劉維爾
華東師范大學(xué) 李旭輝
遼寧師范大學(xué) 邵明湖
劉維爾，J．(Liouville，Joseph)1809年3月24日生于法國加來海峽省圣奧梅爾；1882年9月8日卒于巴黎．?dāng)?shù)學(xué)．
劉維爾的父親克勞德-約瑟夫·劉維爾(Claud－Joseph Liou-ville)是一位陸軍上尉，母親名叫泰雷茲·巴朗(Thérése Bal－land)．劉維爾是他們的次子，幼時(shí)先后就學(xué)于科梅西和土爾．1825年他來到巴黎綜合工科學(xué)校學(xué)習(xí)，A．M．安培(Ampère)擔(dān)任分析與力學(xué)課的老師，兩人曾共同探討電動力學(xué)問題．他于1827年11月轉(zhuǎn)入橋梁與公路學(xué)校，1831年獲學(xué)士學(xué)位．
畢業(yè)后不久，他辭去了在伊澤爾省的工程師職務(wù)，期望得到一份教職，以便專心從事學(xué)術(shù)工作．1831年11月，他被綜合工科學(xué)校教育委員會選為L．馬蒂厄(Mathieu)的分析與力學(xué)課助教，由此開始了自己近50年的科學(xué)研究生涯．
1833—1838年間，劉維爾曾在成立不久的中央高等工藝制造學(xué)校講授數(shù)學(xué)和力學(xué)，但內(nèi)容均為初級的．為使自己的教學(xué)工作保持在大學(xué)水平上，他在1836年攻取了博士學(xué)位，論文題為“關(guān)于函數(shù)或其一部分的正弦與余弦級數(shù)展開式”(Sur le dévelop－pement des fonctions ou parties de fonctions en séries dc sinuset de cosinus)，探討了傅里葉級數(shù)及其在各種力學(xué)、物理學(xué)間題中的應(yīng)用，于同年在巴黎成書出版．
為適應(yīng)法國數(shù)學(xué)研究的需要，劉維爾在1836年1月創(chuàng)辦《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》(Journal de matématiques pures et appli－quées)，并親自主持了前39卷的編輯出版工作(第1輯，1—20卷，1836—1855年；第2輯，1—19卷，1856—1874年)．該雜志刊登純粹、應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域所有分支的論文，記錄了19世紀(jì)中期的40年里數(shù)學(xué)活動的一部分重要內(nèi)容，被后人稱為《劉維爾雜志》(Liou－ville′s Journal)．
劉維爾不僅與當(dāng)時(shí)一些重要的數(shù)學(xué)家保持著密切聯(lián)系并定期發(fā)表他們的成果，而且熱心地對年輕學(xué)者進(jìn)行指導(dǎo)，為他們發(fā)表著作提供機(jī)會．最值得一提的當(dāng)屬他編輯發(fā)表E．伽羅瓦(Galois)的文章．1832年5月，伽羅瓦在決斗中被殺，劉維爾整理了他的部分遺稿并刊登在1846年的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》上，他在代牧方面的獨(dú)創(chuàng)性工作才得以為世人所知．
1838年，劉維爾接替馬蒂厄成為綜合工科學(xué)校的分析與力學(xué)課教席，一直工作到1851年他轉(zhuǎn)入法蘭西學(xué)院任數(shù)學(xué)教席為止．1839年6月和1840年，他又先后被推舉為巴黎科學(xué)院天文學(xué)部委員和標(biāo)準(zhǔn)計(jì)量局成員，定期參與這兩方面的活動．
劉維爾的學(xué)術(shù)活動在法國革命期間稍有中斷．1848年4月23日，他入選立憲會議，是默爾特行政區(qū)的代表之一，次年5月競選議員失敗，他的政治活動遂告結(jié)束．
