起大學(xué)讀書時(shí)的數(shù)分老師。那句“閉連續(xù)，開可導(dǎo)，兩頭一般高，水平切線至少有一條”，是不是很多學(xué)過高數(shù)的同伴們，都還記憶猶新呢。
其實(shí)想想
“費(fèi)馬引理”在這個(gè)證明里的作用
真的是杠杠滴
對(duì)，一定要記住那句：
閉連續(xù)，開可導(dǎo)，兩頭一般高，
水平切線至少有一條
當(dāng)然
高中的你
也可以用下面的圖像去更直觀的理解
羅爾定理幾何解釋
在a,b之間存在一些點(diǎn)，使得其切線平行于x軸。
素人素言
拉格朗日中值定理
其實(shí)，就算一名高中生，也能看出，這個(gè)“拉氏定理”其實(shí)是將“羅爾定理”的條件一般化了。尤其對(duì)于喜歡圖像的中學(xué)生來說，更能夠從圖像上找到拉氏定理的幾何意義。
這種構(gòu)造法，
倒是我們中學(xué)里常用的手段，
只是這里，
為了作出羅爾定理的條件，
構(gòu)造一個(gè)這樣的函數(shù)，
真的也算是膽大心細(xì)了。
那么，
作為一名中學(xué)生，
你能看出這里構(gòu)造的基本思路嗎?
我說構(gòu)造的φ(x)其實(shí)就是f(x)-g(x)
你覺得呢?
若g(x)為直線的方程
則顯然就有φ(a)=φ(b)
這樣
φ(x)就符合了羅爾定理中的
“兩頭一般高”了
幾何解釋
在a,b之間，y=f(x)圖像上至少存在一條平行于弦AB的切線。
定理應(yīng)用
上面三個(gè)小題，
充分體現(xiàn)了拉氏定理的優(yōu)越性，
但可惜的是，
在高考中，
這種方法還是要慎用的。
但是，
如果可以換個(gè)思路，
站在這種高數(shù)的這種高觀點(diǎn)的角度，
去俯視目前的函數(shù)，
或許，
也是可以給我們一些啟迪的。
考題處理
這是剛剛的聯(lián)考題，
但凡是壓軸題，就總會(huì)被一線教師所關(guān)注。
通過對(duì)前面三個(gè)定理的了解，現(xiàn)在知道第二問明顯是考查“拉氏定理”了。
作為一名中學(xué)教師，在定理不能直接應(yīng)用的狀況下，又該如何向?qū)W生完美的詮釋這個(gè)定理呢？
因?yàn)?，給出的標(biāo)準(zhǔn)答案，于許多的同學(xué)來說，確實(shí)有點(diǎn)天外飛仙的感覺了。
其實(shí)，上面的解法雖未必完美，但總認(rèn)為，就題目結(jié)論的特征，從“雙變?cè)?/strong>”題型的角度，考慮其解法，應(yīng)該才是最順理成章，也最便于學(xué)生接受了。
畢竟，根據(jù)等式兩邊代數(shù)式結(jié)構(gòu)的相似性，來構(gòu)造函數(shù)，于學(xué)生而言，是一種常規(guī)體驗(yàn)了。
而且，這里對(duì)于羅爾定理的說明，也是最樸素且有效的吧。
其實(shí)，此法中通過構(gòu)造函數(shù)，利用零點(diǎn)存在性特征來說明零點(diǎn)的位置，也是別開生面的一種解法。
同時(shí)，在此解法中“比值代換”的使用，也深刻體現(xiàn)了對(duì)于“雙變?cè)獑栴}”，消元思想的重要性。
當(dāng)然，對(duì)于解法中三個(gè)常見的函數(shù)關(guān)系，不僅要了然于胸，而且要熟悉如何去說明這種關(guān)系，否則，即便知道了考的是它，又有什么用呢！
拉格朗日
在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中都有劃時(shí)代意義的貢獻(xiàn)，是18世紀(jì)歐洲最偉大的數(shù)學(xué)家，拿破侖稱他為“數(shù)學(xué)科學(xué)高聳的金字塔”。
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