1851年來到法蘭西學(xué)院后，劉維爾的教學(xué)工作相當(dāng)自由，有更多的時(shí)間展開自己的研究工作，廣泛與他人探討．他在此職位上一直工作到1879年．不過從1874年他退出《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》的編輯工作后，便不再發(fā)表著作，也很少參與法國學(xué)術(shù)界的活動了．
劉維爾一生勤于學(xué)術(shù)工作，生活淡泊寧靜，每年都要回到家鄉(xiāng)土爾的舊居休假．他在1830年與表親瑪麗-路易絲·巴朗(Marie－Louise Balland)結(jié)婚，生有三女一子．
劉維爾的主要學(xué)術(shù)成就如下．
1．函數(shù)論
劉維爾認(rèn)真研究了G．W．萊布尼茨(Leibniz)、約翰·伯努利(Johann Bernoulli)和L．歐拉(Euler)的著作．他在早期工作中盡可能地?cái)U(kuò)展微分和積分的概念，尤其是建立任意階導(dǎo)數(shù)的理論．他繪出如下公式：
這里μ為復(fù)數(shù)時(shí)亦成立．在證明了任意函數(shù)f(x)均可展為指數(shù)級數(shù)
之后，他定義f的μ階導(dǎo)數(shù)如下：
應(yīng)用這個(gè)定義，劉維爾處理了初等函數(shù)的指數(shù)級數(shù)展開式及其任意階導(dǎo)數(shù)．例如，他給出
其導(dǎo)數(shù)為
盡管這些定義與方法并不具普遍的適用性，函數(shù)的展開式也未必總是收斂，但這是走向泛函分析的早期努力之一，表明了劉維爾處理當(dāng)時(shí)分析學(xué)的精湛技巧．
1832年12月7日和1873年2月4日，劉維爾先后向巴黎科學(xué)院提交兩篇論文，對代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)進(jìn)行了分類，以此整理N．H．阿貝爾(Abel)、P．S．拉普拉斯(Laplace)等人關(guān)于橢圓積分的表示和有理函數(shù)的理論，在此基礎(chǔ)上，他于1834年給出了初等函數(shù)的分類：
有限個(gè)復(fù)變量的代數(shù)函數(shù)為第0類初等函數(shù)；ez和logz為第1類初等函數(shù)；二者合稱為最多第1類初等函數(shù)．若已定義最多第n-1類初等函數(shù)，則它與最多第1類初等函數(shù)的復(fù)合稱最多第n類初等函數(shù)．是最多第n類而非最多第n-1類的初等函數(shù)稱第n類初等函數(shù)．
初等函數(shù)的積分在何條件下仍為初等函數(shù)，也是他著重討論的問題．
劉維爾涉足科學(xué)領(lǐng)域之際，由阿阿爾和C．雅可比(Jacobi)所建立的橢圓函數(shù)理論正處于蓬勃發(fā)展時(shí)期．1844年12月，劉維爾在給巴黎科學(xué)院的一封信中說明了如何從雅可比的定理(單變量單值亞純函數(shù)的周期個(gè)數(shù)不多于2，周期之比為非實(shí)數(shù))出發(fā)，建立雙周期橢圓函數(shù)的一套完整理論體系．這是對橢圓函數(shù)論的一個(gè)較大貢獻(xiàn)．圍繞雙周期性，劉維爾展示了橢圓函數(shù)的實(shí)質(zhì)性質(zhì)，提出如下定理：
劉維爾第1定理 在一個(gè)周期平行四邊形內(nèi)沒有極點(diǎn)的橢圓函數(shù)是常數(shù)；
劉維爾第2定理 橢圓函數(shù)在任一周期平行四邊形內(nèi)的極點(diǎn)處殘數(shù)之和為0；
劉維爾第3定理 n階橢圓函數(shù)在一個(gè)周期平行四邊形內(nèi)取任一值n次；
劉維爾第4定理 在一周期平行四邊形內(nèi)零點(diǎn)之和與極點(diǎn)之和的差等于一個(gè)周期．
后來，到巴黎訪問的兩位德國數(shù)學(xué)家C．W．博爾夏特(Bor－chardt)和F．約赫姆塔爾(Joachimsthal)向劉維爾詳細(xì)請教了他的工作情況，而1850—1851年劉維爾在法蘭西學(xué)院講授的雙周期函數(shù)課程，也在C．A．布里奧(Briot)與J．－C．布凱(Bou－quet)所著《雙周期函數(shù)論》(Théorie des fonctions doublementpériodiques，1859)一書中得到系統(tǒng)介紹．因此，盡管劉維爾的有關(guān)結(jié)論很少發(fā)表，仍能在法國內(nèi)外迅速傳播并產(chǎn)生影響，雙周期函數(shù)的講義后來發(fā)表在1880年第88卷的德國《純粹與應(yīng)用
2．微分方程與積分方程
19世紀(jì)，隨著各種曲線坐標(biāo)系的引入和新的函數(shù)類如貝塞爾(Bessel)函數(shù)、勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式等作為常微分方程的特征函數(shù)而興起，確定帶邊界條件的常微分方程的特征值與特征函數(shù)，便成為日益突出的重要問題．劉維爾和他的朋友、力學(xué)教授C．斯圖姆(Sturm)在30年代同時(shí)鉆研了這類問題．
他們考慮由變密度棒的熱傳導(dǎo)過程引出的二階常微分方程：
(k(x)V＇(x))＇+(g(x)r-l(x))V(x)=0，x∈(a，b)，
k(a)V＇(a)-hV(a)=0，
k(b)V＇(b)+HV(b)=0，
其中k(x)，g(x)，l(x)是正值函數(shù)，h與H為非負(fù)常數(shù)，r為參數(shù)．
劉維爾采用逐次逼近法表達(dá)其解：
……
這樣，就得到了關(guān)于微分方程解的存在性的第一條定理，它發(fā)表在1838年3卷1期的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》上．逐次逼近法成為求解常微分方程的一種典型方法，上述邊值問題則被稱為斯圖姆-劉維爾問題．
隨后，兩人著眼于更一般的二階微分方程
其中L，M，N是x的連續(xù)函數(shù)，λ是參數(shù)，它可以改寫成
他們證明了下列基本結(jié)果：
(1)僅當(dāng)λ取遞增到+∞的正數(shù)序列｛λn｝的任一值時(shí)，原問題才有解；
dx=1加以規(guī)范化；
VmVndx=0，m≠n
后來，在法蘭西學(xué)院的教學(xué)中，劉維爾又引入了伴隨邊值條件(adjoint boundary values)的概念，將斯圖姆-劉維爾理論尤其是斯圖姆關(guān)于特征函數(shù)的有關(guān)結(jié)論推廣到非自伴隨高階方程上劉維爾在擴(kuò)展導(dǎo)數(shù)定義時(shí)，除了將被導(dǎo)函數(shù)先展開為指數(shù)級烽，還利用過拉痖拉斯積發(fā)展開式的方法：
在證明了
等幾個(gè)重要公式后，劉維爾展開了如何用其解決幾何、力學(xué)問題中產(chǎn)生的積分方程：把積分方程變成求導(dǎo)問題，最后得到的微分方程是可解的。
程，被D希爾伯特(Hilbert)稱為第一類積分方程
在斯圖姆-劉維爾理論中涉及的則是另一種不同類型的方程，即希爾伯特第二類積分方程。它有如下形式：
通過解積分方程得到微分方程的解，這是斯圖姆-劉維爾理論最有意義的一點(diǎn)．而微分方程與積分方程之間的內(nèi)在聯(lián)系通過劉維爾的上述努力也愈加清晰了．
1845年底，劉維爾在《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表短篇注記“一類函數(shù)的一種一般性質(zhì)”(Sur une propriété génerale d′uneclasse de fonctions)，研究了特征值方程
∫Dl(x)T(x，x′)λ(x′)dx′=mλ(x)，
其中l(wèi)為定義于Rn子集D上的實(shí)值函數(shù)，T為D×D上的對稱多項(xiàng)式．注記中證明了兩條定理：
(1)λ1，λ2是對應(yīng)于互異特征值m1，m2的特征函數(shù)(即原方程的解)，則成立正交關(guān)系：
∫Dl(x)λ1(x)λ2(x)dx=0．
(2)若l恒正，則所有特征值均為實(shí)數(shù)．
進(jìn)一步，劉維爾還指出了利用正交關(guān)系將任意函數(shù)展成傅里葉級數(shù)的可能性．雖然這些結(jié)論不如后來希爾伯特、E．施密特(Schmidt)等人的結(jié)果那樣深刻，卻表明了劉維爾最早意識到這類積分方程的重要性，并在積分方程理論研究工作由特殊走向一般的過程中邁出了第一步．
3．?dāng)?shù)論
劉維爾對數(shù)論問題產(chǎn)生興趣是由費(fèi)馬大定理開始的．1840年，他將費(fèi)馬問題作了轉(zhuǎn)化，證明方程un＋vn=wn的不可解性意味著x2n-y2n=2xn的不可解性．
在劉維爾之前，代數(shù)數(shù)與超越數(shù)的區(qū)別已經(jīng)非常清楚了，但超越數(shù)的存在性問題遲遲沒有結(jié)果，e，e2，π及π2等無理數(shù)究竟是否為超越數(shù)也一直吸引著數(shù)學(xué)家們的注意力．1840年，劉維爾證明了e不是任何二次或四次多項(xiàng)式方程的根，接著又試圖采取J．L．拉格朗日(Lagrange)的方法，用連分?jǐn)?shù)逼近多項(xiàng)式的根，來證明e的超越性．這一嘗試未能奏效，然而他從中意識到，若不可約有理數(shù)p/q是n次代數(shù)無理數(shù)x的近似值，則存在正數(shù)C，使得
自然數(shù)K均有解p/q，則x是超越數(shù)．劉維爾于1844年證明了形如
數(shù)”．至此，超越數(shù)的存在性問題得到了解決．
從1856年開始，劉維爾放棄了在其他方面幾乎所有的數(shù)學(xué)研究，而把精力投入到數(shù)論領(lǐng)域．10年間，他在《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表了18篇系列注記和近200篇短篇注記，前者未加證明地給出了許多一般公式，為解析數(shù)論的形成奠定了基礎(chǔ)，后者則個(gè)別地討論了素?cái)?shù)性質(zhì)和整數(shù)表示為二次型的方法等特殊問題．
4．其他
1836年，劉維爾與斯圖姆共同給出了關(guān)于代數(shù)方程虛根數(shù)目的柯西定理的證明；次年，他又用不同于阿貝爾的方法，解決了二元代數(shù)方程組的消元問題．這些都被J．A．塞雷(Serret)收入了他編寫的《高等代數(shù)教程》(Cours d’Algèbre superieure)第4版(1877)，得以在法國的學(xué)校中廣泛傳播．
為了發(fā)表伽羅瓦的著作，劉維爾從1843到1846年對其手稿進(jìn)行了徹底的研究．在他為伽羅瓦的著作發(fā)表所寫的導(dǎo)言中，對伽羅瓦的工作給予了高度評價(jià)．他還邀請包括塞雷在內(nèi)的一些朋友，參加關(guān)于伽羅瓦工作的系列演講．因此可以說，劉維爾間接地推動了近世代數(shù)學(xué)和群論的發(fā)展．
在幾何學(xué)方面，劉維爾于1841年和1844年用消去理論證明并推廣了M．沙勒(Chasles)建立的曲線和曲面的度量性質(zhì)，還發(fā)現(xiàn)一種新方法，以確定任意橢圓曲面的測地線，這是雅可比在研究雙曲超越數(shù)時(shí)引出的問題．1850年他負(fù)責(zé)出版了G．蒙日(Monge)的著作《分析在幾何中的應(yīng)用》(Application de l′anal－yse àla géométrie)第5版，在書末附上了C． F．高斯(Gauss)的名著“關(guān)于曲面的一般研究”(Disquisitiones generales circa su－perficies curvas)和他本人寫的7篇注記．這些注記涉及曲線及其相對曲率和測地曲率、測地線方程、總曲率概念等．
劉維爾還有少量文章涉及熱理論、電學(xué)、天體力學(xué)和理論力學(xué)等問題．
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